精品解析：广东省清远市清城区清城中学教育集团四校联考2024-2025学年九年级下学期开学考试数学试题

2024-2025学年九年级下学期2月开学考 数学试题 一、单选题（本题共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列选项中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是国家级非物质文化遗产衢州莹白瓷的直口杯，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 盒子里装有5张质地均匀、大小相同的数字卡片，上面分别写着1，2，3，4，5．从盒中任意摸出一张卡片，摸出偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 若反比例函数的图象经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 在矩形中，、相交于点，若，则的长为（ ）． A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 6. 依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是（ ） A. B. C. D. 7. 电影《长津湖》一上映，第一天票房约2亿元，若每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达13亿元，若增长率记作x，方程可以列为（ ） A. B. C. D. 8. 小李广花荣是《水浒传》中的108将之一，有着高超的箭术．如图，一枚圆形古钱币的中间是正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为．将一枝箭射到古钱币的圆形区域内，箭穿过正方形孔的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点O为位似中心，相似比为3，将放大，则点A的对应点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 10. 反比例函数与一次函数（其中x为自变量，k为非零常数）在同一直角坐标系中大致图象是（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每题3分，共15分） 11. 当___________时，关于x一元二次方程(的一个根是． 12. 如图，在中，D是中点，，则的长是______． 13. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为______． 14. 如图，由24个边长为1的正方形组成的网格。，的顶点都是网格内正方形的顶点，若，则它们的相似比______． 15. 如图，在矩形中，，，点为边的中点，把矩形折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为，则长为________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 用适当的方法解下列方程． （1） （2）． 17. 如图，在中，于点D，，求和． 18. 如图，在菱形中，E为延长线上一点，连接交于点F，． （1）求证：； （2）若，求的长． 四、解答题（二）：本大题共2小题，每小题9分，共18分． 19. 下图是两个可以自由转动转盘，甲转盘被等分成3个扇形，乙转盘被等分成4个扇形，每一个扇形上都标有相应的数字．小亮和小颖利用它们做游戏，游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，若指针所指区域内的数字之和小于10，则小颖获胜；若指针所指区域内的数字之和等于10，则为平局；若指针所指区域内的数字之和大于10，则小亮获胜．如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止． （1）请你通过画树状图或列表的方法求小颖获胜的概率． （2）该游戏规则是否公平？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计出一种公平游戏规则． 20. 如图，在长为，宽为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，则道路的宽为多少？ 五、解答题（三）：本大题共3小题，每题12分，共36分． 21. 综合与实践 【问题情境】 排箫是中国的传统乐器，它由长短不同的竹管组成，如图1，现要利用若干长为的相同吸管制作简易排箫． 【实验操作】 将吸管不断剪短，用嘴对着吸管吹气，用相关软件测得吸管另一出口发出声音的振动频率，部分数据如表1： 表1 长度（） 振动频率（） 【探索发现】 （1）通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越 （填“高”或“低”）； （2）请你根据表1中的数据在图2中描点、连线．观察图象，从振动频率y与吸管长度x之间的关系可以近似用 函数模型反映（从初中所学函数选择），并求出该函数表达式． 表2 C调音符与频率对照表 音符 不同音区的频率（） 低音区 中音区 高音区 【实际应用】 （3）根据表2，判断这批吸管制作的排箫能否吹出低音区的音，若能，请求出对应吸管长度，若不能，请说明理由．（精确到） 22. 综合与实践：数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣，获得数学知识． 如图①，在矩形中，点E、F、G分别为边、、的中点，连接、，H为的中点，连接．将绕点B旋转，线段、和的位置和长度也随之变化． 当绕点B顺时针旋转时，请解决下列问题： （1）图②中，，此时，点E落在的延长线上，点F落在线段上，连接，猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想； （2）图③中，若，，则 ；当，时， ； （3）在（2）的条件下，连接图③中矩形的对角线，并沿对角线剪开，得 （如图④）．点M、N分别在、上，连接，将沿翻折，使点C的对应点P落在的延长线上，若平分，则长为 ． 23. 如图，在平面直角坐标系中中，矩形的边在轴上，边在轴上，点坐标为，反比例函数的图像交分别为． （1）当时，求的值； （2）将沿翻折，点对应点记为，问的值是否为定值，若是求出该值、若不是请用表示； （3）连接，作，并使，求过点的反比例函数解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级下学期2月开学考 数学试题 一、单选题（本题共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列选项中，y是x反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义：“形如，或者，这样的函数叫做反比例函数”，进行判断即可． 【详解】解：在，，，中，是反比例函数的是； 故选A． 2. 如图是国家级非物质文化遗产衢州莹白瓷的直口杯，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了三视图，根据从上面看到的图形是俯视图进行解答即可. 【详解】解：根据题意，可知俯视图为 故选：B 3. 盒子里装有5张质地均匀、大小相同的数字卡片，上面分别写着1，2，3，4，5．从盒中任意摸出一张卡片，摸出偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求解随机事件的概率，用出现偶数的情况除以总情况数即可． 【详解】解：总共有5种情况，摸出偶数的情况有2种， 故摸出偶数的概率是． 故选：B． 4. 若反比例函数的图象经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键． 根据反比例函数图象上点的坐标的特征，把点代入反比例函数即可求． 【详解】解：∵的图象经过， ∴． 故选：B 5. 在矩形中，、相交于点，若，则的长为（ ）． A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质：对角线互相平分且相等得BD＝AC＝2OA，即可得出答案． 【详解】解：∵ 在矩形ABCD中，， ∴， ∴BD＝AC＝6， 故选：B 【点睛】此题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 6. 依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定方法，根据菱形的判定方法逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、对角线互相平分，且根据勾股定理的逆定理可得有一个角是直角，即对角线互相垂直，故可得四边形是菱形，故该选项不符合题意； B、四边相等的四边形是菱形，故该选项不符合题意 C、对角线互相平分，不能证明菱形，故该选项符合题意． D、根据已知角可得四边形是平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形，故该选项不符合题意； 故选：C． 7. 电影《长津湖》一上映，第一天票房约2亿元，若每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达13亿元，若增长率记作x，方程可以列为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】第一天为2亿元，根据增长率为x得出第二天为亿元，第三天为亿元，根据三天累计为13亿元，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设平均每天票房的增长率为x， 根据题意得． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8. 小李广花荣是《水浒传》中的108将之一，有着高超的箭术．如图，一枚圆形古钱币的中间是正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为．将一枝箭射到古钱币的圆形区域内，箭穿过正方形孔的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算正方形与圆的面积比即可． 【详解】解：设圆的直径为，则正方形的对角线长为， ∴圆面积为，正方形的面积为， ∴箭穿过正方形孔的概率为， 故选：B． 【点睛】本题考查了几何概率．解题的关键在于正确的计算． 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点O为位似中心，相似比为3，将放大，则点A的对应点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似图形与坐标，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点坐标的比等于k或． 【详解】解：∵，以点O为位似中心，相似比为3，将放大， ∴点的坐标为或， 故选：C． 10. 反比例函数与一次函数（其中x为自变量，k为非零常数）在同一直角坐标系中的大致图象是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数以及反比例函数的知识，解题的关键是掌握一次函数以及反比例函数的图象与性质； 根据反比例函数的图象可知的正负，由一次函数的图象可知k的正负，由一次函数在y轴上的截距得k的正负，依次判断即可； 【详解】A、由反比例函数的图象可知，，由一次函数的图象可知，，由一次函数在y轴上的截距可知，两结论矛盾，故本选项不符合题意； B、由反比例函数的图象可知，，由一次函数的图象可知，，由一次函数在y轴上的截距可知，故本选项符合题意； C、由反比例函数的图象可知，，由一次函数的图象可知，，两结论矛盾，故本选项不符合题意； D、由反比例函数的图象可知，，由一次函数的图象可知，，由一次函数在y轴上的截距可知，两结论矛盾，故本选项不符合题意； 故选：B 二、填空题（本题共5小题，每题3分，共15分） 11. 当___________时，关于x的一元二次方程(的一个根是． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及一元二次方程的解，把方程的解代入方程求出a的值，再结合一元二次方程的定义即可求解． 【详解】解：把代入方程有：， ∴； 又∵当时，方程不是一元二次方程， ∴， 故答案为． 12. 如图，在中，D是的中点，，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的性质．掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题关键．根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵在中，是斜边上的中线，， ∴． 故答案为：2． 13. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据根的判别式大于零求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴16-4(4-n)>0， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根． 14. 如图，由24个边长为1的正方形组成的网格。，的顶点都是网格内正方形的顶点，若，则它们的相似比______． 【答案】 【解析】 【分析】根据网格的特点以及勾股定理，得出，继而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 15. 如图，在矩形中，，，点为边的中点，把矩形折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为，则长为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，分别在和中利用勾股定理表示出，进而构建方程求解即可． 【详解】解：连接， ∵在矩形中，，点为边的中点， ∴， 设，则， ∴， 由折叠得：，，， ∴， ∴， 解得：， 即长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，作出合适的辅助线，构造出直角三角形，再利用勾股定理构建出方程是解题的关键． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 用适当的方法解下列方程． （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程： （1）运用因式分解法，再令每个因式等于0，进行解一元二次方程，即可作答； （2）先移项，得，运用因式分解法，再令每个因式等于0，进行解一元二次方程，即可作答． 【小问1详解】 解： 则 解得 【小问2详解】 解： 则 解得 17. 如图，在中，于点D，，求和． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．证明，列出比例式求出的长，再利用勾股定理求出的长即可．证明是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值已舍掉）； ∴． 18. 如图，在菱形中，E为延长线上一点，连接交于点F，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质以及菱形的性质． （1）根据菱形的性质可得，从而得到，即可求证； （2）根据菱形的性质可得，再由，可得，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：，． 四、解答题（二）：本大题共2小题，每小题9分，共18分． 19. 下图是两个可以自由转动的转盘，甲转盘被等分成3个扇形，乙转盘被等分成4个扇形，每一个扇形上都标有相应的数字．小亮和小颖利用它们做游戏，游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，若指针所指区域内的数字之和小于10，则小颖获胜；若指针所指区域内的数字之和等于10，则为平局；若指针所指区域内的数字之和大于10，则小亮获胜．如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止． （1）请你通过画树状图或列表的方法求小颖获胜的概率． （2）该游戏规则是否公平？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计出一种公平的游戏规则． 【答案】（1） （2）不公平，公平的游戏规则见详解 【解析】 【分析】（1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出小颖获胜的概率即可； （2）判断游戏的公平性，首先要计算出游戏双方赢的概率，概率相等则公平，否则不公平；然后设计出公平的游戏规则（答案不唯一）． 【小问1详解】 解：根据题意，画树状图如下所示： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中指针所指区域内的两数字之和小于10的有6种， ∴小颖获胜的概率为； 【小问2详解】 该游戏规则不公平． 由（1）可知，共有12种等可能的情况，其和大于10的情况有3种， ∴小亮获胜的概率为，而小颖获胜的概率为， 故该游戏规则不公平． 游戏规则可修改为以下两种：①当两个转盘指针所指区域内的数字之和大于或等于10时，小亮获胜；当两个转盘指针所指区域内的数字之和小于10时，小颖获胜；②当两个转盘指针所指区域内的数字之和为奇数时，小亮获胜；当两个转盘指针所指区域内的数字之和为偶数时，小颖获胜．（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了列举法求概率以及概率的应用，理解题意，正确作出树状图或列表是解题关键． 20. 如图，在长为，宽为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，则道路的宽为多少？ 【答案】道路的宽为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设道路的宽为，则余下的部分可合成长为，宽为的矩形，根据草坪的面积为，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设道路的宽为，根据题意得： ， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：道路的宽为 五、解答题（三）：本大题共3小题，每题12分，共36分． 21. 综合与实践 【问题情境】 排箫是中国的传统乐器，它由长短不同的竹管组成，如图1，现要利用若干长为的相同吸管制作简易排箫． 【实验操作】 将吸管不断剪短，用嘴对着吸管吹气，用相关软件测得吸管另一出口发出声音的振动频率，部分数据如表1： 表1 长度（） 振动频率（） 【探索发现】 （1）通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越 （填“高”或“低”）； （2）请你根据表1中数据在图2中描点、连线．观察图象，从振动频率y与吸管长度x之间的关系可以近似用 函数模型反映（从初中所学函数选择），并求出该函数表达式． 表2 C调音符与频率对照表 音符 不同音区的频率（） 低音区 中音区 高音区 【实际应用】 （3）根据表2，判断这批吸管制作的排箫能否吹出低音区的音，若能，请求出对应吸管长度，若不能，请说明理由．（精确到） 【答案】（1）高；（2）图象见解析；（3）低音区的对应吸管长度为 【解析】 【详解】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是仔细观察表格，得出与的积为定值，从而得出函数关系式． （1）通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越高； 故答案为：高． （2）请你根据表1中的数据在图2中描点、连线． 根据表格可知 ∴从振动频率y与吸管长度x之间的关系可以近似用反比例函数模型反映，该函数表达式为． 函数图象，如图所示 （3）由题可得，低音区的音频率为 代入 ∴ 答：低音区的对应吸管长度为 22. 综合与实践：数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣，获得数学知识． 如图①，在矩形中，点E、F、G分别为边、、的中点，连接、，H为的中点，连接．将绕点B旋转，线段、和的位置和长度也随之变化． 当绕点B顺时针旋转时，请解决下列问题： （1）图②中，，此时，点E落在的延长线上，点F落在线段上，连接，猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想； （2）图③中，若，，则 ；当，时， ； （3）在（2）的条件下，连接图③中矩形的对角线，并沿对角线剪开，得 （如图④）．点M、N分别在、上，连接，将沿翻折，使点C的对应点P落在的延长线上，若平分，则长为 ． 【答案】（1），理由见解析； （2）；； （3）． 【解析】 【分析】（1）先证明，得，再根据中位线性质得，等量代换即可； （2）连接，先证明，利用相似三角形的性质可得，再根据中位线性质得，等量代换即可； （3）过作于，根据折叠性质得，根据角平分线证明出，设，，根据三角函数定义找到、之间的关系，再利用，得到，代入解方程即可． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵，四边形为矩形， ∴四边形为正方形， ∴， ∵E、F为，中点，即：， ∴， ∴， ∴， ∵H为中点，G为中点， ∴， ∴． 【小问2详解】 连接，如图所示， 由题意知，，， ∴， 由矩形性质及旋转知，， ∴， ∴， ∵G为中点，H为中点， ∴， ∴， ∴若，，则；当，时，；． 故答案为：；； 【小问3详解】 过作于，如图所示， 由折叠知，，， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设，， 由知，， 即，， ∵， ∴， ∴， 即，， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形性质、三角形中位线性质、折叠性质、全等三角形判定与性质、相似三角形的性质与判定、三角函数定义等知识点，找到相似三角形是解题关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中中，矩形的边在轴上，边在轴上，点坐标为，反比例函数的图像交分别为． （1）当时，求的值； （2）将沿翻折，点对应点记为，问的值是否为定值，若是求出该值、若不是请用表示； （3）连接，作，并使，求过点的反比例函数解析式． 【答案】（1）； （2）是定值，定值为； （3）． 【解析】 【分析】()根据点的坐标和已知条件求得点的坐标，然后把点的坐标代入函数解析式即可求出系数的值； ()根据折叠的性质得到，由反比例函数图象上点的坐标特征和矩形的性质求得相关线段的长度，将其代入比例式即可求得答案； ()根据余角性质可得，由三角函数可得，然后利用勾股定理通过点即可求出该反比例函数的解析式． 【小问1详解】 解：∵矩形的 边在轴上，边在 轴上，点坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点在反比例函数上， ∴， ∴的值是； 【小问2详解】 解：是定值． 理由如下： 在矩形中，点坐标为，点在反比例函数的图象上， ∴设,， ∴，， 由折叠的性质知， ∴， ∴， ∴的定值为； 【小问3详解】 解：如图，连接，，且，过点作轴于，则， ∵点坐标为， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 设，过点的反比例函数关系式为(是常数，且)， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴点的坐标为或， ∴， ∴该反比例函数解析式为． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，矩形的性质以及翻折旋转的性质，利用待定系数法求解析式是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$