精品解析：江苏省南京市、镇江市、徐州市联盟校2024-2025学年高一下学期3月学情调研数学试题

2024级高一下学期3月学期检测试卷 数学 2025.3 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1. 已知，是夹角为的两个单位向量，则（ ） A. 1 B. C. D. 2. 已知，则（　　） A. B. C. D. 3. 要得到函数的图象，只需将的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 4. 已知，，其中，的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5 已知，则（ ） A B. C. D. 6. 设扇形周长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中有一种几何图形与正六边形相关.假设正六边形代表六种不同的卦象元素，边长为20，点是正六边形边内部（包括边界）上的动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 100 8. 已知角，且，当取得最大值时，角（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）. 9. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 直线是图象的一条对称轴 D. 能使得 11. 如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标.若在坐标系中，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 当时， C. D. 当时，与的夹角为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 与向量平行的单位向量的坐标为________． 13. 已知，是方程的两根，则__________． 14. 已知角，满足，，且，.则________；________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知为第一象限的角，终边经过点，且. （1）求的值； （2）求的值. 16. 已知向量，，. （1）当，求x，y； （2），且，求向量与的夹角. 17. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及单调增区间； （2）若，且，求的值. （3）在中，若，求的取值范围. 18. 某养殖公司有一处正方形养殖池，边长100米. （1）如图1，P，Q分别在，上，且，求证：. （2）如图2，为了便于冬天给养殖池内的水加温，考虑到整体规划，要求是边的中点，点在边上，点在边上，且，该公司计划在养殖池内铺设两条加温带和，并安装智能照明装置，经核算，在两条加温带增加智能照明装置的费用均为每米400元. 问：①设，求的取值范围； ②如何设计才能使安装智能照明装置费用最低?说明理由，并求出最低费用.（参考数值：，） 19. 定义函数的“积向量”为，向量的“积函数”为. （1）若，，求最大值及对应的取值集合； （2）若向量的“积函数”满足，求的值； （3）已知，，设，且的“积函数”为，其最大值为，求的最小值，并判断此时，的关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024级高一下学期3月学期检测试卷 数学 2025.3 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1. 已知，是夹角为的两个单位向量，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数量积的定义计算可得. 【详解】因为，是夹角为的两个单位向量， 所以. 故选：C 2. 已知，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正切的二倍角公式展开后，代入tana值即可求出. 【详解】， 故选B. 【点睛】本题考查正切函数二倍角公式的运用，属于基础题. 3. 要得到函数的图象，只需将的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数的图象变换关系求解. 【详解】, 所以要得到函数的图象， 只需将的图象向右平移个单位， 故选:D. 4. 已知，，其中，的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用投影向量的定义求解. 【详解】因为，，其中，的夹角为， 所以在上的投影向量为， 故选：D 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的诱导公式和二倍角公式即可求解. 【详解】. 故选：. 6. 设扇形的周长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据扇形的周长为，面积为，得到，解得l，r，代入公式求解. 【详解】因为扇形的周长为，面积为， 所以， 解得 ， 所以， 所以扇形的圆心角的弧度数是2 故选：B 7. 《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中有一种几何图形与正六边形相关.假设正六边形代表六种不同的卦象元素，边长为20，点是正六边形边内部（包括边界）上的动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 100 【答案】C 【解析】 【分析】设与的夹角为，由向量数量积的定义可得当在方向上的投影最小时即可求解. 【详解】设与的夹角为，所以， 因为表示在方向上的投影， 当点与点重合时，最小， 此时，， 所以的最小值是. 故选：. 8. 已知角，且，当取得最大值时，角（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数的两角和公式将展开化简，得到关于的表达式，再根据均值不等式求出取得最大值时的值，进而求出. 【详解】已知，可得：，， 可得：，得：， 因为，所以，，等式两边同时除以和可得： ，上式可化：， 又因为，代入上式可得： ， 令，则，，代入可得： ， 因为，所以，则. 根据均值不等式对于有：， 当且仅当，即，时等号成立. 所以，即当时，取得最大值.  因为，且，所以.  当取得最大值时，角. 故选：D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）. 9. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】利用二倍角公式判断A、B，利用和差角公式判断C、D. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D正确. 故选：CD 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 直线是图象的一条对称轴 D. 能使得 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数的图象，先求得的解析式，然后逐项判断. 【详解】由，得，则， 因为函数的图象过点，所以， 则，又，则，故A错误； 又函数的图象过点，则，解得，故B正确； 所以，而， 所以直线是图象的一条对称轴，故C正确； 由，得， 因为函数最小正周期为， 所以在上的值域，与在上的值域相同， 则，故D正确； 故选：BCD. 11. 如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标.若在坐标系中，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 当时， C. D. 当时，与的夹角为 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先求出，再根据所给定义及数量积的运算律、夹角公式计算可得. 【详解】依题意， 对于A：因为，所以， 所以 ，故A正确； 对于B：当时，则， 所以 ， 所以与不垂直，故B错误； 对于C：， 所以 ， 所以当时取得最小值，且，故C正确； 对于D：由C可知， 当时，， 所以， 设与的夹角为，则， 又，所以，所以与的夹角为，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 与向量平行的单位向量的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】设单位向量坐标为，根据向量共线公式及求模公式，化简计算，即可得答案. 【详解】设与向量平行的单位向量的坐标为， 由题意得，解得或， 故答案为： 13. 已知，是方程的两根，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】将所求式利用两角和的正弦与两角差的余弦公式展开，然后根据商数关系弦化切，最后结合韦达定理即可求解. 【详解】解：因为，是方程的两根， 所以， 所以， 故答案为：. 14. 已知角，满足，，且，.则________；________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由题意，利用两角差的正弦公式求，先求得，再根据的范围求解. 【详解】因为角，满足，，且，. 所以，， 所以， ， 因为，所以， 则， 所以， ， 因为，且， 所以，则， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知为第一象限的角，终边经过点，且. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的定义求解； （2）由（1）得到，代入求解. 【小问1详解】 因为为第一象限的角，终边经过点，且， 所以，解得， 【小问2详解】 由（1）知：， 所以， . 16. 已知向量，，. （1）当，求x，y； （2），且，求向量与的夹角. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量相等构造方程求得； （2）先利用平面向量共线的坐标表示求解向量，再利用向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 依题意， 即，解得 所以. 【小问2详解】 由向量，，，所以 由，得，解得， 所以， 所以， 所以，又，所以. 17. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及单调增区间； （2）若，且，求的值. （3）在中，若，求的取值范围. 【答案】（1）最小正周期为；单调增区间 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式、正弦的二倍角公式以及辅助角公式化简，再由正弦函数的性质即可求解； （2）由已知可得，根据的范围和同角三角函数的基本关系可得，由两角差的正弦函数求解即可； （3）由可得，根据三角恒等变换结合三角函数性质求解即可. 【小问1详解】 ， 最小正周期， 令，， 所以，， 所以函数的单调递增区间为； 小问2详解】 ， 因为，所以， 所以 所以 ； 【小问3详解】 因为，所以， 因为，所以， ， 因为，所以，所以， 所以的取值范围为. 18. 某养殖公司有一处正方形养殖池，边长为100米. （1）如图1，P，Q分别在，上，且，求证：. （2）如图2，为了便于冬天给养殖池内的水加温，考虑到整体规划，要求是边的中点，点在边上，点在边上，且，该公司计划在养殖池内铺设两条加温带和，并安装智能照明装置，经核算，在两条加温带增加智能照明装置的费用均为每米400元. 问：①设，求的取值范围； ②如何设计才能使安装智能照明装置的费用最低?说明理由，并求出最低费用.（参考数值：，） 【答案】（1）证明见解析 （2）①；②当米时，安装智能照明装置的费用最低，最低费用为元，理由见解析 【解析】 【分析】（1）延长到，使，连接，根据三角形的边角关系即可证明； （2）①由已知当点与点重合时，最小，当点与点重合时，最大，即可求解；②先表示出，然后通过三角换元，令，由此可得关于的函数，利用函数单调性求解出的最小值，则结果可知. 【小问1详解】 延长到，使，连接， 因为为正方形，所以，， 所以与全等，所以，， 因为，所以，即， 所以与全等，所以， 所以， 所以，又， 所以； 【小问2详解】 ①因为，所以， 当点与点重合时，最小，，所以， ， 当点与点重合时，最大，，所以， 所以的取值范围为； ②设，由①知， ，， ， 设， 因为，所以， 又， 所以， 因为在上单调递增， 所以当时，最小，此时，即， 所以的最小值为， 因为在两条加温带增加智能照明装置的费用均为每米400元， 所以当米时，安装智能照明装置的费用最低，最低费用为元. 19. 定义函数的“积向量”为，向量的“积函数”为. （1）若，，求最大值及对应的取值集合； （2）若向量的“积函数”满足，求的值； （3）已知，，设，且的“积函数”为，其最大值为，求的最小值，并判断此时，的关系. 【答案】（1）最大值为，的取值集合为 （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）由已知可得，根据三角函数的性质求解即可； （2）令，有已知根据三角恒等变换求解即可； （3）由已知可得，根据三角函数的有界性可得最大值和与的关系，将代入根据二次函数的性质即可求解. 【小问1详解】 若，，则， 当时，即，，函数有最大值， 函数的最大值为，对应的取值集合为； 【小问2详解】 ， 令，所以， 所以，， 即，，所以； 【小问3详解】 因为，， 所以 ， 所以 ， 此时存在满足，，， 当且仅当时等号成立， 所以， 即，， 所以成立， 且， 则， ， 当时有最小值， 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$