10.3 频率与概率 讲义-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

10.3 频率与概率 目录 知识点一：频率的稳定性 2 知识点二：频率与概率的区别与联系 2 知识点三：随机模拟 2 题型1：辨析概率与频率的关系 2 题型2： 用频率估计随机事件的概率 4 题型3： 用随机模拟估计概率 7 题型4： 用频率估计概率与统计的综合问题 10 题型5：随机事件概率的实际问题 14 知识点一：频率的稳定性 大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率，我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此我们可以用频率估计概率. 知识点二：频率与概率的区别与联系 （1） 区别：频率是利用频数除以总试验次数所得到的确定的数值，它会随着试验次数的变化而变化；而概率是频率的稳定值，它是一个常数，与每次的试验无关. （2） 联系：概率可看作频率在理论上的期待值，它从数值上反映了随机事件发生的可能性的大小.频率在大量重复试验的前提下可近似地作为这个事件的概率. 知识点三：随机模拟 我们知道，利用计算器或计算机软件可以产生随机数．实际上，我们也可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟实验，这样就可以快速地进行大量重复试验了，这种用计算机或计算器模拟试验的方法叫做随机模拟法．我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法． 题型1：辨析概率与频率的关系 【例1.1.】 （多选）下列说法中正确的有（    ） A．频率是反映事件发生的频繁程度，而概率反映事件发生的可能性的大小 B．做次随机试验，事件发生次，则事件发生的频率就是事件发生的概率 C．频率是不能脱离具体的试验次数的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值 D．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值 【答案】ACD 【详解】由频率和概率的关系知ACD正确, 当试验次数足够大，频率才能够当作概率，故B错误, 故选:ACD. 【例1.2.】 根据统计，某篮球运动员在1000次投篮中，命中的次数为560次，则该运动员（    ） A．投篮命中的频率为0.56 B．投篮10次至少有5次命中 C．投篮命中的概率为0.56 D．投篮100次有56次命中 【答案】A 【详解】由题意可知投篮命中的频率为，得到的频率可能比概率大，也可能小于概率，也可能等于概率，故A正确，C错误， 投篮10次或100次相当于做10次或100次实验，每一次的结果都是随机的，其结果可能一次没中，或者多次投中等，频率、概率只反映事件发生的可能性的大小，不能说明事件是否一定发生，故BD错误； 故选：A 【例1.3.】 在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了1000次试验，发现正面朝上出现了560次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（    ） A．0.56，0.56 B．0.56，0.5 C．0.5，0.5 D．0.5，0.56 【答案】B 【详解】某同学用一枚质地均匀的硬币做了1000次试验，发现正面朝上出现了560次， 那么出现正面朝上的频率为， 由于每次抛硬币时，正面朝上和反面朝上的机会相等，都是， 故出现正面朝上的概率为． 故选:B． 【例1.4.】 两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出统计图如图所示，则符合这一结果的试验是（   ）    A．抛一枚硬币，正面朝上的概率； B．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率； C．转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率； D．从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率． 【答案】D 【详解】根据统计图可知，实验结果在0.33附近波动，即其概率， 选项A，掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项不符合题意； 选项B，掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故此选项不符合题意； 选项C，转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率为，故此选项不符合题意； 选项D，从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率为， 故此选项符合题意； 故选：D 题型2： 用频率估计随机事件的概率 方法提炼 求概率的一般步骤： （1） 确定随机事件A的频数； （2） 由计算频率（n为试验的总次数）; （3） 由频率估计概率. 【例2.1.】 （多选）中国篮球职业联赛（CBA）中，某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的得分情况（不包括罚球）如表： 投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球次数 100 55 18 记该运动员在一次投篮中，“投中两分球”为事件A，“投中三分球”为事件B，“没投中”为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下列结论中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【难度】0.94 【知识点】用频率估计概率 【分析】根据给定的数表，利用频率估计概率逐项判断得解. 【详解】依题意，，ABC正确； ，D错误. 故选：ABC 【例2.2.】 长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约30%的人近视，而该校大约有40%的学生每天玩手机超过，这些人的近视率约为60%．现从每天玩手机不超过的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为 ． 【答案】/0.1 【详解】解：设该校有a名同学，则约有0.3a的学生近视，约有0.4a的学生每天玩手机超过， 且每天玩手机超过2的学生中近视的有的学生， 所以有0.6a的学生每天玩手机不超过2且其中有的学生近视， 所以从每天玩手机不超过2的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为． 故答案为：． 【例2.3.】 某高中组织学生研学旅行．现有A，B两地可供选择，学生按照自愿的原则选择一地进行研学旅行．研学旅行结束后，学校从全体学生中随机抽取100名学生进行满意度调查，调查结果如下表： 高一 高二 高三 A地 B地 A地 B地 A地 B地 满意 12 2 18 3 15 6 一般 2 2 6 5 6 8 不满意 1 1 6 2 3 2 假设所有学生的研学旅行地点选择相互独立．用频率估计概率． (1)估计该校学生对本次研学旅行满意的概率； (2)分别从高一、高二、高三三个年级中随机抽取1人，估计这3人中至少有2人选择去B地的概率； 【详解】（1）从表格数据可知，随机抽取的100名学生对本次研学旅行满意的人数为 ， 因此该校学生对本次研学旅行满意的概率可估计为． （2）设事件：抽取的高一学生选择去B地， 事件：抽取的高二学生选择去B地， 事件：抽取的高三学生选择去B地， 事件：抽取的3人中恰有人选择去B地，， 事件：抽取的3人中至少有2人选择去B地． 从数据表格可知，抽取的100名学生中高一年级学生总数为， 选择去B地的总数为，所以可估计为； 抽取的100名学生中高二年级学生总数为， 选择去B地的总数为，所以可估计为； 抽取的100名学生中高三年级学生总数为， 选择去B地的总数为，所以可估计为； 因为， 所以 ． 所以抽取的3人中至少有2人选择去地的概率可估计为 ． 【例2.4.】 甲、乙2名同学最近100次投篮的情况如下： 甲 乙 投中 50 60 不投中 50 40 由频率估计概率，解答下列问题. (1)分别估计甲、乙2名同学的投篮命中率. (2)若甲、乙进行投篮比赛，规定：甲、乙各投篮2次，投中次数多的获胜，次数相同则平局.甲、乙每次投中与否相互独立，估计甲、乙两人最终平局的概率. 【详解】（1）甲同学的投篮命中率为， 乙同学的投篮命中率为. （2）分3种情况： ①甲、乙都投中了2次，其概率为； ②甲、乙都投中了1次，其概率为； ③甲、乙都投中了0次，其概率为. 估计甲、乙两人最终平局的概率为. 题型3： 用随机模拟估计概率 【例3.1.】 已知某工厂生产的产品的合格率为90%现采用随机模拟的方法估计4件产品中至少有3件为合格品的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定0表示不是合格品，1，2，3，4，5，6，7，8，9表示是合格品；再以每4个随机数为一组，代表4件产品，经随机模拟产生了如下20组随机数： 7527 0293 7040 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0301 6233 2616  8045  6001 3661  9597 7424 7610 4001 掘此估计，4件产品中至少有3件合格品的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】4件产品中至多出现一次0，共个， 所以4件产品中至少有3件合格品的概率为. 故选：D 【例3.2.】 规定：投掷飞镖次为一轮，若次中至少两次投中环以上为优秀．根据以往经验某选手投掷一次命中环以上的概率为．现采用计算机做模拟实验来估计该选手获得优秀的概率：用计算机产生到之间的随机整数，用、表示该次投掷未有环以上，用、、、、、、、表示该次投掷在环以上，经随机模拟试验产生了如下组随机数： 据此估计，该选手投掷轮，可以拿到优秀的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知，随机模拟试验产生了如下组随机数中， 代表“次中至少两次投中环以上”的数组共组， 因此，该选手投掷轮，可以拿到优秀的概率为. 故选：A. 【例3.3.】 袋子中有四个小球，分别写有“中､华､民､族”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“华”两个字都取到才停止.用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率，利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用代表“中､华､民､族”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为 . 【答案】 【详解】由随机产生的随机数可知恰好抽取三次就停止的有，共4组随机数， 所以恰好抽取三次就停止的概率约为， 故答案为： 【例3.4.】 在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，用计算机产生之间的随机数，当出现、、时表示一局比赛甲获胜，当出现4、5时表示一局比赛乙获胜.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，现产生20组随机数，结果如下： 423  123  423  344  114  453  525  332  152  342 534  443  512  541  125  432  334  151  314  354 则估计在本次比赛中甲获得冠军的概率是（   ） A．0.35 B．0.55 C．0.6 D．0.65 【答案】D 【详解】表示甲获得冠军的数有423，123，423，114，332，152，342，512，125，432， 334，151，314共13组数，故估计该场比赛甲获胜的概率为. 故选：D 【例3.5.】 天气预报说，在接下来的一个星期里，每天涨潮的概率为20%，设计一个符合要求的模拟试验：利用计算机产生0~9之间取整数值的随机数，用1，2表示涨潮，用其他数字表示不涨潮，这样体现了涨潮的概率是20%，因为时间是一周，所以每7个随机数作为一组，假设产生20组随机数是： 则下个星期恰有2天涨潮的概率为 . 【答案】/0.2 【详解】产生20组随机数相当于做了20次试验，在这组数中，如果恰有两个是1或2，就表示恰有两天涨潮，它们分别是3142486，5241478，3215687，1258697，共有4组数，于是一周内恰有两天涨潮的概率近似值为， 故答案为：. 题型4： 用频率估计概率与统计的综合问题 【例4.1.】 （多选）一部机器有甲乙丙三个易损零件，在一个生产周期内，每个零件至多会出故障一次，工程师统计了近100个生产周期内一部机器各类型故障发生的次数得到如下柱状图，由频率估计概率，在一个生产周期内，以下说法正确的是（    ） A．至少有一个零件发生故障的概率为0.8 B．有两个零件发生故障的概率比只有一个零件发生故障的概率更大 C．乙零件发生故障的概率比甲零件发生故障的概率更大 D．已知甲零件发生了故障，此时丙零件发生故障的概率比乙零件发生故障的概率更大 【答案】AD 【详解】由图可得，在一个生产周期内，机器正常的概率为，则至少有一个零件发生故障的概率为0.8，A正确； 有两个零件发生故障的概率为，只有一个零件发生故障的概率为，则有两个零件发生故障的概率比只有一个零件发生故障的概率更小，B错误； 乙零件发生故障的概率为，甲零件发生故障的概率为，则乙零件发生故障的概率比甲零件发生故障的概率更小，C错误； 由图可知，丙和甲都故障的概率比乙和甲都故障的概率大，D正确. 故选：AD． 【例4.2.】 某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图： 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为.假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． (1)当临界值时，求漏诊率和误诊率； (2)设函数，当时，求的解析式，并求在区间上的最大值． 【详解】（1）依题意，， . （2）当时， ， 当时，； 当时， ， 当时，， 所以，在区间上的最大值为0.07. 【例4.3.】 某地要举办一年一度为期一个月（30天）的大型商业峰会，一商店每天要订购相同数量的一种食品，每个该食品的进价为元，售价为1元，当天卖不完的食品按进价的半价退回，食品按每箱100个包装．根据往年的销售经验，每天对该食品的需求量和当天到会的人数有关，为了确定订购计划，统计了往年的到会人数与需求量和到会人数与天数的有关数据如下： 到会人数/人 需求量/箱 400 450 500 550 600 到会人数/人 天数 5 6 8 7 4 以到会人数位于各区间的频率估计到会人数位于各区间的概率． (1)估计商业峰会期间，该商店一天这种食品的需求量不超过500箱的概率； (2)设商业峰会期间一天这种食品的销售利润为Y（单位：元），当商业峰会期间这种食品一天的进货量为550箱时，写出Y的所有可能值，并估计Y不超过15000元的概率． 【详解】（1）由表中数据可知商业峰会期间30天内，该商店一天这种食品的需求量不超过500箱的天数为， 所以商业峰会期间该商店一天这种食品的需求量不超过500箱的概率为． （2）当峰会期间这种食品一天的进货量为550箱时， 若到会人数位于区间内， 则元， 若到会人数位于区间内， 则元， 若到会人数位于区间内， 则元， 若到会人数超过11000，则元， 即Y的所有可能值为11500，15000，18500，22000 Y不超过15000元，意味着到会人数不超过10000， 到会人数不超过10000的频率为， 所以Y不超过15000元的概率的估计值为． 【例4.4.】 某校组织全体学生进行了知识答题比赛，从全校众多学生中随机选取了10名学生，得到他们的分数统计如下表： 分数段 人数 1 1 1 2 2 2 1 规定60分以下为不及格；60分及以上至70分以下为及格；70分及以上至80分以下为良好；80分及以上为优秀，将频率视为概率． (1)此次比赛中该校学生成绩的优秀率是多少？ (2)在全校学生成绩为良好和优秀的学生中利用分层抽样的方法随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行知识演讲，求良好和优秀各1人的概率． 【详解】（1）∵80分及以上为优秀， ∴， ∴此次比赛中该校学生成绩的优秀率是0.3． （2）∵成绩良好的学生人数与成绩优秀的学生人数之比为， ∴在成绩良好的学生中抽取2人，记为a，b；在成绩优秀的学生中抽取3人，记为C，D，E． 从a，b，C，D，E中随组抽取2人的所有基本事件为：，，，，，，，，，，共10种， 其中良好和优秀各1人的有：，，，，，，共6种． ∴良好和优秀各1人的概率为． 【例4.5.】 甲，乙二人进行乒乓球比赛，规定：胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分.已知甲，乙共进行了三局比赛.如果甲乙二人进行三局两胜制的比赛，假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，利用计算机模拟实验：用计算机产生1~5之间的随机数，当出现随机数1，2或3时，表示一局比赛甲获胜，当出现随机数4或5时，表示一局比赛乙获胜.由于要比赛三局，所以3个随机数为一组，现产生了20组随机数： 123  344  423  114  423  453  354  332  125  342 534  443  541  512  152  432  334  151  314  525 (1)用以上随机数估计甲获胜概率的近似值； (2)计算甲获胜的概率. 【详解】（1）设事件为 “甲获胜”， 计算机产生的20个随机数相当于做了20次重复试验，其中事件发生了13次： 对应的数组为：123，423，114，423，332，125，342，512，152，432，334，151，314， 用频率估计事件的概率近似值为； （2）设事件为第局“甲获胜”，则， 根据概率的加法公式和事件独立性定义，得 ∴. 题型5：随机事件概率的实际问题 方法提炼 概率的应用主要表现在以下两个方面： （1） 做决策：一般以“小概率事件很少发生，大概率事件经常发生”“在一次试验中，大概率事件总比小概率事件发生的可能性大”作为决策依据. （2） 估计总体：此类问题依据概率与频率的关系，用样本的频率近似估计总体的频率，由此列出方程，估计数据. 【例5.1.】 某校高二年级（1）（2）班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目．（1）班的文娱委员利用分别标有数字1，2，3，4，5，6，7的两个转盘(如图所示)，设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时（1）班代表获胜，否则（2）班代表获胜．该方案对双方是否公平？为什么？ 【解析】该方案是公平的，理由如下： 各种情况如表所示： 和 4 5 6 7 1 5 6 7 8 2 6 7 8 9 3 7 8 9 10 由表可知该游戏可能出现的情况共有12种， 其中两数字之和为偶数的有6种，为奇数的也有6种， 所以（1）班代表获胜的概率P1＝＝， （2）班代表获胜的概率P2＝＝，即P1＝P2，机会是均等的， 所以该方案对双方是公平的． 【例5.2.】 某市在旅游旺季时，为应对景区可能出现人流量过大的情况，规定：当人流量达到景区最大承载量的时，将对该景区采取局部限流措施；当人流量达到景区最大承载量的时，将对该景区采取完全限流措施.小明计划假期去该市甲、乙、丙三个旅游景区旅行，他调查了甲、乙、丙三个旅游景区在去年同期天的限流措施情况，见下表：        景区限流情况 景区累计天数 不限流 局部限流 完全限流 甲景区累计天数 天 天 天 乙景区累计天数 天 天 天 丙景区累计天数 天 天 天 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙三个景区限流情况相互独立. (1)小明某天到甲景区旅游，估计小明遇到完全限流的概率； (2)小明任选两天，分别到乙、丙两景区游览，估计小明在两个景区至少遇到一次限流（包括局部限流和完全限流）的概率； (3)小明计划在一天内从甲、乙、丙三个景区中选择两个景区，并分别在上午和下午游览.若存在以下两种情况之一，则不能完成游览： （ⅰ）在上午的游览中遇到局部限流，且下午的游览中遇到完全限流； （ⅱ）在上午的游览中遇到完全限流. 请帮助小明制定游览计划，使他完成游览的概率最大：上午游览 景区，下午游览 景区.（从“甲、乙、丙 ”中选择两个填写） 【详解】（1）由数表知，天中，甲景区完全限流的天数是2，所以小明遇到完全限流的概率为. （2）由数表知，乙景区不限流的概率为，丙景区不限流的概率为， 所以小明在两个景区至少遇到一次限流的概率. （3）若小明上午选甲景区，下午选乙景区能完成游览的概率； 若小明上午选甲景区，下午选丙景区能完成游览的概率； 若小明上午选乙景区，下午选甲景区能完成游览的概率； 若小明上午选乙景区，下午选丙景区能完成游览的概率； 若小明上午选丙景区，下午选甲景区能完成游览的概率； 若小明上午选丙景区，下午选乙景区能完成游览的概率， 而最大，即小明上午选甲景区，下午选丙景区能完成游览的概率最大. 【例5.3.】 对一批西装进行了多次检查，并记录结果如下表： 抽取件数 50 100 150 200 300 400 检出次品件数 5 7 9 15 21 30 检出次品频率 (1)根据表中数据，计算并填写每次检出次品的频率； (2)从这批西装中任意抽取一件，抽到次品的经验概率是多少？ (3)如果要销售1000件西装，至少要额外准备多少件正品西装以供买到次品的顾客调换？ 【详解】（1）利用频率的计算公式可得， 每次次检出次品的频率即为当次检出次品件数除以本次抽取件数， 所以从左到右的6次检测对应的频率分别为： ，，， ，， 所以，对应的频率表格如下： 抽取件数 50 100 150 200 300 400 检出次品件数 5 7 9 15 21 30 检出次品频率 0.1 0.07 0.06 0.075 0.07 0.075 （2）从这批西装中任意抽取一件，抽到次品的经验概率约为6次检出次品频率的稳定值， 即， 所以抽到次品的经验概率约为； （3）由（2）可知，销售1000件西装大约有件次品， 所以，应当准备75件正品西装以供买到次品的顾客调换. 【例5.4.】 如图，地到火车站共有两条路径和，现随机抽取100位从地到火车站的人进行调查，调查结果如下： 所用时间（分钟） [10,20] (20,30] (30,40] (40,50] (50,60] 选择的人数 6 12 18 12 12 选择的人数 0 4 16 16 4 (1)试用频率估计概率，估计40分钟内不能赶到火车站的概率： (2)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽量大可能在允许的时间内赶到火车站，试用频率估计概率通过计算说明，他们应如何选择各自的路径. 【详解】（1）调查的100人，其中40分钟内不能赶到火车站有：（人）， 因此40分钟内不能赶到火车站的频率为， 用频率估计概率，所以40分钟内不能赶到火车站的概率为. （2）设分别表示甲选择和时，在40分钟内赶到火车站； 分别表示乙选择和时，在50分钟内赶到火车站， 依题意，，， 由，得甲应选择路径； ，， 由，得乙应选择路径， 所以甲应选择路径，乙应选择路径. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.3 频率与概率 目录 知识点一：频率的稳定性 2 知识点二：频率与概率的区别与联系 2 知识点三：随机模拟 2 题型1：辨析概率与频率的关系 2 题型2： 用频率估计随机事件的概率 3 题型3： 用随机模拟估计概率 5 题型4： 用频率估计概率与统计的综合问题 6 题型5：随机事件概率的实际问题 9 知识点一：频率的稳定性 大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率，我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此我们可以用频率估计概率. 知识点二：频率与概率的区别与联系 （1） 区别：频率是利用频数除以总试验次数所得到的确定的数值，它会随着试验次数的变化而变化；而概率是频率的稳定值，它是一个常数，与每次的试验无关. （2） 联系：概率可看作频率在理论上的期待值，它从数值上反映了随机事件发生的可能性的大小.频率在大量重复试验的前提下可近似地作为这个事件的概率. 知识点三：随机模拟 我们知道，利用计算器或计算机软件可以产生随机数．实际上，我们也可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟实验，这样就可以快速地进行大量重复试验了，这种用计算机或计算器模拟试验的方法叫做随机模拟法．我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法． 题型1：辨析概率与频率的关系 【例1.1.】 （多选）下列说法中正确的有（    ） A．频率是反映事件发生的频繁程度，而概率反映事件发生的可能性的大小 B．做次随机试验，事件发生次，则事件发生的频率就是事件发生的概率 C．频率是不能脱离具体的试验次数的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值 D．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值 【例1.2.】 根据统计，某篮球运动员在1000次投篮中，命中的次数为560次，则该运动员（    ） A．投篮命中的频率为0.56 B．投篮10次至少有5次命中 C．投篮命中的概率为0.56 D．投篮100次有56次命中 【例1.3.】 在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了1000次试验，发现正面朝上出现了560次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（    ） A．0.56，0.56 B．0.56，0.5 C．0.5，0.5 D．0.5，0.56 【例1.4.】 两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出统计图如图所示，则符合这一结果的试验是（   ）    A．抛一枚硬币，正面朝上的概率； B．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率； C．转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率； D．从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率． 题型2： 用频率估计随机事件的概率 方法提炼 求概率的一般步骤： （1） 确定随机事件A的频数； （2） 由计算频率（n为试验的总次数）; （3） 由频率估计概率. 【例2.1.】 （多选）中国篮球职业联赛（CBA）中，某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的得分情况（不包括罚球）如表： 投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球次数 100 55 18 记该运动员在一次投篮中，“投中两分球”为事件A，“投中三分球”为事件B，“没投中”为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下列结论中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2.2.】 长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约30%的人近视，而该校大约有40%的学生每天玩手机超过，这些人的近视率约为60%．现从每天玩手机不超过的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为 ． 【例2.3.】 某高中组织学生研学旅行．现有A，B两地可供选择，学生按照自愿的原则选择一地进行研学旅行．研学旅行结束后，学校从全体学生中随机抽取100名学生进行满意度调查，调查结果如下表： 高一 高二 高三 A地 B地 A地 B地 A地 B地 满意 12 2 18 3 15 6 一般 2 2 6 5 6 8 不满意 1 1 6 2 3 2 假设所有学生的研学旅行地点选择相互独立．用频率估计概率． (1)估计该校学生对本次研学旅行满意的概率； (2)分别从高一、高二、高三三个年级中随机抽取1人，估计这3人中至少有2人选择去B地的概率； 【例2.4.】 甲、乙2名同学最近100次投篮的情况如下： 甲 乙 投中 50 60 不投中 50 40 由频率估计概率，解答下列问题. (1)分别估计甲、乙2名同学的投篮命中率. (2)若甲、乙进行投篮比赛，规定：甲、乙各投篮2次，投中次数多的获胜，次数相同则平局.甲、乙每次投中与否相互独立，估计甲、乙两人最终平局的概率. 题型3： 用随机模拟估计概率 【例3.1.】 已知某工厂生产的产品的合格率为90%现采用随机模拟的方法估计4件产品中至少有3件为合格品的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定0表示不是合格品，1，2，3，4，5，6，7，8，9表示是合格品；再以每4个随机数为一组，代表4件产品，经随机模拟产生了如下20组随机数： 7527 0293 7040 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0301 6233 2616  8045  6001 3661  9597 7424 7610 4001 掘此估计，4件产品中至少有3件合格品的概率为（    ） A． B． C． D． 【例3.2.】 规定：投掷飞镖次为一轮，若次中至少两次投中环以上为优秀．根据以往经验某选手投掷一次命中环以上的概率为．现采用计算机做模拟实验来估计该选手获得优秀的概率：用计算机产生到之间的随机整数，用、表示该次投掷未有环以上，用、、、、、、、表示该次投掷在环以上，经随机模拟试验产生了如下组随机数： 据此估计，该选手投掷轮，可以拿到优秀的概率为（    ） A． B． C． D． 【例3.3.】 袋子中有四个小球，分别写有“中､华､民､族”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“华”两个字都取到才停止.用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率，利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用代表“中､华､民､族”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为 . 【例3.4.】 在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，用计算机产生之间的随机数，当出现、、时表示一局比赛甲获胜，当出现4、5时表示一局比赛乙获胜.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，现产生20组随机数，结果如下： 423  123  423  344  114  453  525  332  152  342 534  443  512  541  125  432  334  151  314  354 则估计在本次比赛中甲获得冠军的概率是（   ） A．0.35 B．0.55 C．0.6 D．0.65 【例3.5.】 天气预报说，在接下来的一个星期里，每天涨潮的概率为20%，设计一个符合要求的模拟试验：利用计算机产生0~9之间取整数值的随机数，用1，2表示涨潮，用其他数字表示不涨潮，这样体现了涨潮的概率是20%，因为时间是一周，所以每7个随机数作为一组，假设产生20组随机数是： 则下个星期恰有2天涨潮的概率为 . 题型4： 用频率估计概率与统计的综合问题 【例4.1.】 （多选）一部机器有甲乙丙三个易损零件，在一个生产周期内，每个零件至多会出故障一次，工程师统计了近100个生产周期内一部机器各类型故障发生的次数得到如下柱状图，由频率估计概率，在一个生产周期内，以下说法正确的是（    ） A．至少有一个零件发生故障的概率为0.8 B．有两个零件发生故障的概率比只有一个零件发生故障的概率更大 C．乙零件发生故障的概率比甲零件发生故障的概率更大 D．已知甲零件发生了故障，此时丙零件发生故障的概率比乙零件发生故障的概率更大 【例4.2.】 某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图： 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为.假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． (1)当临界值时，求漏诊率和误诊率； (2)设函数，当时，求的解析式，并求在区间上的最大值． 【例4.3.】 某地要举办一年一度为期一个月（30天）的大型商业峰会，一商店每天要订购相同数量的一种食品，每个该食品的进价为元，售价为1元，当天卖不完的食品按进价的半价退回，食品按每箱100个包装．根据往年的销售经验，每天对该食品的需求量和当天到会的人数有关，为了确定订购计划，统计了往年的到会人数与需求量和到会人数与天数的有关数据如下： 到会人数/人 需求量/箱 400 450 500 550 600 到会人数/人 天数 5 6 8 7 4 以到会人数位于各区间的频率估计到会人数位于各区间的概率． (1)估计商业峰会期间，该商店一天这种食品的需求量不超过500箱的概率； (2)设商业峰会期间一天这种食品的销售利润为Y（单位：元），当商业峰会期间这种食品一天的进货量为550箱时，写出Y的所有可能值，并估计Y不超过15000元的概率． 【例4.4.】 某校组织全体学生进行了知识答题比赛，从全校众多学生中随机选取了10名学生，得到他们的分数统计如下表： 分数段 人数 1 1 1 2 2 2 1 规定60分以下为不及格；60分及以上至70分以下为及格；70分及以上至80分以下为良好；80分及以上为优秀，将频率视为概率． (1)此次比赛中该校学生成绩的优秀率是多少？ (2)在全校学生成绩为良好和优秀的学生中利用分层抽样的方法随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行知识演讲，求良好和优秀各1人的概率． 【例4.5.】 甲，乙二人进行乒乓球比赛，规定：胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分.已知甲，乙共进行了三局比赛.如果甲乙二人进行三局两胜制的比赛，假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，利用计算机模拟实验：用计算机产生1~5之间的随机数，当出现随机数1，2或3时，表示一局比赛甲获胜，当出现随机数4或5时，表示一局比赛乙获胜.由于要比赛三局，所以3个随机数为一组，现产生了20组随机数： 123  344  423  114  423  453  354  332  125  342 534  443  541  512  152  432  334  151  314  525 (1)用以上随机数估计甲获胜概率的近似值； (2)计算甲获胜的概率. 题型5：随机事件概率的实际问题 方法提炼 概率的应用主要表现在以下两个方面： （1） 做决策：一般以“小概率事件很少发生，大概率事件经常发生”“在一次试验中，大概率事件总比小概率事件发生的可能性大”作为决策依据. （2） 估计总体：此类问题依据概率与频率的关系，用样本的频率近似估计总体的频率，由此列出方程，估计数据. 【例5.1.】 某校高二年级（1）（2）班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目．（1）班的文娱委员利用分别标有数字1，2，3，4，5，6，7的两个转盘(如图所示)，设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时（1）班代表获胜，否则（2）班代表获胜．该方案对双方是否公平？为什么？ 【例5.2.】 某市在旅游旺季时，为应对景区可能出现人流量过大的情况，规定：当人流量达到景区最大承载量的时，将对该景区采取局部限流措施；当人流量达到景区最大承载量的时，将对该景区采取完全限流措施.小明计划假期去该市甲、乙、丙三个旅游景区旅行，他调查了甲、乙、丙三个旅游景区在去年同期天的限流措施情况，见下表：        景区限流情况 景区累计天数 不限流 局部限流 完全限流 甲景区累计天数 天 天 天 乙景区累计天数 天 天 天 丙景区累计天数 天 天 天 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙三个景区限流情况相互独立. (1)小明某天到甲景区旅游，估计小明遇到完全限流的概率； (2)小明任选两天，分别到乙、丙两景区游览，估计小明在两个景区至少遇到一次限流（包括局部限流和完全限流）的概率； (3)小明计划在一天内从甲、乙、丙三个景区中选择两个景区，并分别在上午和下午游览.若存在以下两种情况之一，则不能完成游览： （ⅰ）在上午的游览中遇到局部限流，且下午的游览中遇到完全限流； （ⅱ）在上午的游览中遇到完全限流. 请帮助小明制定游览计划，使他完成游览的概率最大：上午游览 景区，下午游览 景区.（从“甲、乙、丙 ”中选择两个填写） 【例5.3.】 对一批西装进行了多次检查，并记录结果如下表： 抽取件数 50 100 150 200 300 400 检出次品件数 5 7 9 15 21 30 检出次品频率 (1)根据表中数据，计算并填写每次检出次品的频率； (2)从这批西装中任意抽取一件，抽到次品的经验概率是多少？ (3)如果要销售1000件西装，至少要额外准备多少件正品西装以供买到次品的顾客调换？ 【例5.4.】 如图，地到火车站共有两条路径和，现随机抽取100位从地到火车站的人进行调查，调查结果如下： 所用时间（分钟） [10,20] (20,30] (30,40] (40,50] (50,60] 选择的人数 6 12 18 12 12 选择的人数 0 4 16 16 4 (1)试用频率估计概率，估计40分钟内不能赶到火车站的概率： (2)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽量大可能在允许的时间内赶到火车站，试用频率估计概率通过计算说明，他们应如何选择各自的路径. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$