重点专题4-1 基本立体图形体积表面积计算，斜二测画法【12类题型】- 【重难点突破】2024-2025学年下学期高一数学人教A版必修第二册·重难点专题突破

【重难点突破】2024-2025学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 专题4-1 基本立体图形，斜二测画法，体积表面积计算 总览 题型·解读 模块一 棱柱、棱锥、棱台 【题型1】棱锥的相关计算 【题型2】棱台的相关计算 【题型3】利用等体积法换底求棱锥体积与点到平面距离 【题型4】棱柱、棱锥、棱台的展开图及最短距离问题 【题型5】割补法求体积 【题型6】线段和最小值问题：平面的拼接 模块二 圆柱、圆锥、圆台及球 【题型7】圆柱、圆锥的相关计算 【题型8】圆台的相关计算 【题型9】组合体的相关计算 【题型10】圆柱、圆锥、圆台的展开图及最短距离问题 【题型11】球的截面有关计算 模块三 斜二测画法及综合问题 【题型12】斜二测画法 【题型13】综合型问题 【课后巩固训练】 题型汇编 知识梳理与常考题型 模块一 棱柱、棱锥、棱台 基础知识 知识点01 棱柱 1. 棱柱的相关概念 名称 定义 图形及表示 相关概念 棱柱 一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间图形叫作棱柱 图中的六棱柱可记作棱柱 底面：平移起止位置的两个面； 侧面：多边形的边平移所形成的面； 侧棱：相邻侧面的公共边 2. 棱柱的特点：棱柱的两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形. 3. 特殊棱柱 （1）直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱。直棱柱的上下底面可以是三角形，四边形，五边形等，侧面都是长方形，根据底面图形的边数，我们就说它是直三棱柱，直四棱柱，直五棱柱等。 （2）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。正棱柱是侧棱都垂直于底面，且底面是正多边形的棱柱。特别注意的是：底面为正多边形，侧棱垂直于底面，但是侧棱和底面边长不一定相等。 知识点02 棱锥 1. 棱锥的相关概念 名称 定义 图形及表示 相关概念 棱锥 当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的空间图形叫作棱锥 图中的四棱锥可记作 棱锥 底面：多边形 侧面：有一个公共顶点的三角形 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：由棱柱的一个底面收缩而成 2. 棱锥的特点：棱锥的底面是多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形. 3. 特殊棱锥 （1）正棱锥：底面是正多边形的直棱锥，侧棱相等，且顶点到底面的垂线足是这个正多边形的中心 （2）正四面体：四个面都是等边三角形的三棱锥 知识点03 棱台 棱台的相关概念 名称 定义 图形及表示 相关概念 棱台 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分称之为棱台 图中的四棱台可记作 棱台ABCD-A'B'C'D' 上底面：平行于棱锥底面的截面； 下底面：原棱锥的底面； 侧面：其余各面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧棱与上、下底面的公共点 知识点04 基本立体图形的性质 （1）侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形． （2）底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱长均相等的正三棱锥叫做正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心． （3）棱柱的所有侧面都是平行四边形，但侧面都是平行四边形的几何体却不一定是棱柱． （4）棱台的所有侧面都是梯形，但侧面都是梯形的几何体却不一定是棱台． （5）注意棱台的所有侧棱相交于一点． 【题型1】棱锥的相关计算 典型例题 【例题1】由华裔建筑师贝聿铭设计的巴黎卢浮宫金字塔的形状可视为一个正四棱锥，其侧面三角形底边上的高与底面正方形边长的比值为，则以该四棱锥的高为边长的正方形面积与该四棱锥的侧面积之比为 . 【例题2】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】如图，正四棱锥的底面边长为4，顶点S到底面中心O的距离为4，求它的表面积．    【巩固练习2】（23-24高一下·重庆渝中·期中）（多选）满足下列条件的四面体存在的是（    ） A．1条棱长为，其余5条棱长均为1 B．1条棱长为1，其余5条棱长均为 C．2条棱长为，其余4条棱长均为1 D．2条棱长为1，其余4条棱长均为 【题型2】棱台的相关计算 典型例题 【例题1】底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为 ． 【例题2】（23-24高一下·重庆长寿·期中）如图所示，在正四棱台中，上底面边长为4，下底面边长为6，体积为，点E为AD中点，过点E的平面α与平面平行，且与正四棱台各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为（    ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】在正四棱台中，，则该棱台的体积为 ． 【巩固练习2】用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截得的棱台上、下底面积之比为，已知截去的棱锥的顶点到其底面的距离为3，则棱台的上、下底面的距离为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【巩固练习3】（23-24高一下·安徽合肥·期中）如图所示，底面边长为的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为，高为4的正四棱锥. (1)求棱台的体积；(2)求棱台的表面积. 【题型3】利用等体积法换底求棱锥体积与点到平面距离 典型例题 【例题1】如图，在棱长为4的正方体中，分别是棱上的动点，且，则三棱锥的体积为________ 【例题2】如图，直三棱柱的体积为6，的面积为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C．2 D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】如图，在棱长为3的正方体中，分别为棱的中点．求三棱锥的体积． 【巩固练习2】已知各棱长均为2的直三棱柱中，为的中点，求点到平面的距离.    【巩固练习3】如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截下一个三棱锥. （1）求剩余部分的体积；（2）求三棱锥A－A1BD的体积及高. 【题型4】棱柱、棱锥、棱台的展开图及最短距离问题 解题技巧 空间图形求表面上折线段之和最小值时，关键是弄清几何体中的有关点、线在展开图中的相应位置关系，解决的方法就是把各侧面展开铺在平面上，根据“平面内连结两点的线段最短”的方法来解决. 典型例题 【例题1】如图，在长方体中，，点为上的动点，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 【例题2】如图，在三棱锥中，，，过点作截面，求周长的最小值． 【例题3】（23-24高一下·江苏无锡·期中）半正多面体亦称“阿基米德体”或“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成.在如图所示的半正多面体中，若其棱长为2，点M，N分别在线段，上，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知长方体中，一只小虫从长方体顶点出发沿表面爬行到顶点，则小虫爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（1）如图，三棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧棱CC1⊥底面,CC1＝3，有虫从A沿三个侧面爬到A1，求小虫爬行的最短距离． （2）以O为顶点的三棱锥中，过O的三条棱两两的夹角都是30°，在一条棱上取A，B两点，OA＝4cm，OB＝3cm，以A，B为端点用一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周(绳和侧面无摩擦)，求此绳在A，B两点间的最短绳长． 【巩固练习3】正三棱锥P﹣ABC的侧棱长为2，∠APB＝∠APC＝∠BPC＝30°．E，F分别是BP、CP上的点，△AEF周长的最小值　　． 【巩固练习4】（23-24高一下·山东·期中）已知直三棱柱中，，点分别为棱的中点，是线段上（包含端点）的动点，一只虫子由表面从点爬到点的最近距离为________ 【题型5】割补法求体积 典型例题 【例题1】（23-24高一下·湖南长沙·期末）如图所示，在三棱柱中，若点，分别满足，，三棱柱高为3，面积为，则几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·河南郑州·期中）西流湖公园今年春天成为了网红打卡地，公园里不仅有美丽的景色，各种亭台楼阁也是各有特色.十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一，图1中的角楼的顶部即为十字歇山顶．其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图2）．这两个直三棱柱有一个公共侧面．在底面中，若，，则该几何体的体积为（    ） A．88 B． C．64 D． 【题型6】线段和最小值问题：平面的拼接 典型例题 【例题1】在正方体中，，点满足，，则的最小值为________ 巩固练习 题型 【巩固练习1】如图,在正方体中,,为线段上的动点,则的最小值为 ________ 【巩固练习2】如图，在棱长为2的正方体中，点M在线段（不包含端点）上运动，则的最小值为________ 【巩固练习3】如图，直四棱柱的底面是梯形，，，，，P是棱的中点．Q是棱上一动点（不包含端点），则三角形BPQ周长的最小值为________    模块二 圆柱、圆锥、圆台及球 基础知识 知识点05 圆柱、圆锥、圆台的相关概念 1. 圆柱、圆锥、圆台的相关概念 　　将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的空间图形分别叫作圆柱、圆锥、圆台，这条直线叫作轴. 垂直于轴的边旋转而成的圆面叫作底面. 不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫作侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫作母线. 2. 圆柱、圆锥、圆台的图形表示 名称 圆柱 圆锥 圆台 图形 图中的圆柱记作圆柱OO' 图中的圆锥记作圆锥SO 图中的圆台记作圆台OO' 知识点06 球的相关概念 名称 球 定义 半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫作球面，球面围成的空间图形叫作球体，简称球 图形及表示 图中的球记作球O 相关概念 球心：半圆的圆心； 半径：连接球心和球面上任意一点的线段； 直径：连接球面上两点并经过球心的线段 知识点07 体积与表面积公式 名称 柱体(棱柱和圆柱) 锥体(棱锥和圆锥) 台体(棱台和圆台) 球 体积 表面积 1. 解决圆柱基本量的计算问题，要抓住它的底面半径、高(母线)与矩形(圆柱的轴截面)之间的关系，注意在矩形中一边长为圆柱的高，其邻边长为圆柱的底面直径. 2. 解决圆锥基本量的计算问题，要从圆锥的轴截面入手，利用截面中的直角三角形建立底面半径、高、母线长三者之间的关系：，即可解决问题. 3. 解决圆台基本量的计算问题，一般从圆台的轴截面(等腰梯形)入手，利用轴截面可以分割为两个全等的直角三角形和一个矩形，结合题目条件求解. 另外，也可以将其两腰延长转化为等腰三角形，从而可以利用平行线分线段成比例、三角形相似等知识来解决. 知识点08 球的截面问题 球体的相关计算关键是找出球心到相关平面的距离，再结合勾股定理计算求值 【题型7】圆柱、圆锥的相关计算 典型例题 【例题1】已知圆锥的侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长与底面半径的比为　　 A．2 B． C．4 D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】若一个圆锥的轴截面是一个腰长为，底边上的高为1的等腰三角形，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【题型8】圆台的相关计算 典型例题 【例题1】已知圆台的上、下底面面积分别为和，高为，则圆台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（23-24高一下·广东东莞·期末）已知圆台的上底半径为2，下底半径为4，则经过母线中点且与底面平行的平面将圆台分成上下两部分的体积之比为 . 巩固练习 题型 【巩固练习1】圆台的轴截面上、下底边长分别为和，母线长为，则圆台的体积是 . 【巩固练习3】如图是一个圆台形的水杯，圆台的母线长为12，上､下底面的半径分别为4和2.为了防烫和防滑，该水杯配有一个皮革杯套，包裹住水杯高度以下的外壁和杯底，水杯和杯套的厚度忽略不计，则此杯套使用的皮革的面积为（ ） A． B． C． D． 【巩固练习3】如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），已知该扇环的面积为，两段圆弧所在圆的半径分别为3和6，则该圆台的体积为（ ） A． B． C． D． 【题型9】组合体的相关计算 典型例题 【例题1】（23-24高一下·湖北武汉·期中）毡帐是蒙古族牧民居住的一种房子，内部木架结构，外部毛毡围拢，建造和搬迁都很方便，适合牧业和游牧生活．如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与一个圆柱的组合体，下半部分圆柱的高为2.5米；上半部分圆锥的母线长为米，轴截面（过圆锥轴的截面）是面积为平方米的等腰钝角三角形，则建造该毡帐（不含底面）需要毛毡（    ）平方米． A． B． C． D． 【例题2】已知平面四边形中，，，，若平面四边形绕旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知正三棱柱的棱长均为分别是棱的中点，则几何体的体积为 . 【巩固练习2】（23-24高一下·广东广州·期中）如图，在平面四边形中，，，，，. (1)求点到所在的直线的距离； (2)以所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，求该几何体的体积. 【巩固练习3】图1是宋代五大名窑中汝窑制造的双耳罐，它装物的有效部分可近似看成由两个圆台拼接而成（如图2所示）在图2中，已知下底面圆的直径是6，中间圆的直径是10，上底面圆的直径是4，上下底面圆的距离是5，且上、下两圆台的高之比是，若不考虑罐壁的厚度，则该汝窑双耳罐的容积为（    ）    A． B． C． D． 【巩固练习4】如图，在中，已知，将以为轴旋转一周形成的几何体的体积为，以为轴旋转一周形成的几何体的体积为，若，则（    ）    A． B． C． D． 【巩固练习5】如图“四角反棱台”，它是由两个相互平行的正方形经过旋转､连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点.若下底面正方形边长为4，“四角反棱台”高为3，则该几何体体积为 . 【巩固练习6】（23-24高三下·湖北·开学考试）（多选）中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，垂直于底面，，底面扇环所对的圆心角为，弧的长度是弧长度的3倍，，则下列说法正确的是（   ） A．弧长度为 B．曲池的体积为 C．曲池的表面积为 D．三棱锥的体积为5 【题型10】圆柱、圆锥、圆台的展开图及最短距离问题 典型例题 【例题1】如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是上底面的直径.一只昆虫从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，昆虫爬行的最短路程是 . 【例题2】如图，一个立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为2，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为，则圆锥底面圆的半径等于 ． 巩固练习 题型 【巩固练习1】如图，圆台上、下底面半径分别为，，母线长为，从母线AB的中点拉一条细绳，围绕圆台侧面转至下底面的点，求BM间细绳的最短长度.    【巩固练习2】如图，圆锥的底面直径，母线长，点在母线上，且，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点到达点，则这只蚂蚁爬行的最短距离是 ． 【巩固练习3】已知底面半径为1，体积为的圆柱，内接于一个高为的圆锥（如图），线段AB为圆锥底面的一条直径，则从点A绕圆锥的侧面到点B的最短距离为 . 【巩固练习4】如图是一坐山峰的示意图，山峰大致呈圆锥形，峰底呈圆形，其半径为，峰底A到峰顶的距离为，B是山坡的中点.为了发展当地旅游业，现要建设一条从A到B的环山观光公路，当公路长度最短时，公路距山顶的最近距离为（    ） A． B． C． D． 【题型11】球的截面有关计算 典型例题 【例题1】用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【例题2】已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上，若球的表面积为，则点到平面的距离为 ． 【例题3】已知，，，四点都在球的球面上，且，，三点所在平面经过球心，，，则点到平面的距离的最大值为 ，球的表面积为 . 巩固练习 题型 【巩固练习1】若用与球心的距离为的平面截球体所得的圆面半径为2，则球的半径为 . 【巩固练习2】已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，则球的表面积是 ． 【巩固练习3】已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（    ） A． B． C．1 D． 【巩固练习4】球的两个平行截面面积分别为和，球心到这两个截面的距离之差等于1，则球的直径为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【巩固练习5】两个平行平面截一个半径为4的球，得到的截面面积分别为和，则这两个平面之间的距离为 ． 【巩固练习6】（23-24高一下·河北邢台·期中）已知体积为的正三棱锥的外接球的球心为，若满足，则此三棱锥的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 模块三 斜二测画法及综合问题 解题技巧 知识点09 空间几何体的直观图 1. 直观图画法：常用斜二测画法． 2. 规则： ①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直． ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半． 3. 直观图与原图形面积的关系 按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系： ①S直观图＝S原图形 ②S原图形＝S直观图 知识点10 求空间几何体表面积的常见类型及思路 1. 求多面体的表面积：只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积； 2. 求旋转体的表面积：可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系 3. 求不规则几何体的表面积：通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积； 【注意】在求解组合题的表面积时，注意几何体表面的构成，尤其是重合部分，面积不要多加或少加 知识点11 求空间几何体的体积 1. 处理空间几何体体积的基本思路 （1）转：转换底面与高，将原本不容易求面积的底面转换为容易求面积的底面，或将原来不容易看出的高转换为容易看出并容易求解的高； （2）拆：将一个不规则的几何体拆成几个规则的几何体，便于计算； （3）拼：将小几何体嵌入一个大几何体中，如有时将一个三棱锥复原成一个三棱柱，将一个三棱柱复原乘一个四棱柱，还台位锥，这些都是拼补的方法。 2. 求体积的常用方法 （1）直接法：对于规则的几何体，利用相关公式直接计算； （2）割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算； （3）等体积法：选择合适的底面来求几何体的体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面作为三棱锥的底面进行等体积变换 【题型12】斜二测画法 典型例题 【例题1】（23-24高一下·山东潍坊·期末）如图，一个水平放置的平面图形按斜二测画法得到的直观图是直角梯形，又知，，则平面图形的面积为 .    【例题2】（23-24高一下·河北邢台·期中）如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图，若，且，则原图形中边上的高为（   ） A． B． C． D． 【例题3】（23-24高一下·湖北武汉·期末）某水平放置的平面图形ABCD的斜二测直观图是梯形（如图所示），已知，，，将该平面图形绕其直角腰AB边旋转一周得到一个圆台，则该圆台的侧面积为 ． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·浙江金华·期中）如图所示，直观图四边形是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是 . 【巩固练习2】（23-24高一下·山东潍坊·期末）如图，一个水平放置的平面图形按斜二测画法得到的直观图是直角梯形，又知，，则平面图形的面积为 .    【巩固练习3】水平放置的的直观图如图，其中，，那么原是一个（ ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形 【巩固练习4】已知用斜二测画法得到的某水平放置的平面图形的直观图是如图所示的等腰直角 △，其中，则原平面图形中最大边长为　　 A．2 B． C．3 D． 【巩固练习5】如图，已知用斜二测画法画出的的直观图是边长为的正三角形，原的面积为 　　． 【题型13】综合型问题 典型例题 【例题1】（23-24高一下·重庆·期末）（多选）已知圆锥的底面半径，母线长，，是两条母线，是的中点，则（    ） A．圆锥的体积为 B．圆锥的侧面展开图的圆心角为 C．当为轴截面时，圆锥表面上点到点的最短距离为 D．面积的最大值为2 【例题2】（23-24高一下·山东潍坊·期末）已知圆锥的底面半径为3，侧面积为. (1)求圆锥的体积；(2)求圆锥的内切球的表面积. 【例题3】（23-24高一下·浙江杭州·期末）一个呈直三棱柱的密闭容器，底面是边长为的正三角形，高为6，有一个半径为1的小球在这个容器内可以向各个方向自由滚动，则小球能接触到的容器内壁的最大面积为 ． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·湖北武汉·期末）（多选）将一个直径为8cm的铁球磨制成一个零件，能够磨制成的零件可以是（    ） A．底面直径为8cm，高为6cm的圆柱体 B．底面直径为6cm，高为4cm的圆锥体 C．底面边长为4cm，高为6cm的正四棱柱 D．棱长为6cm的正四面体 【课后巩固训练】 1. （多选）下列说法正确的是（    ） A．棱柱的侧棱长都相等 B．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 C．棱台的侧面是等腰梯形 D．用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面 1. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3、圆心角为的扇形，则该圆锥的高是　　 A． B．2 C． D． 1. 圆台的上、下底面半径分别是，，且圆台的母线长为5，则该圆台的体积是 . 1. 已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，且该圆锥的体积为，则（    ） A． B． C． D． 1. 如图，圆锥的底面直径和高均是4，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的表面积为（    ）    A． B． C． D． 1. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥侧面积的一半，那么其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（    ） A． B． C． D． 1. 所有棱长均为6的正三棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2的正三棱锥，则所得棱台的高为（    ） A． B． C． D． 1. 如图，正方形的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，原图形的面积为　 A． B． C． D． 1. 科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是中国科学院自主研发的系留浮空器．2022年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功升至9 032米高空，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长55米，高19米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，如图2所示，是该浮空艇的轴截面图，则它的体积约为（    ） （参考数据：，，，）    A． B． C． D． 1. 已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的表面上，若球心到平面的距离为1，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 1. 已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为，则球心O到平面的距离为 ． 1. 如图：正三棱锥A﹣BCD中，∠BAD＝30°，侧棱AB＝2，BD平行于过点C的截面CB1D1，则截面CB1D1与正三棱锥A﹣BCD侧面交线的周长的最小值为（　　） A．2 B． C．4 D． 1. 如图，在棱长为1的正方体中，已知，分别为线段，上的动点，为的中点，则的周长的最小值为（    ）    A． B． C． D． 1. 《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭，其中上底面与下底面的面积之比为，，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭四个侧面的面积之和为，则方亭的体积为 . 1. 已知圆台的上、下底面的圆心分别为，，母线（点位于上底面），且，圆的周长为，一只蚂蚁从点A出发沿着圆台侧面爬行一周到点B，则其爬行的最短路程为（    ） A．1 B． C．2 D． 1. 如图，已知四棱锥的底面是面积为的正方形，侧面是全等的等腰三角形，一条侧棱长为.    （1）计算四棱锥的高；（2）计算四棱锥侧面三角形底边上的高. 1. 如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图， (1)画出它的原图形，(2)若的面积是，求原图形中边上的高和原图形的面积. 20 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $$【重难点突破】2024-2025学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 专题4-1 基本立体图形，斜二测画法，体积表面积计算 总览 题型·解读 模块一 棱柱、棱锥、棱台 【题型1】棱锥的相关计算 【题型2】棱台的相关计算 【题型3】利用等体积法换底求棱锥体积与点到平面距离 【题型4】棱柱、棱锥、棱台的展开图及最短距离问题 【题型5】割补法求体积 【题型6】线段和最小值问题：平面的拼接 模块二 圆柱、圆锥、圆台及球 【题型7】圆柱、圆锥的相关计算 【题型8】圆台的相关计算 【题型9】组合体的相关计算 【题型10】圆柱、圆锥、圆台的展开图及最短距离问题 【题型11】球的截面有关计算 模块三 斜二测画法及综合问题 【题型12】斜二测画法 【题型13】综合型问题 【课后巩固训练】 题型汇编 知识梳理与常考题型 模块一 棱柱、棱锥、棱台 基础知识 知识点01 棱柱 1. 棱柱的相关概念 名称 定义 图形及表示 相关概念 棱柱 一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间图形叫作棱柱 图中的六棱柱可记作棱柱 底面：平移起止位置的两个面； 侧面：多边形的边平移所形成的面； 侧棱：相邻侧面的公共边 2. 棱柱的特点：棱柱的两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形. 3. 特殊棱柱 （1）直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱。直棱柱的上下底面可以是三角形，四边形，五边形等，侧面都是长方形，根据底面图形的边数，我们就说它是直三棱柱，直四棱柱，直五棱柱等。 （2）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。正棱柱是侧棱都垂直于底面，且底面是正多边形的棱柱。特别注意的是：底面为正多边形，侧棱垂直于底面，但是侧棱和底面边长不一定相等。 知识点02 棱锥 1. 棱锥的相关概念 名称 定义 图形及表示 相关概念 棱锥 当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的空间图形叫作棱锥 图中的四棱锥可记作 棱锥 底面：多边形 侧面：有一个公共顶点的三角形 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：由棱柱的一个底面收缩而成 2. 棱锥的特点：棱锥的底面是多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形. 3. 特殊棱锥 （1）正棱锥：底面是正多边形的直棱锥，侧棱相等，且顶点到底面的垂线足是这个正多边形的中心 （2）正四面体：四个面都是等边三角形的三棱锥 知识点03 棱台 棱台的相关概念 名称 定义 图形及表示 相关概念 棱台 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分称之为棱台 图中的四棱台可记作 棱台ABCD-A'B'C'D' 上底面：平行于棱锥底面的截面； 下底面：原棱锥的底面； 侧面：其余各面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧棱与上、下底面的公共点 知识点04 基本立体图形的性质 （1）侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形． （2）底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱长均相等的正三棱锥叫做正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心． （3）棱柱的所有侧面都是平行四边形，但侧面都是平行四边形的几何体却不一定是棱柱． （4）棱台的所有侧面都是梯形，但侧面都是梯形的几何体却不一定是棱台． （5）注意棱台的所有侧棱相交于一点． 【题型1】棱锥的相关计算 典型例题 【例题1】由华裔建筑师贝聿铭设计的巴黎卢浮宫金字塔的形状可视为一个正四棱锥，其侧面三角形底边上的高与底面正方形边长的比值为，则以该四棱锥的高为边长的正方形面积与该四棱锥的侧面积之比为 . 【答案】 【分析】设正四棱锥的底面边长为，高为，斜高为，分别用表示出以该四棱锥的高为边长的正方形面积和该四棱锥侧面积，即可得出答案. 【详解】如图，    设正四棱锥的底面边长为，高为，斜高为，为的中点， 则由题意得：，所以，则设以该四棱锥的高为边长的正方形面积为，，设该四棱锥侧面积为 ，所以. 【例题2】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 A． B． C． D． 【解答】解：设正四棱锥的高为，底面边长为，侧面三角形底边上的高为， 由题意可得，，所以， 即，解得或（舍，所以侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为． 巩固练习 题型 【巩固练习1】如图，正四棱锥的底面边长为4，顶点S到底面中心O的距离为4，求它的表面积．    【解析】作，垂足为点E，连接OE． 因为，所以． 因为，，,平面SOE， 所以平面SOE，而平面SOE， 所以，故．又，所以． 又底面周长，所以正棱锥侧． 又底，因此，该正四棱锥的表面积为表． 【巩固练习2】（23-24高一下·重庆渝中·期中）（多选）满足下列条件的四面体存在的是（    ） A．1条棱长为，其余5条棱长均为1 B．1条棱长为1，其余5条棱长均为 C．2条棱长为，其余4条棱长均为1 D．2条棱长为1，其余4条棱长均为 【答案】BCD 【分析】对于选项A和B，作图，设棱，取其对棱的中点，在中利用三边关系列式子，求出的范围，从而判断四面体是否存在.对于选项C和D，分两种情况讨论，①当长为的两条棱为相对棱时，取的中点，在中利用三边关系列式子，求出的范围；②当长为的两条棱有公共顶点时，取的中点，在中利用三边关系列式子，求出的范围；从而判断四面体是否存在. 【详解】选项A：设四面体有1条棱长为，5条棱长为1， 如图1，四面体满足，， 取的中点，连接，，则， 由三角形的三边关系知，， 所以，即，故A错误； 选项B：与选项A同理可得，当四面体有1条棱长为，5条棱长为时， 因为，所以B正确； 选项C：设四面体有2条棱长为，4条棱长为1，分两种情况： ①当长为的两条棱为相对棱时， 如图2，不妨设为，， 取的中点，连接，，则， 由三角形的三边关系知，， 所以，解得，不符合题意； ②当长为的两条棱有公共顶点时， 如图3，不妨设， 取的中点，连接，， 则，， 由三角形的三边关系知，， 所以，解得； 综上可知，. 因为，所以C正确； 选项D：与选项C同理可得， 当四面体有2条棱长为，4条棱长为时，， 因为，所以D正确. 【题型2】棱台的相关计算 典型例题 【例题1】底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为 ． 【答案】 【分析】方法一：割补法，根据正四棱锥的几何性质以及棱锥体积公式求得正确答案；方法二：根据台体的体积公式直接运算求解. 【详解】方法一：由于，而截去的正四棱锥的高为，所以原正四棱锥的高为， 所以正四棱锥的体积为， 截去的正四棱锥的体积为， 所以棱台的体积为. 方法二：棱台的体积为. 故答案为：. 【例题2】（23-24高一下·重庆长寿·期中）如图所示，在正四棱台中，上底面边长为4，下底面边长为6，体积为，点E为AD中点，过点E的平面α与平面平行，且与正四棱台各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先过点作于点，结合已知得，由棱台体积公式得，由勾股定理得，再求出的长，最终根据相似三角形对应边成比例即可得解. 【详解】如图所示，点作于点，因为，所以， 则四棱台的高为，则四棱台的体积为， 解得，所以侧棱长为. 如图所示：作于点，作于点，连接， 由对称性可知，， 所以，而， 所以，所以， 同理， 分别在棱上取中点，则平面即为平面， ， 所以截面多边形的周长为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】在正四棱台中，，则该棱台的体积为 ． 【答案】 【分析】结合图像，依次求得，从而利用棱台的体积公式即可得解. 【详解】如图，过作，垂足为，易知为四棱台的高，    因为， 则， 故，则， 所以所求体积为. 故答案为：. 【巩固练习2】用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截得的棱台上、下底面积之比为，已知截去的棱锥的顶点到其底面的距离为3，则棱台的上、下底面的距离为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】D 【分析】根据棱锥的性质，用平行于棱锥底面的平面截该棱锥，截面与底面为相似多边形，面积比为相似比的平方，以此可得棱锥的高，进而得到棱台的高． 【详解】∵截去小棱锥的高为3，设大棱锥的高为h， 根据截面与底面为相似多边形，面积比为相似比的平方， 则，∴， ∴棱台的高是，即棱台的上、下底面的距离为3. 故选：D． 【巩固练习3】（23-24高一下·安徽合肥·期中）如图所示，底面边长为的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为，高为4的正四棱锥. (1)求棱台的体积；(2)求棱台的表面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助正四棱锥于棱台的性质可得棱台的高，结合棱台体积公式计算即可得； （2）求出棱台各个面的面积后相加即可得. 【详解】（1）过点作底面于点，交平面于点， 由正四棱锥及棱台的性质可知，为底面的中心， 则， 即棱台的高， ， （2）连接，则，则， 作于点，则， 故 . 【题型3】利用等体积法换底求棱锥体积与点到平面距离 典型例题 【例题1】如图，在棱长为4的正方体中，分别是棱上的动点，且，则三棱锥的体积为________ 【答案】 【分析】计算三棱锥的体积 【详解】因为面， 所以三棱锥的体积 【例题2】如图，直三棱柱的体积为6，的面积为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用等体积法，由求解即可. 【详解】由直三棱柱的体积为6，可得， 设到平面的距离为，由， ，，解得， 即到平面的距离为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】如图，在棱长为3的正方体中，分别为棱的中点．求三棱锥的体积． 【答案】 【分析】求出底面积和高，利用锥体体积公式求出答案. 【详解】由题意得，正方形的面积为， ，， 故，又⊥平面，故⊥平面， 三棱锥的体积为. 【巩固练习2】已知各棱长均为2的直三棱柱中，为的中点，求点到平面的距离.    【答案】 【详解】因为三棱柱是直三棱柱且所有棱长均为2， 在中，， 所以，所以为直角三角形， 设到平面的距离为，因为， ，解得， 所以到平面的距离为. 【巩固练习3】如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截下一个三棱锥. （1）求剩余部分的体积；（2）求三棱锥A－A1BD的体积及高. 【答案】（1）；（2）三棱锥A－A1BD的体积为，高为. 【分析】（1）由题意，先判断剩余部分的体积是正方体的体积减去棱锥的体积，结合棱锥和正方体的体积公式，即可求解； （2）由（1），利用等体积法求得三棱锥体积，再设三棱锥的高为，结合等边三角形的面积解方程即得高. 【详解】解：（1）由题意，正方体的棱长为，则正方体的体积为， 又三棱锥的体积， 所以剩余部分的体积； （2）由（1）知，设三棱锥的高为，是等边三角形，边长为，即面积， 则，即，解得， 故三棱锥A－A1BD的体积为，高为. 【题型4】棱柱、棱锥、棱台的展开图及最短距离问题 解题技巧 空间图形求表面上折线段之和最小值时，关键是弄清几何体中的有关点、线在展开图中的相应位置关系，解决的方法就是把各侧面展开铺在平面上，根据“平面内连结两点的线段最短”的方法来解决. 典型例题 【例题1】如图，在长方体中，，点为上的动点，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】 将绕翻折到与共面，连接，则的长度即为的最小值，利用勾股定理计算可得. 【详解】将绕翻折到与共面，平面图形如下所示： 连接，则的长度即为的最小值， 因为，所以 ， 所以，所以，即的最小值为. 【例题2】如图，在三棱锥中，，，过点作截面，求周长的最小值． 【答案】. 【分析】沿侧棱把三棱锥展开在一个平面内，利用两点之间线段最短即可求解. 【详解】将三棱锥沿侧棱剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图，线段的长为所求周长的最小值． ∵，∴． 又，∴． ∴周长的最小值为． 【例题3】（23-24高一下·江苏无锡·期中）半正多面体亦称“阿基米德体”或“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成.在如图所示的半正多面体中，若其棱长为2，点M，N分别在线段，上，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将几何体展开为平面图形，利用两点之间线段最短求的最小值. 【详解】将该半正多面体展开为平面，且在线段两侧（两线段在两点之间），如下图所示，      由半正多面体中，棱长为2，得，， 且，故， 所以，当且仅当在展开图中共线时等号成立. 故选：D. 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知长方体中，一只小虫从长方体顶点出发沿表面爬行到顶点，则小虫爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分三种情况，利用平面展开图求解可得. 【详解】如图，若小虫爬行路线经过棱，则最短路程为； 若小虫爬行路线经过棱，则最短路程为； 若小虫爬行路线经过棱，则最短路程为. 因为，所以小虫爬行的最短路程为. 故选：A 【巩固练习2】（1）如图，三棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧棱CC1⊥底面,CC1＝3，有虫从A沿三个侧面爬到A1，求小虫爬行的最短距离． （2）以O为顶点的三棱锥中，过O的三条棱两两的夹角都是30°，在一条棱上取A，B两点，OA＝4cm，OB＝3cm，以A，B为端点用一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周(绳和侧面无摩擦)，求此绳在A，B两点间的最短绳长． 【答案】（1）3；（2）5cm 【分析】（1）由题意知：此三棱柱的侧面展开图为一个矩形，据此即可求出答案. （2）作出三棱锥的侧面展开图.根据题意即可写出∠AOB＝90°，OA＝4cm，OB＝3cm，即可求出AB的长度. 【详解】（1）三棱柱的侧面展开图为一个矩形AA′A1′A1，如图所示， 长A1A1′＝2×3＝6，宽AA1＝3， 所以AA1′＝＝＝3， 即小虫爬行的最短距离是3. （2）作出三棱锥的侧面展开图，如图， A，B两点间最短绳长就是线段AB的长度． 在中，∠AOB＝30°×3＝90°，OA＝4cm，OB＝3cm， 所以AB＝ ＝5(cm)． 所以此绳在A，B两点间的最短绳长为5cm. 【巩固练习3】正三棱锥P﹣ABC的侧棱长为2，∠APB＝∠APC＝∠BPC＝30°．E，F分别是BP、CP上的点，△AEF周长的最小值　　． 【解答】解：作出该三棱锥的侧面展开图，如图所示； △AEF的周长即为AE、EF、FA三者的和， 从图中可见：为使三角形AEF的周长的值最小， 只需让A、E、F、A'四点共线即可（形成图中蓝线形状）； 根据题中给出的条件知：∠APB＝∠BPC＝∠CPA'＝30°， ∴∠APA′＝90°， AA′＝＝2． ∴△AEF周长的最小值为2． 【巩固练习4】（23-24高一下·山东·期中）已知直三棱柱中，，点分别为棱的中点，是线段上（包含端点）的动点，一只虫子由表面从点爬到点的最近距离为________ 【答案】 【分析】分情况讨论，比较最短距离. 【详解】若一只虫子由表面从点经过爬到点，如图1，则爬过的最小距离：为；    若一只虫子由表面从点经过爬到点，如图2，则爬过的最小距离为：；    若一只虫子由表面从点经过爬到点，如图3，则爬过的最小距离为：，    若一只虫子由表面从点经过爬到点，如图4， 过作，交于点， 因为为中点，所以 ，所以， 在中，则爬过的最小距离为： ，    【题型5】割补法求体积 典型例题 【例题1】（23-24高一下·湖南长沙·期末）如图所示，在三棱柱中，若点，分别满足，，三棱柱高为3，面积为，则几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意确定几何体为三棱台，再结合棱台的体积公式求出三棱台的体积和棱柱的体积之间的关系，即可求得答案. 【详解】因为在三棱柱中，，， 故， 则，故几何体为三棱台； 设三棱台的体积为，几何体的体积为， 设h为三棱柱的高，则， ， 故 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·河南郑州·期中）西流湖公园今年春天成为了网红打卡地，公园里不仅有美丽的景色，各种亭台楼阁也是各有特色.十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一，图1中的角楼的顶部即为十字歇山顶．其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图2）．这两个直三棱柱有一个公共侧面．在底面中，若，，则该几何体的体积为（    ） A．88 B． C．64 D． 【答案】C 【分析】根据题意，得到几何体为直三棱柱和两个三棱锥，结合柱体和锥体的体积公式，准确计算，即可求解. 【详解】如图所示，几何体为直三棱柱和两个三棱锥构成的几何体， 设直三棱柱的底面的面积为，高为， 因为，可得， 且， 所以几何体的体积为 . 故选：C. 【题型6】线段和最小值问题：平面的拼接 典型例题 【例题1】在正方体中，，点满足，，则的最小值为________ 【答案】 【简析】将2个平面拼接到一起，再连接DB1即为所求，的最小值为 巩固练习 题型 【巩固练习1】如图,在正方体中,,为线段上的动点,则的最小值为 ________ 【答案】 【详解】将平面和平面沿直线展开为一个平面,如图:    , , , , ,即 的最小值为,故D正确. 【巩固练习2】如图，在棱长为2的正方体中，点M在线段（不包含端点）上运动，则的最小值为________ 【答案】 【详解】如图，将与展开在同一平面内，的最小值为， 由余弦定理得 【巩固练习3】如图，直四棱柱的底面是梯形，，，，，P是棱的中点．Q是棱上一动点（不包含端点），则三角形BPQ周长的最小值为________    【答案】 【分析】把沿展开与在同一平面（如图），则当B，P，Q共线时，有最小值，从而可求得结果. 【详解】，把沿展开与在同一平面（如图）， 则当B，P，Q共线时，有最小值， 在直角梯形中，，，，， 则， 所以， 所以， 所以三角形BPQ周长的最小值为      模块二 圆柱、圆锥、圆台及球 基础知识 知识点05 圆柱、圆锥、圆台的相关概念 1. 圆柱、圆锥、圆台的相关概念 　　将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的空间图形分别叫作圆柱、圆锥、圆台，这条直线叫作轴. 垂直于轴的边旋转而成的圆面叫作底面. 不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫作侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫作母线. 2. 圆柱、圆锥、圆台的图形表示 名称 圆柱 圆锥 圆台 图形 图中的圆柱记作圆柱OO' 图中的圆锥记作圆锥SO 图中的圆台记作圆台OO' 知识点06 球的相关概念 名称 球 定义 半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫作球面，球面围成的空间图形叫作球体，简称球 图形及表示 图中的球记作球O 相关概念 球心：半圆的圆心； 半径：连接球心和球面上任意一点的线段； 直径：连接球面上两点并经过球心的线段 知识点07 体积与表面积公式 名称 柱体(棱柱和圆柱) 锥体(棱锥和圆锥) 台体(棱台和圆台) 球 体积 表面积 1. 解决圆柱基本量的计算问题，要抓住它的底面半径、高(母线)与矩形(圆柱的轴截面)之间的关系，注意在矩形中一边长为圆柱的高，其邻边长为圆柱的底面直径. 2. 解决圆锥基本量的计算问题，要从圆锥的轴截面入手，利用截面中的直角三角形建立底面半径、高、母线长三者之间的关系：，即可解决问题. 3. 解决圆台基本量的计算问题，一般从圆台的轴截面(等腰梯形)入手，利用轴截面可以分割为两个全等的直角三角形和一个矩形，结合题目条件求解. 另外，也可以将其两腰延长转化为等腰三角形，从而可以利用平行线分线段成比例、三角形相似等知识来解决. 知识点08 球的截面问题 球体的相关计算关键是找出球心到相关平面的距离，再结合勾股定理计算求值 【题型7】圆柱、圆锥的相关计算 典型例题 【例题1】已知圆锥的侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长与底面半径的比为　　 A．2 B． C．4 D． 【解答】解：设圆锥的母线长为，底面半径为，圆锥的侧面展开图是一个半圆， 圆锥的侧面展开扇形的弧长为：，圆锥的侧面展开扇形的周长等于圆锥的底面周长， ， 巩固练习 题型 【巩固练习1】若一个圆锥的轴截面是一个腰长为，底边上的高为1的等腰三角形，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得该圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，腰长为，底边长为2， 所以圆锥的母线长，底面圆半径， 所以该圆锥的侧面积为. 【题型8】圆台的相关计算 典型例题 【例题1】已知圆台的上、下底面面积分别为和，高为，则圆台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意圆台的上、下底面面积分别为和，高为， 可得，， 所以， 故圆台的母线长为， 所以圆台的侧面积为． 故选：B． 【例题2】（23-24高一下·广东东莞·期末）已知圆台的上底半径为2，下底半径为4，则经过母线中点且与底面平行的平面将圆台分成上下两部分的体积之比为 . 【答案】 【分析】将圆台还原为圆锥，设圆锥的顶点为，设圆台上、下底面圆、圆、截面圆的半径分别为、、，设圆锥、圆锥、圆锥的体积分别为、、，由圆台上、下底面圆和截面圆的半径之比，可得到体积、、之间的关系，进而可得经过母线中点且与底面平行的平面将圆台分成上下两部分的体积之比. 【详解】设圆台上、下底面圆的圆心分别为、，将圆台还原为圆锥，设圆锥的顶点为， 设经过母线中点且与底面平行的平面所成截面圆的圆心为， 设圆、圆、圆的半径分别为、、，则，，则， 设圆锥、圆锥、圆锥的体积分别为、、， 因为，则， ，则， 所以，，， 则经过母线中点且与底面平行的平面将圆台分成上下两部分的体积之比为， . 巩固练习 题型 【巩固练习1】圆台的轴截面上、下底边长分别为和，母线长为，则圆台的体积是 . 【答案】 【解析】由题可得圆台上底面半径，下底面半径.又母线l长为， 则圆台的高， 故圆台的体积. 故答案为： 【巩固练习3】如图是一个圆台形的水杯，圆台的母线长为12，上､下底面的半径分别为4和2.为了防烫和防滑，该水杯配有一个皮革杯套，包裹住水杯高度以下的外壁和杯底，水杯和杯套的厚度忽略不计，则此杯套使用的皮革的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知杯套部分依然是圆台， 则此杯套使用的皮革的面积即为对应圆台的侧面积加上较小底面面积； 如图，作出水杯的轴截面，作于G， 设为杯套部分对应的轴截面，AG交EF与H， 则，， 则由∽可得， 故，故此杯套使用的皮革的面积为，故选：C 【巩固练习3】如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），已知该扇环的面积为，两段圆弧所在圆的半径分别为3和6，则该圆台的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆台的侧面展开图是一扇环，设该扇环的圆心角为， 则其面积为，解得， 所以扇环的两个圆弧长分别为和， 设圆台上下底面的半径分别为，高为， 所以，解得， ，解得， 作出圆台的轴截面，如图所示： 图中，， 过点向作垂线，垂足为，则， 所以圆台的高， 则上底面面积，， 由圆台的体积计算公式可得：.故选：A. 【题型9】组合体的相关计算 典型例题 【例题1】（23-24高一下·湖北武汉·期中）毡帐是蒙古族牧民居住的一种房子，内部木架结构，外部毛毡围拢，建造和搬迁都很方便，适合牧业和游牧生活．如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与一个圆柱的组合体，下半部分圆柱的高为2.5米；上半部分圆锥的母线长为米，轴截面（过圆锥轴的截面）是面积为平方米的等腰钝角三角形，则建造该毡帐（不含底面）需要毛毡（    ）平方米． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用圆锥的结构特征求出圆锥的高和底面半径，由此求出上半部分圆锥和下半部分圆柱的侧面积，进而计算可得答案. 【详解】根据题意，如图所示为该组合体上半部分为圆锥， 由于其母线长为米，轴截面是面积为平方米的等腰钝角三角形， 设其高为，底面半径为， 则有，解可得， 则上半部分圆锥的侧面积 下半部分圆柱的侧面积 则该组合体的表面积(不含底面) . 故选：A 【例题2】已知平面四边形中，，，，若平面四边形绕旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分别求出边长并代入锥体和柱体的体积公式做差求出旋转体得体积. 【详解】 因为，，所以， 在中，，所以， 所以，在中，，所以， 如图，作，所以平面四边形是矩形，， 平面四边形绕旋转一周得到一个几何体是圆柱去掉一个圆锥， 是圆锥的底面半径，是它的高，而和是圆柱的半径和母线， 由已知， 所以 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知正三棱柱的棱长均为分别是棱的中点，则几何体的体积为 . 【答案】 【分析】应用三棱柱及三棱台的体积做差后 得出几何体的体积. 【详解】, ,为三棱台，, . 故答案为：. 【巩固练习2】（23-24高一下·广东广州·期中）如图，在平面四边形中，，，，，. (1)求点到所在的直线的距离； (2)以所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，求该几何体的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）画图在直角三角形中由正弦值求解即可； （2）该几何体可以看为以所在的直线为轴，旋转一周形成一个圆台，挖去一个圆锥的组合体，由体积公式计算即可. 【详解】（1）如图： 延长，过点作，垂足为， 则点到所在的直线的距离为， ， 所以. 所以点C到AD所在的直线的距离为. （2）以AD所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体， 可以看成以所在的直线为轴，旋转一周形成一个圆台，挖去一个圆锥的组合体， 其体积为圆台的体积减去圆锥的体积， 所以 . 【巩固练习3】图1是宋代五大名窑中汝窑制造的双耳罐，它装物的有效部分可近似看成由两个圆台拼接而成（如图2所示）在图2中，已知下底面圆的直径是6，中间圆的直径是10，上底面圆的直径是4，上下底面圆的距离是5，且上、下两圆台的高之比是，若不考虑罐壁的厚度，则该汝窑双耳罐的容积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图可知，双耳罐是由两个圆台组成，上面圆台底面半径分别为；下面圆台底面半径分别为，分别求出两个圆台的高，再利用圆台的体积公式可求得结果． 【详解】由图可知，双耳罐是由两个圆台组成， 上面圆台底面直径分别为，所以圆台底面半径分别为； 下面圆台底面直径分别为，所以圆台底面半径分别为； 又因为容器上下底面圆的距离是5，且上、下两圆台的高之比是， 所以上面圆台的高2，下面圆台的高是3， 故该汝窑双耳罐的体积为：,． 【巩固练习4】如图，在中，已知，将以为轴旋转一周形成的几何体的体积为，以为轴旋转一周形成的几何体的体积为，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转体定义可得形成的几何体都可以看做一个大圆锥挖去一个小圆锥，再由锥体体积公式可得结果. 【详解】分别过顶点向对边作垂线，垂足分别为点，如图所示，    设，，则， 则形成的几何体都可以看做一个大圆锥挖去一个小圆锥，所以可得 ， ； 所以，即． 【巩固练习5】如图“四角反棱台”，它是由两个相互平行的正方形经过旋转､连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点.若下底面正方形边长为4，“四角反棱台”高为3，则该几何体体积为 . 【答案】40 【分析】利用割补法求解几何体体积； 【详解】依题意，将该“四角反棱台”还原成长方体，知该几何体为长方体截取 四个相同大小的四棱锥，如图.则该几何体体积为 . 【巩固练习6】（23-24高三下·湖北·开学考试）（多选）中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，垂直于底面，，底面扇环所对的圆心角为，弧的长度是弧长度的3倍，，则下列说法正确的是（   ） A．弧长度为 B．曲池的体积为 C．曲池的表面积为 D．三棱锥的体积为5 【答案】ACD 【分析】设弧所在圆的半径为，弧所在圆的半径为，根据弧的长度是弧长度的倍及求出、，再根据体积、表面积公式计算可得. 【详解】设弧所在圆的半径为，弧所在圆的半径为， 因为弧的长度是弧长度的倍，，即， ，，， 所以弧的长度为，故A正确； 曲池的体积为，故B错误； 曲池的表面积为 ，故C正确； 三棱锥的体积为，故D正确． 【题型10】圆柱、圆锥、圆台的展开图及最短距离问题 典型例题 【例题1】如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是上底面的直径.一只昆虫从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，昆虫爬行的最短路程是 . 【答案】 【分析】作出圆柱侧面展开图，可知所求最短路程为，利用勾股定理可求得结果. 【详解】作出圆柱的侧面展开图如下图所示， 则当昆虫的爬行路线为线段时，爬行的路程最短， 圆柱体的底面周长为，； 最短路程为：. 【例题2】如图，一个立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为2，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为，则圆锥底面圆的半径等于 ． 【答案】 【分析】先根据圆锥侧面展开图得：为小虫爬行的最短路径；再根据弧长公式可得；最后根据底面圆周长等于的长度即可得出答案. 【详解】把圆锥侧面沿母线展开成如图所示的扇形，则为小虫爬行的最短路径. 依题意：小虫爬行的最短路程为. 因为母线长， 所以在中． 则由弧长公式得：． 设圆锥底面圆的半径为r. 则，解得 巩固练习 题型 【巩固练习1】如图，圆台上、下底面半径分别为，，母线长为，从母线AB的中点拉一条细绳，围绕圆台侧面转至下底面的点，求BM间细绳的最短长度.    【答案】 【分析】作出圆台的展开图，设，，为最短距离，计算得到，，再根据勾股定理计算得到答案. 【详解】如图所示：圆台的展开图，设，，为最短距离，    则，，解得，， 故. 故BM间细绳的最短长度为. 【巩固练习2】如图，圆锥的底面直径，母线长，点在母线上，且，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点到达点，则这只蚂蚁爬行的最短距离是 ． 【答案】 【分析】蚂蚁爬行距离最短，即将圆锥侧面展开后A到C的直线距离，根据已知条件、余弦定理可求出最短距离. 【详解】圆锥的侧面展开图为半径为3的扇形，弧长为， ∴，则， 由余弦定理可知，． 故答案为：． 【巩固练习3】已知底面半径为1，体积为的圆柱，内接于一个高为的圆锥（如图），线段AB为圆锥底面的一条直径，则从点A绕圆锥的侧面到点B的最短距离为 . 【答案】 【分析】设圆柱的高为，求得，进而得到圆锥的底面半径为，母线长为，结合圆锥的侧面展开图，即可求解. 【详解】如图所示，设圆柱的高为，则，可得， 因为，所以为的中位线，所以， 则，即圆锥的底面半径为，母线长为， 则侧面展开图所得的扇形的弧长为，圆心角为， 所以从点绕圆锥的侧面到点的最短距离为. 故答案为：. 【巩固练习4】如图是一坐山峰的示意图，山峰大致呈圆锥形，峰底呈圆形，其半径为，峰底A到峰顶的距离为，B是山坡的中点.为了发展当地旅游业，现要建设一条从A到B的环山观光公路，当公路长度最短时，公路距山顶的最近距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆锥的侧面展开图，即可根据弧长公式可得，进而根据等面积法即可求解. 【详解】以为分界线，将圆锥的侧面展开，可得其展开图如图. 则从点A到点B的最短路径为线段，，所以. 过S作，则公路距山顶的最近距离为， 因为，所以， 故选:D. 【题型11】球的截面有关计算 典型例题 【例题1】用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆的面积公式和球心到截面圆的距离、截面圆半径及球的半径的关系，结合球的体积公式即可求解. 【详解】设截面圆的半径为，球的半径为,由题意可知，解得，， 所以球的体积为. 【例题2】已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上，若球的表面积为，则点到平面的距离为 ． 【答案】 【分析】设球的半径为R，由球的表面积解出，设外接圆半径为，边长为，解出，由勾股定理求解即可. 【详解】设球的半径为，则，解得． 设外接圆半径为，边长为，因为是面积为的等边三角形，所以，解得，由，所以，所以球心到平面的距离． 【例题3】已知，，，四点都在球的球面上，且，，三点所在平面经过球心，，，则点到平面的距离的最大值为 ，球的表面积为 . 【答案】 4 【分析】利用正弦定理求得外接圆半径，结合题意可得球的半径，再利用球的截面性质与球的表面积公式即可得解. 【详解】在中，，. 根据正弦定理（为外接圆半径），这里，，所以，解得. 因为、、三点所在平面经过球心，所以球的半径. 因为、、三点所在平面经过球心，当垂直于平面时，点到平面的距离最大，这个最大值就是球的半径，所以点到平面的距离的最大值为. 则球的表面积为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】若用与球心的距离为的平面截球体所得的圆面半径为2，则球的半径为 . 【答案】3 【分析】直接由勾股定理计算可得. 【详解】由于球心到平面的距离为，所得圆面的半径为2， 则球的半径为. 【巩固练习2】已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，则球的表面积是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出的外接圆半径，再利用球面的截面小圆性质求出球半径即得答案. 【详解】在中，，则，， 由正弦定理得外接圆半径，设球半径为， 于是，解得，所以球的表面积是. 【巩固练习3】已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据球的表面积和的面积可求得球的半径和外接圆半径，由球的性质可知所求距离. 【详解】设球的半径为，则，解得：. 设外接圆半径为，边长为， 是面积为的等边三角形， ，解得：，， 球心到平面的距离. 【巩固练习4】球的两个平行截面面积分别为和，球心到这两个截面的距离之差等于1，则球的直径为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据题设知较近的截面圆半径为，另一个截面圆半径为，结合截面圆半径与球体半径、球心与截面距离关系列方程求球体半径，即得结果. 【详解】令球心到较近的截面距离为，则到另一个截面距离为，且球的半径为， 易知较近的截面圆面积为，另一个截面圆面积为， 所以较近的截面圆半径为，另一个截面圆半径为， 由截面圆半径与球体半径、球心与截面距离关系知：， 所以，故，则球的直径为6. 【巩固练习5】两个平行平面截一个半径为4的球，得到的截面面积分别为和，则这两个平面之间的距离为 ． 【答案】或. 【分析】计算截面圆的半径，再计算截面到球心的距离，得到答案. 【详解】设两个截面圆的半径分别为，，则，，，， 两个截面到球心的距离分别为，， 则，， 故这两个平面的距离为或. 故答案为：或. 【巩固练习6】（23-24高一下·河北邢台·期中）已知体积为的正三棱锥的外接球的球心为，若满足，则此三棱锥的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意确定三角形ABC的位置以及形状，利用正三棱锥的体积公式求出球半径，代入球的体积公式即可. 【详解】正三棱锥的外接球的球心满足， 说明三角形ABC在球的大圆上，并且为正三角形， 设球的半径为， 根据对称性易知：正三棱锥中顶点到底面ABC的距离为球的半径， 由正弦定理有底面三角形ABC的边长为， 棱锥的底面正三角形ABC的高为， 正三棱锥的体积为， 解得，则此三棱锥外接球的体积为． 模块三 斜二测画法及综合问题 解题技巧 知识点09 空间几何体的直观图 1. 直观图画法：常用斜二测画法． 2. 规则： ①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直． ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半． 3. 直观图与原图形面积的关系 按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系： ①S直观图＝S原图形 ②S原图形＝S直观图 知识点10 求空间几何体表面积的常见类型及思路 1. 求多面体的表面积：只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积； 2. 求旋转体的表面积：可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系 3. 求不规则几何体的表面积：通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积； 【注意】在求解组合题的表面积时，注意几何体表面的构成，尤其是重合部分，面积不要多加或少加 知识点11 求空间几何体的体积 1. 处理空间几何体体积的基本思路 （1）转：转换底面与高，将原本不容易求面积的底面转换为容易求面积的底面，或将原来不容易看出的高转换为容易看出并容易求解的高； （2）拆：将一个不规则的几何体拆成几个规则的几何体，便于计算； （3）拼：将小几何体嵌入一个大几何体中，如有时将一个三棱锥复原成一个三棱柱，将一个三棱柱复原乘一个四棱柱，还台位锥，这些都是拼补的方法。 2. 求体积的常用方法 （1）直接法：对于规则的几何体，利用相关公式直接计算； （2）割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算； （3）等体积法：选择合适的底面来求几何体的体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面作为三棱锥的底面进行等体积变换 【题型12】斜二测画法 典型例题 【例题1】（23-24高一下·山东潍坊·期末）如图，一个水平放置的平面图形按斜二测画法得到的直观图是直角梯形，又知，，则平面图形的面积为 .    【答案】 【分析】先求出梯形的面积，再根据公式，即可求解. 【详解】过作垂直于点，如图所示， 因为是直角梯形， 所以四边形是矩形， 所以，， 又因为， 所以， 所以， 所以， 又因为， 所以. 故答案为：.    【例题2】（23-24高一下·河北邢台·期中）如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图，若，且，则原图形中边上的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由三角形面积公式求出的长，结合斜二测画法可得原图中的长. 【详解】画出平面直角坐标系，在轴上取，即， 在图①中，过作轴，交轴于，在轴上取， 过点作轴，并使， 连接，则即为原来的图形，如图②所示： 原图形中，于点， 则BD为原图形中边上的高，且， 在直观图③中作于点，则的面积， 在直角三角形中，， 所以， 故原图形中AC边上的高为． 【例题3】（23-24高一下·湖北武汉·期末）某水平放置的平面图形ABCD的斜二测直观图是梯形（如图所示），已知，，，将该平面图形绕其直角腰AB边旋转一周得到一个圆台，则该圆台的侧面积为 ． 【答案】 【分析】结合斜二测法可得圆台上、下底面半径及母线长度，结合圆台性质与圆锥的侧面积公式计算即可得该圆台的侧面积. 【详解】由题可得，，，， 则所得圆台上底面为以为半径的圆，下底面为以为半径的圆，高为， 其母线为， 故其侧面积. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·浙江金华·期中）如图所示，直观图四边形是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是 . 【答案】 【分析】由斜二侧画法可知，原图为直角梯形，上底为1，高为2，下底为，利用梯形面积公式求解即可． 【详解】根据斜二侧画法可知，原图形为直角梯形，如图， 其中上底，高，下底为， ． 【巩固练习2】（23-24高一下·山东潍坊·期末）如图，一个水平放置的平面图形按斜二测画法得到的直观图是直角梯形，又知，，则平面图形的面积为 .    【答案】 【分析】先求出梯形的面积，再根据公式，即可求解. 【详解】过作垂直于点，如图所示， 因为是直角梯形， 所以四边形是矩形， 所以，， 又因为， 所以， 所以， 所以， 又因为， 所以. 故答案为：.    【巩固练习3】水平放置的的直观图如图，其中，，那么原是一个（ ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形 【答案】A 【解析】由图形知，在原中，，如图， 因为，所以， ，， 又，. 为等边三角形.故选：A 【巩固练习4】已知用斜二测画法得到的某水平放置的平面图形的直观图是如图所示的等腰直角 △，其中，则原平面图形中最大边长为　　 A．2 B． C．3 D． 【解答】解：由题意可得三角形的原图形，如图所示； 由，得，， 所以，， 所以原平面图形中最大边长为． 故选：． 【巩固练习5】如图，已知用斜二测画法画出的的直观图是边长为的正三角形，原的面积为 　　． 【解答】解：过点作轴，且交轴于点，过点作轴，且交轴于点， 则，所以，则， 所以原三角形的高，底边长为，其面积为． 故答案为：． 【题型13】综合型问题 典型例题 【例题1】（23-24高一下·重庆·期末）（多选）已知圆锥的底面半径，母线长，，是两条母线，是的中点，则（    ） A．圆锥的体积为 B．圆锥的侧面展开图的圆心角为 C．当为轴截面时，圆锥表面上点到点的最短距离为 D．面积的最大值为2 【答案】BCD 【分析】首先求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积，从而判断A，再由弧长公式判断B，利用余弦定理判断C，根据面积公式判断D. 【详解】对于A：因为，，所以圆锥的高， 所以圆锥的体积，故A错误； 对于B：设圆锥的侧面展开图的圆心角为，则，即， 解得，即圆锥的侧面展开图的圆心角为，故B正确； 对于C：当为轴截面时，将圆锥侧面展开可知，点到点的最小距离为，如图， 在中，， 由余弦定理得，故C正确； 对于D：当为轴截面时，在中，，因为， 所以此时为钝角，又， 当时，的面积最大，且最大值为，故D正确； 故选：BCD 【例题2】（23-24高一下·山东潍坊·期末）已知圆锥的底面半径为3，侧面积为. (1)求圆锥的体积；(2)求圆锥的内切球的表面积. 【答案】(1) (2) 【分析】利用圆锥侧面积公式、体积公式、圆锥内切球关系分析运算即可得解. 【详解】（1）由题意圆锥的底面半径为，设母线长为，圆锥的高为， 由圆锥的侧面积公式得：，解得，所以. 由圆锥的体积公式得:. （2）如图所示， 圆锥及内切球截面示意图如上图，设内切球半径为， ∵相似于， ∴，即， 解得：，所以内切球表面积：. 【例题3】（23-24高一下·浙江杭州·期末）一个呈直三棱柱的密闭容器，底面是边长为的正三角形，高为6，有一个半径为1的小球在这个容器内可以向各个方向自由滚动，则小球能接触到的容器内壁的最大面积为 ． 【答案】 【分析】依题意得，小球能接触到的容器内壁分为两部分，即上下底面部分与侧面部分，上下底面部分是正三角形，其边长为：，侧面部分是底边长为，高为的矩形，即可求解． 【详解】解：因为直三棱柱的密闭容器的底面边长为，且为正三角形，容器的高为，小球的半径为，如图所示：    则小球在这个容器内向各个方向自由滚动时，小球能接触到的容器内壁分为两部分，即上下底面部分与侧面部分， 上下底面部分是正三角形，其边长为：， 其面积为：； 侧面部分是底边长为，高为的矩形，其面积为：； 则小球能接触到的容器内壁的最大面积为：． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·湖北武汉·期末）（多选）将一个直径为8cm的铁球磨制成一个零件，能够磨制成的零件可以是（    ） A．底面直径为8cm，高为6cm的圆柱体 B．底面直径为6cm，高为4cm的圆锥体 C．底面边长为4cm，高为6cm的正四棱柱 D．棱长为6cm的正四面体 【答案】BD 【分析】根据球的几何性质，结合勾股定理，计算球心到选项中各几何体底面的距离，结合各几何体特征即可逐一求解. 【详解】对A：若圆柱的底面直径为8，此时球心到圆柱底面的距离为，故A错误； 对B：若圆锥的底面直径为6，则半径为3， 此时球心到圆锥底面的距离为， 故圆锥的高最大时为，故B正确； 对C：若正四棱柱底面边长为4，则底面外接圆半径为， 此时球心到正四棱柱底面的距离为， 故正四棱柱的高最大时为，故C错误； 对D：法一：若正四面体的棱长为6，则底面外接圆半径为， 此时球心到正四面体底面的距离为， 棱长为6cm的正四面体的高为，由，故D正确 法二：若将各棱长均为的四面体放入到棱长为的正方体中， 此时正方体的外接球直径为，故D符合，故D正确. 【课后巩固训练】 1. （多选）下列说法正确的是（    ） A．棱柱的侧棱长都相等 B．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 C．棱台的侧面是等腰梯形 D．用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面 【答案】ABD 【分析】根据棱柱、棱锥、棱台和球的几何结构特征，逐项判定，即可求解. 【详解】由棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，所以棱柱的侧棱长都相等，所以A正确； 由棱锥的所有侧面均为交于一点的三角形，底面为多边形，所以有一个面是四边形的棱锥一定是四棱锥，B正确； 根据棱台的定义，棱台的各个侧面都是梯形，棱台的侧棱长可能不相等，所以C不正确； 根据球的截面的性质，可得用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面，所以D正确. 1. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3、圆心角为的扇形，则该圆锥的高是　　 A． B．2 C． D． 【解答】解：设圆锥的底面半径为，高为，母线为， 因为圆锥的侧面展开图是一个半径为3、圆心角为的扇形， 所以，又，解得， 所以该圆锥的高． 1. 圆台的上、下底面半径分别是，，且圆台的母线长为5，则该圆台的体积是 . 【答案】 【解析】由图可得，圆台的高为， 故圆台的体积为. 1. 已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，且该圆锥的体积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆锥底面圆的半径和的关系，结合圆锥体积公式，即可求解. 【详解】由题意可知，半圆的弧长为， 设圆锥的高为，底面圆的半径为，则母线为，则， 所以，则，， 圆锥体积，解得：. 1. 如图，圆锥的底面直径和高均是4，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过圆锥的底面半径和高，可求出圆柱的高和底面半径，再结合圆锥的表面积与圆柱的侧面积可求得剩下几何体的表面积. 【详解】设圆柱的高为，底面半径为，可知， 则圆锥的母线长为， 所以剩下几何体的表面积为. 1. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥侧面积的一半，那么其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正四棱锥的几何性质列出等量关系，进而即可求解. 【详解】设正四棱锥的高为，底面边长为，侧面三角形底边上的高为，则 由题意可知，， 因此有 ，即，解得， 因为， 所以. 所以侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 1. 所有棱长均为6的正三棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2的正三棱锥，则所得棱台的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用小三棱锥和大三棱锥的比例求解即可. 【详解】    如图，根据题意可得所得棱台为正三棱台， 该棱台的高等于大正三棱锥的高的. 设大正三棱锥的高为DH，则： 因为大正三棱锥的高为:， 所以该棱台的高为. 1. 如图，正方形的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，原图形的面积为　 A． B． C． D． 【解答】解：画出相应的平面直角坐标系， 在轴上取，在轴上取，作轴，并且等于，然后连接，，则平行四边形为原图形，，原图形的面积为：． 1. 科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是中国科学院自主研发的系留浮空器．2022年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功升至9 032米高空，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长55米，高19米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，如图2所示，是该浮空艇的轴截面图，则它的体积约为（    ） （参考数据：，，，）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由题意得半球的半径、圆柱的底面半径和母线长以及圆台的两底面半径和高，再分别利用球、圆柱、圆台的体积公式即可求出结果. 【详解】根据题意，该组合体的直观图如图所示： 因为半球的半径为，圆柱的底面半径为，母线长为，圆台的两底面半径分别为和，高为， 所以， ， ， 所以浮空艇的体积为： ， 故选：A.    1. 已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的表面上，若球心到平面的距离为1，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先作出图形，利用已知条件求出的外接圆圆心，再根据几何关系进一步解出外接球半径，代入表面积公式即可. 【详解】由题意可知，如图： 是面积为的等边三角形 ，， 又是外接圆圆心 又 球的表面积为: 1. 已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为，则球心O到平面的距离为 ． 【答案】 【分析】先由三角形面积公式及正弦定理求得外接圆半径，再由球的表面积求出球的半径，由勾股定理计算距离即可. 【详解】 设的边长为，外接圆半径为，则，解得，由正弦定理可得，解得. 设球O的半径为，则，解得，则球心O到平面的距离为. 故答案为：. 1. 如图：正三棱锥A﹣BCD中，∠BAD＝30°，侧棱AB＝2，BD平行于过点C的截面CB1D1，则截面CB1D1与正三棱锥A﹣BCD侧面交线的周长的最小值为（　　） A．2 B． C．4 D． 【解答】解：把正三棱锥A﹣BCD的侧面展开， 两点间的连接线CC'即是截面周长的最小值． 正三棱锥A﹣BCD中，∠BAD＝30°，所以AC⊥AC′，AB＝2， ∴CC′＝，∴截面周长最小值是CC′＝． 故选：D． 1. 如图，在棱长为1的正方体中，已知，分别为线段，上的动点，为的中点，则的周长的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设的中点为，即可证明，从而得到，再将平面与平面展开并摊平，在平面图形中连接，交于点，交于点，此时的周长取得最小值，利用余弦定理计算可得. 【详解】   设的中点为，连接（不与点重合），，，， 所以，所以，把平面与平面展开并摊平，如图， 在平面图形中连接，交于点，交于点，此时的周长取得最小值， 在中利用余弦定理可得，    所以的周长的最小值为． 1. 《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭，其中上底面与下底面的面积之比为，，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭四个侧面的面积之和为，则方亭的体积为 . 【答案】 【分析】分析可知，设，则，过点、在平面内分别作，，垂足分别为点、，根据正四棱台的侧面积计算出的值，再利用台体的体积公式可求得结果． 【详解】解：由题意得，设，则，. 过点，在平面内分别作，，垂足分别为点、， 在等腰梯形中，因为，，，则四边形为矩形， 所以，，则， 因为，，， 所以，所以， 在中，由勾股定理得， 所以等腰梯形的面积为，所以. 所以，，方亭的高， 故方亭的体积为. 1. 已知圆台的上、下底面的圆心分别为，，母线（点位于上底面），且，圆的周长为，一只蚂蚁从点A出发沿着圆台侧面爬行一周到点B，则其爬行的最短路程为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】将圆台侧面展开成平面图形，在平面扇环中分析计算即得. 【详解】将圆台的侧面沿着母线剪开，展成平面图形，延长交于点，连接，如图， 显然弧的长为，弧的长为，设，则，， 则，即，得，于是是的中点，， 因此是等边三角形，有，且与弧相切，则在此侧面展开图内， 所以蚂蚁爬行的最短路线即线段，. 1. 如图，已知四棱锥的底面是面积为的正方形，侧面是全等的等腰三角形，一条侧棱长为.    （1）计算四棱锥的高；（2）计算四棱锥侧面三角形底边上的高. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正四棱锥的知识求得几何体的高. （2）根据等腰三角形的知识求得侧面三角形底边上的高. 【详解】（1）正方形的边长为， 由于四棱锥的侧面是全等的等腰三角形， 所以四棱锥是正四棱锥，设，连接， 则平面，由于平面， 所以，由于， 所以, 即四棱锥的高为. （2）由于正四棱锥的侧面是全等的等腰三角形， 侧面三角形底边上的高为.    1. 如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图， (1)画出它的原图形，(2)若的面积是，求原图形中边上的高和原图形的面积. 【答案】(1)图形见解析 (2)， 【分析】 （1）逆用斜二测画法的原理，平行依旧斜改垂，横等纵二倍竖不变，即可由直观图得出原图. （2）先根据的面积求出，然后利用斜二测画法原理求出高，由此可求出原的面积. 【详解】（1）画出平面直角坐标系，在轴上取，即， 在图①中，过作轴，交轴于，在轴上取， 过点作轴，并使, 连接，，则即为原来的图形，如图②所示： . （2）由（1）知，原图形中，于点，则为原图形中边上的高，且， 在直观图中作于点， 则的面积， 在直角三角形中，，所以， 所以. 故原图形中边上的高为，原图形的面积为. 44 / 62 学科网（北京）股份有限公司 $$