精品解析：四川省雅安中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

雅安中学高二2024-2025学年度（下）3月数学月考题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设函数满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 已知数列中，，，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 用数学归纳法证明：“为正整数”，在到时的证明中，（ ） A. 左边增加的项为 B. 左边增加的项为 C. 左边增加的项为 D. 左边增加的项为 5. 设数列和都为等差数列，记它们的前项和分别为和，满足，则（ ） A. B. C. D. 6. 意大利数学家列昂那多•斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”（斐波那契数列）：，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛的应用.已知斐波那契数列满足：，若，则等于（ ） A. 14 B. 13 C. 89 D. 144 7. 对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，对自然数，规定为数列的阶差分数列，其中.若，且，则数列的通项公式为 A. B. C. D. 8. 数列{an}满足a1＝1，，若，b1＝－λ，且数列{bn}满足bn＋1＞bn（n∈N*），则实数λ的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题正确的有（ ） A. ，则 B. ，则 C. D. 设函数的导函数为，且，则 10. 下列命题正确的有（ ） A. 若数列为等比数列，为其前项和，则成等比数列； B. 若数列为等差数列，则为等比数列； C. 数列满足:，则 D. 已知为数列的前项积，若，则数列的前项和 11. 已知数列满足，，定义其“双阶变换”数列为.以下命题正确的是（ ） A. 的通项公式为 B. 存在周期性 C. 当为偶数时， D. 的奇数项之和为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正项等比数列满足，且，则公比为______________. 13. 已知正项数列{}是公比不等于1的等比数列，且 若 则 __________. 14. 已知数列满足，，，的通项公式（用表示）为__________；若是递增数列，则的取值范围为__________． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设数列的前项和为，已知，且为等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）若，求的前项和. 16. 已知函数的图象经过点，且在点A处的切线与直线l：垂直． （1）求a，b的值； （2）求经过点且与曲线相切的切线方程． 17. 已知正项数列的前项和为，且满足. （1）证明：为等差数列. （2）求的值和的通项公式. （3）若数列满足，其前项和为，证明：. 18. 市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式： ①等额本金：每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同； ②等额本息：每月的还款额均相同． 银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款（如2020年7月7日贷款到账，则2020年8月7日首次还款）．已知该笔贷款年限为20年，月利率为0.4%． （1）若小张采取等额本金的还款方式，已知第一个还款月应还4900元，最后一个还款月应还2510元，试计算该笔贷款的总利息． （2）若小张采取等额本息的还款方式，银行规定，每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半．已知小张家庭平均月收入为1万元，判断小张申请该笔贷款是否能够获批（不考虑其他因素）． 参考数据：． （3）对比两种还款方式，从经济利益的角度考虑，小张应选择哪种还款方式． 19. 若数列满足（为正整数，为常数），则称数列为等方差数列，为公方差. （1）已知数列，的通项公式分别为：，，判断上述两个数列是否为等方差数列，并说明理由； （2）若数列既是等方差数列，又是等差数列，证明：数列为常数列. （3）若数列是首项为1，公方差为2的等方差数列，在（1）的条件下，在与之间依次插入数列中的项构成新数列：，，，，，，，，，，……，求数列中前30项的和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 雅安中学高二2024-2025学年度（下）3月数学月考题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设函数满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的定义及极限的运算性质计算可得. 【详解】， 故选：B 2. 已知数列中，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】列出数列的前四项的值，推导出数列是周期数列，结合周期性可得答案. 【详解】在数列中，，，则， ，，， 以此类推可知，，即数列是以为周期的周期数列， 所以，. 故选：C. 3. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差等比数列的性质即可求解. 【详解】解：数列是等差数列，，可得，即， 数列是等比数列，，可得，可得， 则. 故选：B. 4. 用数学归纳法证明：“为正整数”，在到时的证明中，（ ） A. 左边增加的项为 B. 左边增加的项为 C. 左边增加的项为 D. 左边增加的项为 【答案】D 【解析】 【分析】根据式子的结构特征，求出当n＝k时，等式的左边，再求出n＝k+1 时，等式的左边，比较可得所求． 【详解】当n＝k时，等式的左边为， 当n＝k+1 时，等式的左边为， 故从“n＝k到n＝k+1”，左边所要添加的项是． 故选：D． 5. 设数列和都为等差数列，记它们的前项和分别为和，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列前项和公式及下标和定理计算即可． 【详解】数列和都为等差数列，且， 则， 故选：B． 6. 意大利数学家列昂那多•斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”（斐波那契数列）：，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛的应用.已知斐波那契数列满足：，若，则等于（ ） A. 14 B. 13 C. 89 D. 144 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合斐波那契数列的性质，逐项迭代，即可求解. 【详解】根据题意，若，即， 由斐波那契数列的性质，可得： ， 所以. 故选：A. 7. 对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，对自然数，规定为数列的阶差分数列，其中.若，且，则数列的通项公式为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题中定义结合等式可得出，等式两边同时除以，可得出，可知数列是以为首项，以为公差的等差数列，求出数列的通项公式，即可得出. 【详解】根据题中定义可得， 即，即， 等式两边同时除以，得，且， 所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，， 因此，. 故选：B. 【点睛】本题考查利用构造法求数列的通项公式，涉及数列的新定义以及等差数列的定义，考查运算求解能力，属于中等题. 8. 数列{an}满足a1＝1，，若，b1＝－λ，且数列{bn}满足bn＋1＞bn（n∈N*），则实数λ的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由数列递推式得到是首项为2，公比为2的等比数列，求出其通项公式后代入，当时，，且求得实数的取值范围. 【详解】解：由得，，则， 由，得， ∴数列是首项为2，公比为2的等比数列， ∴， 由，得， 因为数列满足， ，即， 所以， 又∵，， 由，得，得， 综上：实数的取值范围是. 故选：C. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题正确的有（ ） A. ，则 B. ，则 C. D. 设函数的导函数为，且，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据基本初等函数的求导公式和求导的四则运算逐一判断即可. 【详解】对于A项，，则，故A项正确； 对于B项，，故B项错误； 对于C，因为，故C错误； 对于D，因为，故，故D正确. 故选：AD. 10. 下列命题正确的有（ ） A. 若数列为等比数列，为其前项和，则成等比数列； B. 若数列为等差数列，则为等比数列； C. 数列满足:，则 D. 已知为数列的前项积，若，则数列的前项和 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，当时，不合题意；对于B，利用等差等比数列的定义即可证明；对于C，，不合题意；对于D，当时，，然后求出的递推关系，即可判断. 【详解】对于A：设等比数列的公比为， 若，则，可得， 则，，故不是等比数列，故A错误； 对于B：设等差数列公差为，则， 则是个常数，所以为等比数列，故B正确； 对于C：依题意，，它不满足，故C错误； 对于D：，当时，，即，解得， 当时，，于是，即， 数列是首项为3，公差为2的等差数列， 所以数列的前项和，故D正确. 故选：BD. 11. 已知数列满足，，定义其“双阶变换”数列为.以下命题正确的是（ ） A. 的通项公式为 B. 存在周期性 C. 当为偶数时， D. 的奇数项之和为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据递推关系式，利用累加法求出数列的通项公式；分类讨论为偶数和奇数时，根据题意求和得出数列的通项公式；利用分组求和法结合平方和公式可求出的奇数项之和.根据所求结果分别对选项进行判断即可. 【详解】由题意，，当时，， 所以 当时，适合上式，所以. 故A正确. 由题意，， 当为偶数时，， 此时，则有即， 所以 当为奇数时，则为偶数，则有， 所以 故B错误，C正确. 对于D，为了方便计算，采用， 当为奇数时，其前项中，奇数项有项， 则 当为偶数时，其前项中，奇数项有项， 此时为奇数，根据上述结论，则有 则 故D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正项等比数列满足，且，则公比为______________. 【答案】## 【解析】 【分析】设数列公比为q，然后由等比数列通项公式结合题意可得答案. 【详解】设数列公比为q，因，则. 又，则. 故答案为： 13. 已知正项数列{}是公比不等于1的等比数列，且 若 则 __________. 【答案】 【解析】 【分析】利用已知和函数可得，利用倒序相加即可得. 【详解】由等比数列性质可得；， 又因为函数，所以， 即，所以； 令， 则； 所以， 即. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：利用等比数列的性质得；，进而计算的值，从而解决求值问题. 14. 已知数列满足，，，的通项公式（用表示）为__________；若是递增数列，则的取值范围为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意可得，进而可得为常数列，可得，进而可得数列是首项为、公比为2的等比数列，可求通项公式；另解1，由，可得，可得数列是首项为、公比为2的等比数列，可求解；另解2，由，利用累加法可求通项公式；利用是单调递增数列可求得的取值范围. 【详解】由，构造特征方程，解得或． 所以，即为常数列，则①． 又，其中， 所以数列是首项为、公比为2的等比数列， 则②． ②-①得，． 另解1 如果只应用，采用待定系数法：设， 则， 所以，， 所以数列是首项为、公比为2的等比数列， 则，即． 另解2 如果只应用，则 ， 当时，，适合上式，故． 由是递增数列得，则的取值范围为． 故答案为：；． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设数列的前项和为，已知，且为等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）若，求的前项和. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）先根据等差数列的性质得，再由与的关系求数列的通项公式； （2）采用分组求和法，分别对奇数项和偶数项求和，结合等差数列求和公式和裂项相消法可求得结果. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，因为， 所以，即， 所以，即， 当时，， 当时，，满足上式，所以. 【小问2详解】 由（1）知 则 ， 所以数列的前项和为. 16. 已知函数的图象经过点，且在点A处的切线与直线l：垂直． （1）求a，b的值； （2）求经过点且与曲线相切的切线方程． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）由题意可得，，计算即可得； （2）借助导数的几何意义计算即可得. 【小问1详解】 因为，所以． 的图象在点处的切线与直线l：垂直， ∴，解得； 【小问2详解】 由（1）知，， 设切点坐标为， 因为， 所以切线方程为， 又切线过点， 所以， 即， 解得或， 即或， 即或， 所以经过点且与曲线相切的切线方程为或． 17. 已知正项数列的前项和为，且满足. （1）证明：为等差数列. （2）求的值和的通项公式. （3）若数列满足，其前项和为，证明：. 【答案】（1）证明过程见解析； （2），； （3）证明过程见解析 【解析】 【分析】（1）根据时，得到，证明出为等差数列； （2）利用等差数列性质及得到，结合求出，并得到通项公式； （3），利用错位相减法求和，得到. 【小问1详解】 ①， 当时，②， 式子①-②得， 故，故， 为正项数列，故，所以， 即，为公差为2的等差数列； 【小问2详解】 由（1）知，为公差为2的等差数列， ，故， 中，令得， 即， 将代入上式得，解得， 的通项公式为； 【小问3详解】 ， ③， 故④， 式子③-④得 ， 故. 18. 市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式： ①等额本金：每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同； ②等额本息：每月的还款额均相同． 银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款（如2020年7月7日贷款到账，则2020年8月7日首次还款）．已知该笔贷款年限为20年，月利率为0.4%． （1）若小张采取等额本金的还款方式，已知第一个还款月应还4900元，最后一个还款月应还2510元，试计算该笔贷款的总利息． （2）若小张采取等额本息的还款方式，银行规定，每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半．已知小张家庭平均月收入为1万元，判断小张申请该笔贷款是否能够获批（不考虑其他因素）． 参考数据：． （3）对比两种还款方式，从经济利益的角度考虑，小张应选择哪种还款方式． 【答案】（1）（元） ；（2）小张申请该笔贷款能够获批 ；（3）小张应选择等额本金的还款方式． 【解析】 【分析】（1）由题意可知，等额本金还款方式中，每月的还款额构成一个等差数列，即可由等差数列的前项和公式求得其还款总额，减去本金即为还款的利息； （2）根据题意，采取等额本息的还款方式，每月还款额为一等比数列，设小张每月还款额为元，由等比数列求和公式及参考数据，即可求得其还款额，与收入的一半比较即可判断； （3）计算出等额本息还款方式时所付出的总利息，两个利息比较即可判断. 【详解】（1）由题意可知，等额本金还款方式中， 每月的还款额构成等差数列，记为， 用表示数列的前项和， 则，， 则， 故小张的该笔贷款的总利息为（元）． （2）设小张每月还款额为元，采取等额本息的还款方式，每月还款额为一等比数列， 则， 所以， 即， 因为， 所以小张该笔贷款能够获批. （3）小张采取等额本息贷款方式的总利息为 （元）， 因为， 所以从经济利益的角度来考虑，小张应选择等额本金的还款方式． 19. 若数列满足（为正整数，为常数），则称数列为等方差数列，为公方差. （1）已知数列，的通项公式分别为：，，判断上述两个数列是否为等方差数列，并说明理由； （2）若数列既是等方差数列，又是等差数列，证明：数列为常数列. （3）若数列是首项为1，公方差为2的等方差数列，在（1）的条件下，在与之间依次插入数列中的项构成新数列：，，，，，，，，，，……，求数列中前30项的和. 【答案】（1） 因为常数， 所以数列为等方差数列，1为公方差； 因为， 所以数列不是等方差数列； （2） 因为是等差数列，设其公差为d， 则， 又是等方差数列，所以， 故， 所以， 即， 所以，故是常数列； （3） 【解析】 【分析】（1）根据等方差数列的定义，即可判断； （2）根据等差数列及等方差数列的定义即可求解； （3）首先说明是等比数列，再根据等比数列和等差数列求和公式，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意知数列是首项为1，公方差为2的等方差数列， 故，而，所以， 是首项为1，公比为3的等比数列， 而新数列中项含前共有项， 令，结合，解得， 故数列中前30项含有的前7项和数列的前23项， 所以数列中前30项的和. 【点睛】解答与数列有关的新定义问题的策略： （1）通过给定的与数列有关的新定义，或约定的一种新运算，或给出的由几个新模型来创设的新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题设所提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的. （2）遇到新定义问题，需耐心研究题中信息，分析新定义的特点，搞清新定义的本质，按新定义的要求“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以顺利解决. （3）类比“熟悉数列”的研究方式，用特殊化的方法研究新数列，向“熟悉数列”的性质靠拢. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $