专题13 相交线与平行线单元测试卷（提优） 2024-2025学年人教版数学七年级下册

专题13 相交线与平行线单元测试卷（提优） 参考答案 一．选择题（共8小题） 1．（2025•大连一模）下列命题中，是真命题的是（　　） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．过一点有无数条直线与已知直线平行 C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 【考点】命题与定理；对顶角、邻补角；点到直线的距离；同位角、内错角、同旁内角；平行公理及推论；平行线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质、平行公理的推论、平行线的判定、点到直线的距离的定义判断即可． 【解答】解：A、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故本选项命题是假命题，不符合题意； B、过一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项命题是假命题，不符合题意； C、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，是真命题，符合题意； D、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，故本选项命题是假命题，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 2．（2024春•金沙县期中）甲、乙两人用同种材料制作的楼梯模型如图所示，则他们所用的材料的长度相比，（　　） A．甲用的长 B．乙用的长 C．一样长 D．无法判断 【考点】平移的性质．版权所有 【专题】平移、旋转与对称；几何直观． 【答案】C 【分析】要求左图模型需要的铁丝长度，可以根据平移的方法，将其化为规则的长方形再进行计算． 【解答】解：∵两个图形的左右两侧相等，上下两侧相等， ∴两个图形都可以运用平移的方法变为长为16cm，宽为12cm的长方形， ∴两个图形的周长都为（16+12）×2＝56（cm），即一样长． 故选：C． 【点评】本题考查了平移的性质，解决此题的关键是通过观察图形确定右侧与上侧各边的长相等． 3．（2025春•西安月考）下列图中，∠1和∠2是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【考点】对顶角、邻补角．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观． 【答案】D 【分析】根据对顶角的定义判断即可． 【解答】解：A、∠1和∠2不是对顶角，故此选项不符合题意； B、∠1和∠2不是对顶角，故此选项不符合题意； C、∠1和∠2不是对顶角，故此选项不符合题意； D、∠1和∠2是对顶角，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了对顶角、邻补角，熟练掌握对顶角的定义是解题的关键． 4．（2025•海淀区校级模拟）如图，直线AB和CD相交于点O，OB平分∠DOE，OE⊥OF，若∠AOF＝28°，则∠COF的度数为（　　） A．28° B．30° C．32° D．34° 【考点】垂线；角平分线的定义；对顶角、邻补角．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力；推理能力． 【答案】D 【分析】首先由OE⊥OF，∠AOF＝28°利用平角的定义可求出∠EOB＝62°，再根据角平分线的定义得∠DOE＝2∠EOB＝124°，进而再根据平角的定义可求出∠COE的度数，最后再根据垂直的定义可求出∠COF的度数． 【解答】解：∵OE⊥OF， ∴∠EOF＝90°， ∵∠AOF+∠EOF+∠EOB＝180°， 又∠AOF＝28°， ∴∠EOB＝180°﹣∠AOF﹣∠EOF＝180°﹣28°﹣90°＝62°， ∵OB平分∠DOE， ∴∠DOE＝2∠EOB＝2×62°＝124°， ∵∠COE+∠DOE＝180°， ∴∠COE＝180°﹣∠DOE＝180°﹣124°＝56°， ∴∠COF＝∠EOF﹣∠COE＝90°﹣56°＝34°． 故选：D． 【点评】此题主要考查了垂直的定义，平角的定义，角平分线的定义等，解答此题的关键是准确识图，利用平角的定义和垂直的定义找出相关角的关系． 5．（2024秋•廉江市期末）如图，C为直线AB上一点，CD⊥CE，CF平分∠ACD，CH平分∠BCD，CG平分∠BCE．有下列结论：①∠ACF与∠BCH互余；②∠FCG与∠HCG互补；③∠ECF与∠GCH互补；④∠ACD﹣∠BCE＝90°，其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】垂线；角平分线的定义；余角和补角．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】C 【分析】根据角平分线的意义，互为余角、互为补角的意义逐个进行判断，最后得出答案做出选择． 【解答】解：①∵CF平分∠ACD，CH平分∠BCD， ∴∠ACF＝∠FCD∠ACD，∠DCH＝∠HCB∠DCB， ∴∠ACF+∠BCH∠ACD∠BCD（∠ACD+∠BCD）＝90°， ∴∠ACF与∠BCH互余； 故①正确； ②∵CD⊥CE， ∴∠DCE＝90°， ∵CH平分∠BCD，CG平分∠BCE， ∴∠BCH∠BCD，∠BCG∠BCE， ∴∠GCH＝∠BCH+∠BCG∠DCE＝45°， 由①知：∠FCH＝90°， ∴∠FCG+∠HCG＝90°+45°+45°＝180°， ∴∠FCG与∠HCG互补； 故②正确； ③∵∠ECF＞∠FCG， ∴∠ECF与∠GCH不互补， 故③不正确； ④∵∠ACD﹣∠BCE＝180°﹣∠DCB﹣∠BCE＝90°， 故④正确． 本题正确的结论有3个，是①②④． 故选：C． 【点评】本题考查余角和补角，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活角平分线的定义确定各角的关系，属于中考常考题型． 6．（2024春•和平区校级期末）如图，已知MN∥PQ，点B在MN上，点C在PQ上，点A在MN上方，∠ABD：∠DBN＝3：2，点E在BD的反向延长线上，且∠ACE：∠ECP＝3：2，设∠A＝α，则∠E的度数用含α的式子一定可以表示为（　　） A．2α B． C． D．90°﹣α 【考点】平行线的性质；列代数式．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】B 【分析】过点A作AG∥MN，过点E作EH∥MN，则MN∥PQ∥AG∥EH；设设∠ABD＝3x，∠ACE＝3y，则，∠DBN＝2x，∠ECP＝2y，所以∠DEH＝∠DBN＝2x，∠HEC＝∠ECP＝2y，∠GAB＝180°﹣∠ABD﹣∠DBN＝180°﹣5x，∠GAC＝∠ACP＝5y，由平行的性质可知，∠DEC＝2（x+y），∠CAB＝∠GAC﹣∠GAB＝5y﹣（180°﹣5x）＝5（x+y）﹣150°＝α，可得x+y36°α，所以∠DEC＝2（x+y）＝72°α． 【解答】解：如图，过点A作AG∥MN，过点E作EH∥MN， ∵MN∥PQ， ∴MN∥PQ∥AG∥EH， ∵∠ABD：∠DBN＝3：2，∠ACE：∠ECP＝3：2， ∴设∠ABD＝3x，∠DBN＝2x，∠ACE＝3y，∠ECP＝2y， ∵MN∥PQ∥AG∥EH， ∴∠DEH＝∠DBN＝2x，∠HEC＝∠ECP＝2y， ∠GAB＝180°﹣∠ABD﹣∠DBN＝180°﹣5x，∠GAC＝∠ACP＝5y， ∴∠DEC＝2（x+y）， ∠CAB＝∠GAC﹣∠GAB＝5y﹣（180°﹣5x）＝5（x+y）﹣150°＝α， ∴x+y36°α， ∴∠DEC＝2（x+y）＝72°α． 故选：B． 【点评】本题主要考查平行线的性质，几何直观得出角之间的和差关系，正确添加辅助线是解题的关键． 7．（2024秋•青山区期末）如图，若AB∥CD，则α、β、γ之间的关系为（　　） A．α+β+γ＝360° B．α﹣β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝180° D．α+β+γ＝180° 【考点】平行线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线． 【答案】C 【分析】作EF∥AB．利用平行线的性质即可解决问题． 【解答】解：作EF∥AB． ∵AB∥CD，AB∥EF， ∴CD∥EF， ∴∠BAE+∠FEA＝180°，∠C＝∠FEC＝γ， ∴α+（β﹣γ）＝180°， 故选：C． 【点评】本题考查平行线的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型． 8．（2024秋•儋州期末）如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论： ①∠D＝40°； ②2∠D+∠EHC＝90°； ③FD平分∠HFB； ④FH平分∠GFD． 其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】平行线的性质；垂线．版权所有 【专题】几何综合题；转化思想；推理能力． 【答案】A 【分析】根据角平分线的性质和平行线的性质解答．延长FG，交CH于I，构造出直角三角形，利用直角三角形两锐角互余解答． 【解答】解：延长FG，交CH于I． ∵AB∥CD， ∴∠BFD＝∠D，∠AFI＝∠FIH， ∵FD∥EH， ∴∠EHC＝∠D， ∵FE平分∠AFG， ∴∠FIH＝2∠AFE＝2∠EHC， ∴3∠EHC＝90°， ∴∠EHC＝30°， ∴∠D＝30°， ∴2∠D+∠EHC＝2×30°+30°＝90°， ∴①∠D＝40°错误；②2∠D+∠EHC＝90°正确， ∵FE平分∠AFG， ∴∠AFI＝30°×2＝60°， ∵∠BFD＝30°， ∴∠GFD＝90°， ∴∠GFH+∠HFD＝90°， 可见，∠HFD的值未必为30°，∠GFH未必为45°，只要和为90°即可， ∴③FD平分∠HFB，④FH平分∠GFD不一定正确． 故选：A． 【点评】本题考查了角平分线的性质和平行线的性质，二者有机结合，难度较大，需要作出辅助线，对能力要求较高． 二．填空题（共10小题） 9．（2024秋•鼓楼区期末）已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个命题： ①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c； ②如果b∥a，c∥a，那么b∥c； ③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；　④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c． 其中正确的是　①②④　 ．（填写序号） 【考点】命题与定理．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案． 【解答】解：在同一个平面内，①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c； ②如果b∥a，c∥a，那么b∥c； ③如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c； 　④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c， 故答案为：①②④． 【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 10．（2024秋•龙口市期末）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长（AB）34米、宽20米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，已知小道的宽为2米，则种植面积为 　540　 平方米． 【考点】生活中的平移现象．版权所有 【专题】平移、旋转与对称；运算能力． 【答案】540． 【分析】由平移将问题转化为求出长为30米，宽为18米的长方形的面积即可． 【解答】解：经过平移以后，可以将种植面积转化为长为34﹣2﹣2＝30（米），宽为20﹣2＝18（米）的长方形， 所以面积为30×18＝540（平方米）． 故答案为：540． 【点评】本题考查平移，理解平移的性质以及矩形面积的计算方法是正确解答的关键． 11．（2025•孝感二模）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中的平行光线，在空气中也是平行的．如图，若∠3+∠4＝115°48′，则∠2﹣∠1＝　64.2　 度． 【考点】平行线的判定；度分秒的换算．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】64.2． 【分析】由平行线的性质推出∠4+∠2＝180°，∠1＝∠3，而∠3+∠4＝115°48′，即可得到∠2﹣∠1＝180°﹣（∠3+∠4）． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠4+∠2＝180°， ∴AE∥BF， ∴∠1＝∠3， 由条件可知∠3+∠4＝∠4+∠2﹣（∠2﹣∠3）＝180°﹣（∠2﹣∠3）＝115°48′， ∴∠2﹣∠1＝∠2﹣∠3＝180°﹣115°48′＝64°12′＝64.2°， 故答案为：64.2． 【点评】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握该知识点是关键． 12．（2025春•南昌县校级月考）如图，AB⊥BC，BD⊥AC，能表示点到直线的距离的线段共有 　5　 条． 【考点】点到直线的距离．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线． 【答案】5． 【分析】点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．直接利用点到直线的距离的定义分析得出答案． 【解答】解：线段AB的长度是点A到BC的距离， 线段AD的长度是点A到BD的距离， 线段BD的长度是点B到AD的距离， 线段CD的长度是点C到BD的距离， 线段BC的长度是点C到AB的距离， 故图中能表示点到直线距离的线段共有5条． 故答案为：5． 【点评】此题主要考查了点到直线的距离，正确把握定义是解题关键． 13．（2025春•西安月考）如图，有以下条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠1+∠3+∠BGC＝180°；④∠1+∠3＝∠2+∠4；⑤∠E＝∠F，∠1＝∠2．其中能判断AB∥CD的条件有 　③④⑤　 （填序号）． 【考点】平行线的判定．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】③④⑤． 【分析】根据平行线的判定定理即可直接作出判断． 【解答】解：①∠1＝∠2，不能判断AB∥CD，不符合题意； ②∵∠3＝∠4， ∴BE∥FG，不能判断AB∥CD，不符合题意； ③∵∠1+∠3+∠BGC＝180°， ∴AB∥CD，正确，符合题意； ④∵∠1+∠3＝∠2+∠4， ∴AB∥CD，正确，符合题意； ⑤∵∠E＝∠F， ∴BE∥FG， ∴∠3＝∠4， ∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠3＝∠2+∠4， ∴AB∥CD，正确，符合题意． 综上所述，③④⑤正确． 故答案为：③④⑤． 【点评】本题考查了平行线的判定定理，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键， 14．（2024秋•海口期末）【动手操作】如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝135°．将直角三角板MON绕点O旋转一周，当直线OM与直线OC互相垂直时，∠AOM的度数是 　135°或45°　 ． 【考点】垂线；角的计算．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】135°或45°． 【分析】分OM在直线OC的右侧和OM在直线OC的左侧两种情况求解即可． 【解答】解：∵∠BOC＝135°， ∴∠AOC＝180°﹣135°＝45°． 当OM在直线OC的右侧时，如图， ∵OM⊥OC， ∴∠COM＝90°， ∴∠AOM＝∠AOC+∠COM＝135°． 当OM在直线OC的左侧时，如图， ∵OM⊥OC， ∴∠COM＝90°， ∴∠AOM＝∠COM﹣∠AOC＝45°． 故答案为：135°或45°． 【点评】本题考查了垂直的定义，角的和差计算，数形结合是解答本题的关键． 15．（2024秋•泗洪县期末）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，A′B′与BC交于点G，若∠A′GC＝60°，则∠BFE的度数为 　105°　 ． 【考点】平行线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观． 【答案】见试题解答内容 【分析】把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，即可得到∠BFE＝∠EFB'，∠B'＝∠B＝90°，再根据∠CFB'＝30°，可得∠BFE＝∠EFB'＝105°． 【解答】解：∵把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处， ∴∠BFE＝∠EFB'，∠B'＝∠B＝90°， ∵∠A'GC＝60°＝∠FGB'， ∴∠CFB'＝30°， ∴∠BFE＝∠EFB'（180°+30°）＝105°， 故答案为：105°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质以及折叠的性质的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 16．（2025春•岳麓区校级月考）一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一次拐弯∠M的度数为α．第二次拐弯∠N的度数为β，到了点P后需要继续拐弯，拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行，则∠P＝　180°﹣β+α　 ． 【考点】平行线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】180°﹣β+α． 【分析】可以过点N作NC∥AM后借助平行线的知识进行解答． 【解答】解：过点N作NC∥AM， ∴∠M＝∠MNC＝α， 由题可知AM∥PB， ∴NC∥BP， ∴∠CNP+∠P＝180°， ∴∠P＝180°﹣∠CNP＝180°﹣（β﹣α）＝180°﹣β+α． 故答案为：180°﹣β+α． 【点评】本题考查平行线的判定和性质，当题目中的已知条件和已有的图形不能解决问题时，往往考虑添加辅助线，将不相关，分散的条件进行转移与转化，构造出一些基本的几何图形，搭建已知和未知之间的桥梁． 17．（2024春•青岛期中）如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD，∠DCF＝60°，∠EAB＝70°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，在射线CD转动一周的时间内，使得CD与AB平行所有满足条件的时间＝　5秒或95秒　 ． 【考点】平行线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】5秒或95秒． 【分析】分①AB与CD在EF的两侧，分别表示出∠ACD与∠BAC，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解； ②CD旋转到与AB都在EF的右侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解； ③CD旋转到与AB都在EF的左侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解． 【解答】解：∵∠EAB＝70°，∠DCF＝60°， ∴∠BAC＝110°，∠ACD＝120°， 分三种情况： 如图①，AB与CD在EF的两侧时， ∠ACD＝120°﹣（3t）°，∠BAC＝110°﹣t°， 要使AB∥CD，则∠ACD＝∠BAC， 即120°﹣（3t）°＝110°﹣t°， 解得t＝5； ②CD旋转到与AB都在EF的右侧时， ∠DCF＝360°﹣（3t）°﹣60°＝300°﹣（3t）°，∠BAC＝110°﹣t°， 要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC， 即300°﹣（3t）°＝110°﹣t°， 解得t＝95； ③CD旋转到与AB都在EF的左侧时， ∠DCF＝（3t）°﹣（180°﹣60°+180°）＝（3t）°﹣300°，∠BAC＝t°﹣110°， 要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC， 即（3t）°﹣300°＝t°﹣110°， 解得t＝95， ∴此情况不存在． 综上所述，当时间t的值为5秒或95秒时，CD与AB平行． 故答案为：5秒或95秒． 【点评】本题考查了平行线的判定，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，要注意分情况讨论． 18．（2024春•武汉期末）如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠（折线EF交AD于E，交BC于F），点C、D的对应点分别是C1，D1，ED1交BC于G，再将四边形C1D1GF沿FG折叠，点C1、D1的对应点分别是C2、D2，GD2交EF于H，给出下列结论： ①∠EGD2＝∠EFG； ②2∠EFC＝∠EGC+180°； ③若∠FEG＝26°，则∠EFC2＝102°； ④∠FHD2＝3∠EFB． 上述正确的结论是 　②③④　 ． 【考点】平行线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】②③④． 【分析】由折叠性质得到∠DEF＝∠GEF，∠D2GF＝∠D1GF，根据平行线性质得到∠DEF＝∠GEF＝∠EFG，再由三角形外角性质确定∠DGF＝∠GEF+∠GFE，设∠EGD2＝α，∠EFG＝β，则 α+4β＝180°，只有当α＝β＝36°时结论①才成立；由ED1∥FC1，得到∠EGC＝∠GFC1，结合折叠性质求证即可得到②正确；在①的求证过程中可知∠GEF＝∠EFG＝26°，设∠EFC2＝α，则∠GFC2＝26°+α＝∠GFC1，从而由折叠性质表示出角度关系列方程求解即可得到③正确；在①的证明过程中∠FGH＝∠D1GF＝∠GEF+∠GFE＝2∠EFB，结合外角性质即可得到④正确；从而得到答案． 【解答】解：由折叠性质得∠DEF＝∠GEF，∠D2GF＝∠D1GF， ∴∠EGD2+∠D2GF+∠D1GF＝180°， ∵AD∥BC， ∴∠DEF＝∠EFG，则∠DEF＝∠GEF＝∠EFG， ∵∠D1GF是△EGF一个外角， ∴∠D1GF＝∠GEF+∠GFE， 设∠EGD2＝α，∠EFG＝β，则α+4β＝180°， 当∠EGD2＝∠EFG时，α＝β＝36°， 但题中并未明确∠EGD2、∠EFG的度数，故①错误； ∵ED1∥FC1， ∴∠EGC＝∠GFC1， 由折叠性质可知∠EFC＝∠EFC1，则2∠EFC＝∠BFC+∠GFC1＝∠EGC+180°，故②正确； 由折叠性质得∠EFC1＝∠EFC，∠GFC2＝∠GFC1． 由①的证明过程可知，∠GEF＝∠EFG＝26°， 设∠EFC2＝α，则∠GFC2＝26°+α＝∠GFC1， ∴∠EFC＝∠EFC1＝26°+（26°+α）＝α+52°， ∵∠EFG+∠EFC＝180°， ∴26°+α+52°＝180°， 解得α＝102°，即∠EFC2＝102°，故③正确； 由①知∠FGH＝∠D1GF＝∠GEF+∠GFE＝2∠EFB， ∵∠FHD2是△HGF的一个外角， ∴∠FHD2＝∠FGH+∠EFB＝3∠EFB，故④正确； 综上所述，题中正确的结论是②③④， 故答案为：②③④． 【点评】本题考查折叠求角度关系，涉及折叠性质、邻补角定义、三角形外角性质、平行线性质等知识，数形结合，利用相关几何性质． 三．解答题（共8小题） 19．（2025春•义乌市校级月考）如图，在边长为1个单位的正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′． （1）画出△A′B′C′； （2）连接AA′、CC′，那么AA′与CC′的关系是　平行且相等　 ； （3）在AB的左侧确定格点Q，使△ABQ的面积和△ABC的面积相等，这样的Q点有　5　 个（不包括C点）． 【考点】作图﹣平移变换；平行线的性质；平移的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；平移、旋转与对称；几何直观． 【答案】（1）见解答． （2）平行且相等． （3）5． 【分析】（1）由题意知，△ABC向右平移6个单位长度，向下平移1个单位长度得到△A′B′C′，根据平移的性质作图即可． （2）根据平移的性质可得答案． （3）过点C作AB的平行线，则所经过的格点（除点C外）均为满足题意的点Q，即可得出答案． 【解答】解：（1）由题意知，△ABC向右平移6个单位长度，向下平移1个单位长度得到△A′B′C′， 如图，△A′B′C′即为所求． （2）由平移得，AA′与CC′的关系是平行且相等． 故答案为：平行且相等． （3）过点C作AB的平行线，所经过的格点（除点C外）分别记为Q1，Q2，Q3，Q4，Q5， 则点Q1，Q2，Q3，Q4，Q5均满足题意， ∴这样的Q点有5个． 故答案为：5． 【点评】本题考查作图﹣平移变换、平行线的性质、平移的性质，熟练掌握平行线的性质、平移的性质是解答本题的关键． 20．（2024秋•侯马市期末）把下面解答过程中的理由或推理过程补充完整． 如图，AD∥BC，∠1＝∠B，∠2＝∠3． （1）试说明AB∥DE； （2）推导证明AF与DC的位置关系． 解：（1）∵AD∥BC（已知）， ∴∠1＝∠　DEC　 （　两直线平行，内错角相等　 ）， 又∵∠1＝∠B（已知）， ∴∠B＝∠　DEC　 （　等量代换　 ）， ∴AB∥DE（　同位角相等，两直线平行　 ）． （2）∵AB∥DE（已知）， ∴∠2＝∠　AGD　 （　两直线平行，内错角相等　 ）， 又∵∠2＝∠3（已知）， ∴∠　AGD　 ＝∠　3　 （等量代换）， ∴AF　∥　 DC． 【考点】平行线的判定与性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】（1）DEC；两直线平行，内错角相等；DEC；等量代换；同位角相等，两直线平行； （2）AGD；两直线平行，内错角相等；AGD；3；∥． 【分析】（1）根据平行线的判定与性质解答即可； （2）根据平行线的判定与性质解答即可． 【解答】解：（1）∵AD∥BC（已知）， ∴∠1＝∠DEC（两直线平行，内错角相等）， 又∵∠1＝∠B（已知）， ∴∠B＝∠DEC（等量代换）， ∴AB∥DE（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：DEC；两直线平行，内错角相等；DEC；等量代换；同位角相等，两直线平行； （2）∵AB∥DE（已知）， ∴∠2＝∠AGD（两直线平行，内错角相等）， 又∵∠2＝∠3（已知）， ∴∠AGD＝∠3（等量代换）， ∴AF∥DC， 故答案为：AGD；两直线平行，内错角相等；AGD；3；∥． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，等量代换，熟练掌握平行线的判定与性质是解此题的关键． 21．（2024秋•庐阳区期末）如图，∠AOB的平分线为OM，ON为∠AOM内的一条射线． （1）如图1，若∠BON＝50°，∠AON＝30°，求∠MON的度数； （2）如图2，若ON⊥OB，且，求∠MON的度数． 【考点】垂线；角平分线的定义；角的计算．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】（1）10°； （2）24°． 【分析】（1）先根据已知条件求出∠AOB的度数，再根据角平分线的定义求出∠BOM，最后根据∠MON＝∠BON﹣∠BOM求出答案即可； （2）先根据垂直定义求出∠MON+∠BOM＝90°，再根据角平分线定义求出∠BOM＝∠AON+∠MON，然后列出关于∠AON和∠MON的方程组，解方程组求出∠MON即可． 【解答】解：（1）∵∠BON＝50°，∠AON＝30°， ∴∠AOB＝∠BON+∠AON＝50°+30°＝80°， ∵∠AOB的平分线为OM， ∴∠BOM， ∴∠MON＝∠BON﹣∠BOM＝50°﹣40°＝10°； （2）∵ON⊥OB， ∴∠MON+∠BOM＝90°， ∵∠AOB的平分线为OM， ∴∠BOM＝∠AON+∠MON， ∴∠AON+2∠MON＝90°①， ∵， ∴3∠AON+∠MON＝150°② ①×3﹣②得：∠MON＝24°． 【点评】本题主要考查了角的有关计算，解题关键是熟练掌握角平分线定义、正确识别图形，理解角与角之间得到和差倍分关系． 22．（2024秋•香坊区期末）【问题情境】：在数学课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动． 已知直线AB∥CD，点E、G分别为直线AB、CD上的点，点F是AB与CD之间任意一点，连接EF、GF．直线l∥FG，直线l分别交AB、CD于M、N两点． 【探索发现】： （1）如图1，求证：∠BMN＝∠FGC； 【深入探究】： （2）如图2，求证：∠EFG＝∠BMN+∠MEF； 【拓广探索】： （3）如图3，ER平分∠FEB，GR平分∠FGD，过点F作FG的垂线交CD于点H，连接MH，，∠FHD﹣∠AEF＝30°，求∠HMN的度数． 【考点】平行线的判定与性质；垂线．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）通过两直线平行，内错角相等可证∠BMN＝∠CNM，∠FGC＝∠CNM，等量代换即可得证； （2）过拐点作平行线，过F作FH∥AB，则AB∥CD∥FH，再通过内错角相等导角即可得证； （3）由题易得∠BER＝∠FER＝x，∠FGR＝∠DGR＝y，过F作FT∥AB∥CD，过R作RS∥AB∥CD，进而可得∠ERS＝∠BER＝x，∠GRS＝∠DGR＝y，∠ERG＝x+y，∠1＝180°﹣2y，∠AEF＝180°﹣2x，再根据∠FHD﹣∠AEF＝30°建立方程求解即可． 【解答】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠BMN＝∠CNM， ∵l∥FG， ∴∠FGC＝∠CNM， ∴∠BMN＝∠FGC； （2）如图，过F作FH∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥FH， ∴∠MEF＝∠EFH，∠FGC＝∠GFH， 由（1）知∠BMN＝∠FGC， ∴∠BMN＝∠GFH， ∴∠EFG＝∠GFH+∠EFH＝∠BMN+∠MEF； （3）解：如图， ∵ER平分∠FEB，GR平分∠FGD， ∴设∠BER＝∠FER＝x，∠FGR＝∠DGR＝y， 过F作FT∥AB∥CD，过R作RS∥AB∥CD， ∴∠ERS＝∠BER＝x，∠GRS＝∠DGR＝y， ∴∠ERG＝x+y，∠1＝180°﹣2y，∠AEF＝180°﹣2x， ∵∠HFG＝90°， ∴∠2＝90°﹣∠1＝90°﹣（180°﹣2y）＝2y﹣90°， ∴∠FHD＝∠2＝2y﹣90°， ∵∠FHD﹣∠AEF＝30°， ∴2y﹣90°﹣（180°﹣2x）＝30°， ∴2x+2y＝300°， ∴x+y＝150°， ∴∠ERG＝x+y＝150°， ∴25°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质和判定、垂线的定义、角的计算等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 23．（2025春•南昌县校级月考）如图，已知AD∥BC，∠A＝∠C． （1）如图1，试说明：AB∥CD； （2）如图2，连接BD，若点E，F在线段AB上，且满足DB平分∠FDC，DE平分∠ADF，∠A＝∠C＝110°，求∠EDB的度数； （3）①如图2，在（2）中，若∠A＝∠C＝x°，其他条件不变，求∠EDB的度数（直接写出答案，用含x的代数式表示）； ②如图3，在（3）①的条件下，将线段BC沿着射线AB的方向向右平移，当DF平分∠EDB时，若∠A＝∠C＝x°，求∠AED的度数（直接写出答案，用含x的代数式表示）； ③如图3，在（3）①的条件下，将线段BC沿着射线AB的方向向右平移，当∠AED＝∠CBD时，若∠A＝∠C＝x°，求∠ABD的度数（直接写出答案，用含x的代数式表示）． 【考点】平行线的判定与性质；平移的性质；角平分线的定义．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；平移、旋转与对称；推理能力． 【答案】（1）见解析； （2）35°； （3）①；②；③． 【分析】（1）利用两直线平行的判断和性质进行证明； （2）根据平行线的性质得出∠ADC＝180°﹣∠A＝70°，根据角平分线的定义得出，，根据∠EDB＝∠EDF+∠FDB求出结果即可； （3）①根据解析（2）的方法求出结果即可； ②根据角平分线定义证明∠FDB＝∠EDF＝∠ADE＝∠BDC，求出，根据平行线的性质得出； ③根据平行线的性质证明∠ADE＝∠EDF＝∠FDB＝∠DBC，求出，根据平行线的性质得出∠ABD＝∠BDC，即可求出结果． 【解答】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠A+∠B＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵∠A＝∠C， ∴∠B+∠C＝180°（等量代换）， ∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）； （2）解：∵AB∥CD， ∴∠A+∠ADC＝180°， ∵∠A＝110°， ∴∠ADC＝180°﹣∠A＝70°， ∵DE平分∠ADF， ∴， ∵DB平分∠FDC ∴， ∴∠EDB＝∠EDF+∠FDB ＝35°． （3）解：①∵AB∥CD， ∴∠A+∠ADC＝180°， ∵∠A＝x°， ∴∠ADC＝（180﹣x）°， ∵DE平分∠ADF， ∴， ∵DB平分∠FDC ∴， ∴∠EDB＝∠EDF+∠FDB ； ②∵∠A＝x°， ∴∠ADC＝（180﹣x）°， ∵DE平分∠ADF， ∴， ∵DB平分∠FDC， ∴， ∵DF平分∠EDB， ∴， ∴∠FDB＝∠EDF＝∠ADE＝∠BDC， ∴， ∵AB∥CD， ∴； 所以∠AED的度数为（180﹣x）°； ③∵AB∥CD， ∴∠AED＝∠EDC＝∠EDB+∠BDC， ∵AD∥BC， ∴∠CBD＝∠ADB＝∠ADE+∠EDB， ∵∠AED＝∠CBD， ∴∠EDB+∠BDC＝∠ADE+∠EDB， ∴∠ADE＝∠BDC， ∴∠ADE＝∠EDF＝∠FDB＝∠DBC， ∴， ∵AB∥CD， ∴∠ABD＝∠BDC（两直线平行，内错角相等）， ∴． 【点评】本题主要考查了两直线平行的判定和性质，角平分线的定义，平移的性质，解题的关键是弄清角与角之间的关系． 24．（2025春•上海校级月考）自“中欧铁路——上海号”发车以来，中欧班列逐渐开辟了一条以上海为起点，连接欧洲及“一带一路”沿线地区的商贸流通的全新通道．“中欧铁路”为了安全起见需要在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，假定主道路是平行的，即PQ∥MN且∠BAM：∠BAN＝2：1． （1）填空：∠BAN＝　60　 °； （2）如图2，若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动．在转动过程中，灯B射线与MN交于点P′． 在灯B射线到达BQ之前，设灯A转动t秒．①当0＜t＜90时，则∠MAM′＝　2t　 °，∠PBP′＝　（30+t）°　 （用含t的式子表示）；②当灯A转动　30　 秒时，两灯的光束可以互相平行？ （3）如图3，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD＝120°，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 【考点】平行线的性质；列代数式；一元一次方程的应用．版权所有 【专题】一元一次不等式（组）及应用；线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】（1）60； （2）①2t；（30+t）°；②30； （3）不发生变化，∠BAC＝2∠BCD． 【分析】（1）根据∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，即可得到∠BAN的度数； （2）①根据路程＝速度×时间即可求出； ②若AM′∥BP′，则∠M′AB＝∠P′BA，又QP∥MN，所以∠PBA＝∠MAB，所以∠M′AM＝∠PBP′，进而求解； （3）设灯A射线转动时间为t秒，根据∠BAC＝2t﹣120°，∠BCD＝120°﹣∠BCD＝t﹣60°，即可得出∠BAC：∠BCD＝2：1，据此可得∠BAC和∠BCD关系不会变化． 【解答】解：（1）∵∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1， ∴， 故答案为：60； （2）①设灯A转动t秒（0＜t＜90）， 则∠MAM′＝（2t）°，∠PBP′＝（30+t）°， 故答案为：2t；（30+t）°． ②若AM′∥BP′，则∠M′AB＝∠P′BA， 又∵QP∥MN， ∴∠PBA＝∠MAB， ∴∠PBA﹣∠P′BA＝∠MAB﹣∠M′AB， ∴∠M′AM＝∠PBP′， ∴2t＝30+t， ∴t＝30， 故答案为：30； （3）不发生变化，∠BAC＝2∠BCD，理由如下： 设灯A射线转动时间为t秒， ∵∠CAN＝180°﹣2t， ∴∠BAC＝60°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣120°， 又∵∠ABC＝120°﹣t， ∴∠BCA＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣t， 而∠ACD＝120°， ∴∠BCD＝120°﹣∠BCA＝120°﹣（180°﹣t）＝t﹣60°， ∴∠BAC：∠BCD＝2：1， 即∠BAC＝2∠BCD． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，列代数式，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 25．（2023秋•泌阳县期末）如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起；如图2，其中∠ACB＝30°，∠DAE＝45°，∠BAC＝∠D＝90°．固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE＝α（0°＜α＜180°）． （1）当α为 　15　 度时，AD∥BC，并在图3中画出相应的图形； （2）在旋转过程中，试探究∠CAD与∠BAE之间的关系； （3）当△ADE旋转速度为5°/秒时，且它的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，直接写出时间t的所有值． 【考点】平行线的判定与性质．版权所有 【专题】压轴题；平移、旋转与对称． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）通过画图，即可求解； （2）分①当0°＜α≤45°，45°＜α≤90°、α＞90°时3种情况，画图计算即可； （3）分AD∥BC、DE∥AB、DE∥BC、AE∥BC，DE∥AC五种情况，分别求解即可． 【解答】解：（1）当α＝15°时，AD∥BC， 图形如下： 故答案为15； （2）设：∠CAD＝γ，∠BAE＝β， ①如图，当0°＜α≤45°时， α+β＝90°，α+γ＝45°， 故β﹣γ＝45°； ②当45°＜α≤90°时， 同理可得：γ+β＝45°， ③当90°＜α＜180°时， 同理可得：γ﹣β＝45°； （3）①当AD∥BC时，α＝15°，t＝3； ②当DE∥AB时，α＝45°，t＝9； ③当DE∥BC时，α＝105°，t＝21； ④当DE∥AC时，α＝135°，t＝27； ⑤当AE∥BC时，α＝150°，t＝30； 综上，t＝3或9或21或27或30． 【点评】解答此题的关键是通过画图，确定旋转后△ADE的位置，还注意分类求解，避免遗漏． 26．（2024春•香洲区校级期中）如图，点P为直线AB外一点，过点P作直线CD∥AB．现将一个含30°角的三角板EFG按如图1放置，使点F、E分别在直线AB、CD上，且点E在点P的右侧，∠G＝90°，∠EFG＝30°，设∠GFB＝α（0°＜α＜90°）． （1）填空：∠DEG+∠BFG＝　90　 °； （2）若∠CEF的平分线EH交直线AB于点H，如图2． ①当EH∥FG时，求α的度数； ②在①的条件下，将三角板EFG绕点E以每秒1°的转速进行顺时针旋转，同时射线PC绕点P以每秒4°的转速进行顺时针旋转，射线PC旋转一周后停止转动，同时三角板EFG也停止转动．在旋转过程中，当t＝　20或80　 秒时，CP∥EG． 【考点】平行线的判定与性质；一元一次方程的应用．版权所有 【专题】压轴题；推理能力． 【答案】（1）90°，（2）①30°．②20或80． 【分析】（1）先作辅助线构造平行，然后根据平行线的性质即可解答， （2）①利用两次平行线的性质，找到等量关系， ②动点问题，先把图形画出来，然后数形结合找到角之间的数量关系，列出方程，从而求出t． 【解答】解：（1）过点G作AB的平行线GM，如图： ∵CD∥AB，MG∥AB， ∴CD∥MG， ∴∠MGF＝∠GFB， ∴∠DGE+∠BFG＝∠EGM+∠MGF＝∠EGF＝90°， ∴∠DEG+∠BFG＝90°． 故答案为：90°． （2）①∵EH∥FG， ∴∠GFB＝∠EHF＝α， ∵HE平分∠CEF， ∴∠CEH＝∠FEH＝α， 又∵CD∥AB， ∴∠CEH＝∠EHF＝α，∠CEF＝∠EFB， ∴2α＝30°+α， 解得α＝30°． ②如图： 当射线旋转到PC'时，△EGF旋转至△DE'G'，延长EG'至点H， ∵PC'∥G'H， ∴∠CPC'＝∠CEH， ∵∠CEH＝∠DEG'， ∴∠CPC'＝∠DEG'， 由题意知，∠CPC'＝4t， 未旋转前，∠DEG＝90°﹣α＝90°﹣30°＝60°， ∴∠DEG'＝60°+t， ∴4°t＝60°+1°t， 解得t＝20． 当CP与CE在直线CD同侧且平行时， 由4t﹣180＝60+t，得t＝80． 故答案为：20或80． 【点评】本题考查了平行线的性质，添加辅助线是解题的关键，第3问是动点问题，找到模型即可解答． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 相交线与平行线 专题13 相交线与平行线单元测试卷（提优） 一．选择题（共8小题） 1．（2025•大连一模）下列命题中，是真命题的是（　　） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．过一点有无数条直线与已知直线平行 C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 2．（2024春•金沙县期中）甲、乙两人用同种材料制作的楼梯模型如图所示，则他们所用的材料的长度相比，（　　） A．甲用的长 B．乙用的长 C．一样长 D．无法判断 3．（2025春•西安月考）下列图中，∠1和∠2是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 4．（2025•海淀区校级模拟）如图，直线AB和CD相交于点O，OB平分∠DOE，OE⊥OF，若∠AOF＝28°，则∠COF的度数为（　　） A．28° B．30° C．32° D．34° 5．（2024秋•廉江市期末）如图，C为直线AB上一点，CD⊥CE，CF平分∠ACD，CH平分∠BCD，CG平分∠BCE．有下列结论：①∠ACF与∠BCH互余；②∠FCG与∠HCG互补；③∠ECF与∠GCH互补；④∠ACD﹣∠BCE＝90°，其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2024春•和平区校级期末）如图，已知MN∥PQ，点B在MN上，点C在PQ上，点A在MN上方，∠ABD：∠DBN＝3：2，点E在BD的反向延长线上，且∠ACE：∠ECP＝3：2，设∠A＝α，则∠E的度数用含α的式子一定可以表示为（　　） A．2α B． C． D．90°﹣α 7．（2024秋•青山区期末）如图，若AB∥CD，则α、β、γ之间的关系为（　　） A．α+β+γ＝360° B．α﹣β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝180° D．α+β+γ＝180° 8．（2024秋•儋州期末）如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论： ①∠D＝40°； ②2∠D+∠EHC＝90°； ③FD平分∠HFB； ④FH平分∠GFD． 其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共10小题） 9．（2024秋•鼓楼区期末）已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个命题： ①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c； ②如果b∥a，c∥a，那么b∥c； ③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；　④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c． 其中正确的是　 　 ．（填写序号） 10．（2024秋•龙口市期末）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长（AB）34米、宽20米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，已知小道的宽为2米，则种植面积为 　 　 平方米． 11．（2025•孝感二模）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中的平行光线，在空气中也是平行的．如图，若∠3+∠4＝115°48′，则∠2﹣∠1＝　 　 度． 12．（2025春•南昌县校级月考）如图，AB⊥BC，BD⊥AC，能表示点到直线的距离的线段共有 　 　 条． 13．（2025春•西安月考）如图，有以下条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠1+∠3+∠BGC＝180°；④∠1+∠3＝∠2+∠4；⑤∠E＝∠F，∠1＝∠2．其中能判断AB∥CD的条件有 　 　 （填序号）． 14．（2024秋•海口期末）【动手操作】如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝135°．将直角三角板MON绕点O旋转一周，当直线OM与直线OC互相垂直时，∠AOM的度数是 　 　 ． 15．（2024秋•泗洪县期末）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，A′B′与BC交于点G，若∠A′GC＝60°，则∠BFE的度数为 　 　 ． 16．（2025春•岳麓区校级月考）一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一次拐弯∠M的度数为α．第二次拐弯∠N的度数为β，到了点P后需要继续拐弯，拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行，则∠P＝　 　 ． 17．（2024春•青岛期中）如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD，∠DCF＝60°，∠EAB＝70°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，在射线CD转动一周的时间内，使得CD与AB平行所有满足条件的时间＝　 　 ． 18．（2024春•武汉期末）如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠（折线EF交AD于E，交BC于F），点C、D的对应点分别是C1，D1，ED1交BC于G，再将四边形C1D1GF沿FG折叠，点C1、D1的对应点分别是C2、D2，GD2交EF于H，给出下列结论： ①∠EGD2＝∠EFG； ②2∠EFC＝∠EGC+180°； ③若∠FEG＝26°，则∠EFC2＝102°； ④∠FHD2＝3∠EFB． 上述正确的结论是 　 　 ． 三．解答题（共8小题） 19．（2025春•义乌市校级月考）如图，在边长为1个单位的正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′． （1）画出△A′B′C′； （2）连接AA′、CC′，那么AA′与CC′的关系是　 　 ； （3）在AB的左侧确定格点Q，使△ABQ的面积和△ABC的面积相等，这样的Q点有　 　 个（不包括C点）． 20．（2024秋•侯马市期末）把下面解答过程中的理由或推理过程补充完整． 如图，AD∥BC，∠1＝∠B，∠2＝∠3． （1）试说明AB∥DE； （2）推导证明AF与DC的位置关系． 解：（1）∵AD∥BC（已知）， ∴∠1＝∠　 　 （　 　 ）， 又∵∠1＝∠B（已知）， ∴∠B＝∠　 　 （　 　 ）， ∴AB∥DE（　 　 ）． （2）∵AB∥DE（已知）， ∴∠2＝∠　 　 （　 　 ）， 又∵∠2＝∠3（已知）， ∴∠　 　 ＝∠　 　 （等量代换）， ∴AF　 　 DC． 21．（2024秋•庐阳区期末）如图，∠AOB的平分线为OM，ON为∠AOM内的一条射线． （1）如图1，若∠BON＝50°，∠AON＝30°，求∠MON的度数； （2）如图2，若ON⊥OB，且，求∠MON的度数． 22．（2024秋•香坊区期末）【问题情境】：在数学课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动． 已知直线AB∥CD，点E、G分别为直线AB、CD上的点，点F是AB与CD之间任意一点，连接EF、GF．直线l∥FG，直线l分别交AB、CD于M、N两点． 【探索发现】： （1）如图1，求证：∠BMN＝∠FGC； 【深入探究】： （2）如图2，求证：∠EFG＝∠BMN+∠MEF； 【拓广探索】： （3） 如图3，ER平分∠FEB，GR平分∠FGD，过点F作FG的垂线交CD于点H，连接MH，，∠FHD﹣∠AEF＝30°，求∠HMN的度数． 23．（2025春•南昌县校级月考）如图，已知AD∥BC，∠A＝∠C． （1）如图1，试说明：AB∥CD； （2）如图2，连接BD，若点E，F在线段AB上，且满足DB平分∠FDC，DE平分∠ADF，∠A＝∠C＝110°，求∠EDB的度数； （3）①如图2，在（2）中，若∠A＝∠C＝x°，其他条件不变，求∠EDB的度数（直接写出答案，用含x的代数式表示）； ②如图3，在（3）①的条件下，将线段BC沿着射线AB的方向向右平移，当DF平分∠EDB时，若∠A＝∠C＝x°，求∠AED的度数（直接写出答案，用含x的代数式表示）； ③如图3，在（3）①的条件下，将线段BC沿着射线AB的方向向右平移，当∠AED＝∠CBD时，若∠A＝∠C＝x°，求∠ABD的度数（直接写出答案，用含x的代数式表示）． 24．（2025春•上海校级月考）自“中欧铁路——上海号”发车以来，中欧班列逐渐开辟了一条以上海为起点，连接欧洲及“一带一路”沿线地区的商贸流通的全新通道．“中欧铁路”为了安全起见需要在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，假定主道路是平行的，即PQ∥MN且∠BAM：∠BAN＝2：1． （1）填空：∠BAN＝　 　 °； （2）如图2，若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动．在转动过程中，灯B射线与MN交于点P′． 在灯B射线到达BQ之前，设灯A转动t秒．①当0＜t＜90时，则∠MAM′＝　 　 °，∠PBP′＝　 　 （用含t的式子表示）；②当灯A转动　 　 秒时，两灯的光束可以互相平行？ （3）如图3，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD＝120°，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 25．（2023秋•泌阳县期末）如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起；如图2，其中∠ACB＝30°，∠DAE＝45°，∠BAC＝∠D＝90°．固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE＝α（0°＜α＜180°）． （1）当α为 　 　 度时，AD∥BC，并在图3中画出相应的图形； （2）在旋转过程中，试探究∠CAD与∠BAE之间的关系； （3）当△ADE旋转速度为5°/秒时，且它的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，直接写出时间t的所有值． 26．（2024春•香洲区校级期中）如图，点P为直线AB外一点，过点P作直线CD∥AB．现将一个含30°角的三角板EFG按如图1放置，使点F、E分别在直线AB、CD上，且点E在点P的右侧，∠G＝90°，∠EFG＝30°，设∠GFB＝α（0°＜α＜90°）． （1）填空：∠DEG+∠BFG＝　 　 °； （2）若∠CEF的平分线EH交直线AB于点H，如图2． ①当EH∥FG时，求α的度数； ②在①的条件下，将三角板EFG绕点E以每秒1°的转速进行顺时针旋转，同时射线PC绕点P以每秒4°的转速进行顺时针旋转，射线PC旋转一周后停止转动，同时三角板EFG也停止转动．在旋转过程中，当t＝　 　 秒时，CP∥EG． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$