专题12 相交线与平行线之“拐弯模型”2024-2025学年人教版数学七年级下册

相交线与平行线 专题12 相交线与平行线之“拐弯模型” 一、“骨折”模型 如图，已知AE∥CF，求∠E、∠F、∠P之间的数量关系． 二、模型证明 已知：如图，AB∥CD，求证：∠BED=∠D-∠B。 证明：过点E作EF∥AB，则∠FEB=∠B（两直线平行，内错角相等）。 ∵AB∥CD（已知）， 又∵EF∥AB（已作）， ∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。 ∴∠FED=∠D（两直线平行，内错角相等）。 ∵∠BED=∠FED-∠FEB， ∴∠BED=∠D-∠B（等量代换）。 结论：∠B+∠E=∠D 三、“鸟嘴”模型 四、模型证明 证法1（添角）：过点P作PQ∥AB，则AB∥CD∥PQ ∴∠2+∠3+∠4=180°，∠1+∠4=180°∴∠1=∠2+∠3. 证法2：延长AB交PD于Q，则∠2=∠4，∠1+∠5=180°，∠5+∠3+∠4=180° ∴∠1=∠3+∠4=∠2+∠3. 步骤总结 步骤一：过拐点作平行线 步骤二：借助平行线的性质找相等或互补的角 步骤三：推导出角的数量关系 【典型例题】 例题1．（1）已知：如图（a），直线．求证：； （2）如图（b），如果点C在AB与ED之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么新的猜想？ 例题2. 如图，已知直线l1//l2，l3、和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P在直线l3或上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3． （1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2； （2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系； （3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明； （4）若点P在线段DC延长线上运动时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系． 例题3．如图1，ADBC，的平分线交BC于点G，． （1）求证：；（2）如图2，若，的平分线交于点E，交射线GA于点F，的度数． 例题4问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含角的直角三角尺”为主题开展数学活动． 操作发现：（1）如图1，小明把三角尺的角的顶点G放在CD上，若，求的度数； （2）如图2，小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明与之间的数量关系； 结论应用：（3）如图3，小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，角的顶点E落在AB上．若，求的度数用含的式子表示． 图1 图2 图3 例题5．（1）如图（1）AB∥CD，猜想∠BPD与∠B、∠D的关系，说出理由． （2）观察图（2），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，并说明理由． （3）观察图（3）和（4），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，不需要说明理由． 【巩固练习】 一、单选题 1．如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于() A．30° B．40° C．60° D．70° 2．如图，直线a∥b，若∠1＝24°，∠A＝46°，则∠2等于（　　） A．46° B．70° C．40° D．30° 3．如图，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．如图，直线ab，直角三角形如图放置，∠DCB=90°，若∠1+∠B=70°，则∠2的度数为(        ) A．20° B．40° C．30° D．25° 5．如图是郝老师的某次行车路线，总共拐了三次弯，最后行车路线与开始的路线是平行的，已知第一次转过的角度，第三次转过的角度，则第二次转过的角度是（ ） A． B． C． D．无法确定 6．已知，如图，AB∥CD，则图中α、β、γ三个角之间的数量关系为（        ） A．α-β＋γ=180° B．α＋β－γ=180° C．α＋β＋γ=360° D．α－β－γ=90° 7．如图，已知ABDE，∠ABC=70°，∠CDE=140°，则∠BCD的值为（　　） A．20° B．30° C．40° D．70° 8．如图，一块直角三角板的60度的顶点A与直角顶点C分别在平行线上，斜边AB平分，交直线GH于点E，则的大小为(     ) A． B． C． D． 9．如图，直线AB∥EF，点C是直线AB上一点，点D是直线AB外一点，若∠BCD=95°，∠CDE=25°，则∠DEF的度数是（　　） A．110° B．115° C．120° D．125° 10．如图，AB∥CD，∠ABK的角平分线BE的反向延长线和∠DCK的角平分线CF的反向延长线交于点H，∠K﹣∠H=27°，则∠K=（　　） A．76° B．78° C．80° D．82° 二、填空题 11．如图，AB∥CD，∠ABE=160°，∠D=120°，则∠E=_________ 12．如图，直线MA∥NB，∠A=70°，∠B=40°，则∠P=___________度． 13．如图，AB∥CD，∠C=35°，∠E=25°，则∠A=_______°． 14．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝75°，∠CDE＝150°，则∠BCD的度数为_____． 三、解答题 15．（1）已知：如图（a），直线．求证：； （2）如图（b），如果点C在AB与ED之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么新的猜想？ 16．（1）如图（1）AB∥CD，猜想∠BPD与∠B、∠D的关系，说出理由． （2）观察图（2），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，并说明理由． （3）观察图（3）和（4），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，不需要说明理由． 17．丁丁学习七年级下册数学后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下． （1）如图1，已知ABCD，点E在两平行线的内侧，连接AE，CE．若∠EAB＝35°，∠ECD＝25°，求∠AEC的度数；（提示：过点E作AB的平行线） （2）如图2，已知ABCD，点E在两平行线的外侧，连接AE，CE．若∠EAB＝α，∠ECD＝β． ①求∠AEC的大小（用含α，β的代数式表示）； ②作∠ECD的平分线交AB于点G，连接GE，AG平分于∠CGE（如图3）．若∠AEG＝130°，α+β＝80°，分别求出α，β的度数． 18．已知 AB// CD，AM 平分∠BAP. （1）如图①若 CM平分∠PCD，∠P=110°，直接写出∠M=　 　度; （2）如图②（点P，M在直线AC 异侧），CM平分∠PCD，写出∠P与∠M的数量关系，并说明理由; （3）如图③，已知∠PCM=2∠MCD，若2∠M-∠P=10°，求∠PCD的度数（直接写出结果）. 参考答案 例1．（1）已知：如图（a），直线．求证：； （2）如图（b），如果点C在AB与ED之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么新的猜想？ 【答案】（1）见解析；（2）当点C在AB与ED之外时，，见解析 【分析】（1）由题意首先过点C作CF∥AB，由直线AB∥ED，可得AB∥CF∥DE，然后由两直线平行，内错角相等，即可证得∠ABC+∠CDE=∠BCD； （2）根据题意首先由两直线平行，内错角相等，可得∠ABC=∠BFD，然后根据三角形外角的性质即可证得∠ABC-∠CDE=∠BCD． 【详解】解：（1）证明：过点C 作CF∥AB， ∵AB∥ED， ∴AB∥ED∥CF， ∴∠BCF=∠ABC，∠DCF=∠EDC， ∴∠ABC+∠CDE=∠BCD； （2）结论：∠ABC-∠CDE=∠BCD， 证明：如图： ∵AB∥ED， ∴∠ABC=∠BFD， 在△DFC中，∠BFD=∠BCD+∠CDE， ∴∠ABC=∠BCD+∠CDE， ∴∠ABC-∠CDE=∠BCD． 若点C在直线AB与DE之间，猜想, ∵AB∥ED∥CF， ∴ ∴. 【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键，注意掌握辅助线的作法． 例2. 如图，已知直线l1//l2，l3、和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P在直线l3或上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3． （1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2； （2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系； （3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明； （4）若点P在线段DC延长线上运动时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系． 【答案】（1）见详解；（2）∠3＝∠2﹣∠1；（3）∠3＝360°﹣∠1﹣∠2；（4）∠3＝360°﹣∠1﹣∠2． 【解析】（1）证明：过P作PQ∥l1，则PQ∥l1∥l2，∴∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF ∵∠EPF＝∠QPE+∠QPF，∴∠EPF＝∠1+∠2． （2）∠3＝∠2﹣∠1；过P作PQ∥l1，则PQ∥l1∥l2，则：∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF ∵∠EPF＝∠QPF﹣∠QPE，∴∠EPF＝∠2﹣∠1． （3）∠3＝360°﹣∠1﹣∠2．过P作PQ∥l1，则PQ∥l1∥l2，∴∠EPQ+∠1＝180°，∠FPQ+∠2＝180°， ∵∠EPF＝∠EPQ+∠FPQ；∴∠EPQ +∠FPQ +∠1+∠2＝360°，即∠EPF＝360°﹣∠1﹣∠2； （4）点P在线段DC延长线上运动时，∠3＝∠1﹣∠2． 过P作PQ∥l1，则PQ∥l1∥l2，∴∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF； ∵∠QPE﹣∠QPF=∠EPF；∴∠3＝∠1﹣∠2． 例3．如图1，ADBC，的平分线交BC于点G，． （1）求证：；（2）如图2，若，的平分线交于点E，交射线GA于点F，的度数． 【答案】（1）见解析；（2）20°. 【解析】解：（1）∵DA∥BC ∴∠DAG=∠AGB ∵AC平分∠BAD∴∠BAG=∠DAG∴∠BAG=∠AGB. （2）∵∠ABC=50°∴∠BGA=∠BAG=65°，∴∠AGC=115° ∵CE平分∠DCB∴∠ECB=45°，∴∠AFC=180°－∠AGC－∠ECB=20°. 例4．问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含角的直角三角尺”为主题开展数学活动． 操作发现：（1）如图1，小明把三角尺的角的顶点G放在CD上，若，求的度数； （2）如图2，小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明与之间的数量关系； 结论应用：（3）如图3，小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，角的顶点E落在AB上．若，求的度数用含的式子表示． 图1 图2 图3 【答案】（1）40°；（2）∠AEF+∠FGC=90°；（3）∠CFG=60°－α. 【解析】解：（1）∵AB∥CD，∴∠1=∠EGD．又∵∠2=2∠1，∴∠2=2∠EGD． 又∵∠FGE=60°，∴∠EGD=（180°﹣60°）=40°，∴∠1=40°； （2）∵AB∥CD，∴∠AEG+∠CGE=180°，即∠AEF+∠FEG+∠EGF+∠FGC=180°． 又∵∠FEG+∠EGF=90°，∴∠AEF+∠FGC=90°； （3）∵AB∥CD，∴∠AEF+∠CFE=180°，即∠AEG+∠FEG+∠EFG+∠GFC=180°． 又∵∠GFE=90°，∠GEF=30°，∠AEG=α，∴∠GFC=180°﹣90°﹣30°﹣α=60°﹣α． 例5.（1）如图（1）AB∥CD，猜想∠BPD与∠B、∠D的关系，说出理由． （2）观察图（2），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，并说明理由． （3）观察图（3）和（4），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，不需要说明理由． 【答案】（1）∠B+∠BPD+∠D=360°，理由见解析；（2）∠BPD=∠B+∠D，理由见解析；（3）∠BPD=∠D-∠B或∠BPD=∠B-∠D，理由见解析 【分析】（1）过点P作EF∥AB，根据两直线平行，同旁内角互补即可求解； （2）首先过点P作PE∥AB，由AB∥CD，可得PE∥AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等，即可得∠1=∠B，∠2=∠D，则可求得∠BPD=∠B+∠D． （3）由AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等与三角形外角的性质，即可求得∠BPD与∠B、∠D的关系． 【详解】解：（1）如图（1）过点P作EF∥AB， ∴∠B+∠BPE=180°， ∵AB∥CD，EF∥AB， ∴EF∥CD， ∴∠EPD+∠D=180°， ∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D=360°， ∴∠B+∠BPD+∠D=360°． （2）∠BPD=∠B+∠D． 理由：如图2，过点P作PE∥AB， ∵AB∥CD， ∴PE∥AB∥CD， ∴∠1=∠B，∠2=∠D， ∴∠BPD=∠1+∠2=∠B+∠D． （3）如图（3），∠BPD=∠D-∠B． 理由：∵AB∥CD， ∴∠1=∠D， ∵∠1=∠B+∠BPD， ∴∠D=∠B+∠BPD， 即∠BPD=∠D-∠B； 如图（4），∠BPD=∠B-∠D． 理由：∵AB∥CD， ∴∠1=∠B， ∵∠1=∠D+∠BPD， ∴∠B=∠D+∠BPD， 即∠BPD=∠B-∠D． 【点睛】此题考查了平行线的性质与三角形外角的性质．此题难度不大，解题的关键是注意掌握平行线的性质，注意辅助线的作法． 巩固练习参考答案 1．如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于() A．30° B．40° C．60° D．70° 【答案】A 【详解】 ∵AB∥CD，∠A=70°， ∴∠1=∠A=70°， ∵∠1=∠C+∠E，∠C=40°， ∴∠E=∠1﹣∠C=70°﹣40°=30°． 故选A． 2．如图，直线a∥b，若∠1＝24°，∠A＝46°，则∠2等于（　　） A．46° B．70° C．40° D．30° 【答案】B 【详解】 如图， ∵∠1＝24°， ∴∠ADB＝∠1＝24°． ∵∠3是△ABD的外角， ∴∠3＝∠A+∠ADB＝46°+24°＝70°． ∵直线a∥b，∠3＝70°， ∴∠2＝∠3＝70°． 故选B． 【名师点拨】 本题考查对顶角的性质、三角形外角的性质、平行线的性质，证法不唯一，属于基础题，难度较小，需要熟练掌握基本知识． 3．如图，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 解：， ， ， ， 故选B． 【名师点拨】 本题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答． 4．如图，直线ab，直角三角形如图放置，∠DCB=90°，若∠1+∠B=70°，则∠2的度数为(        ) A．20° B．40° C．30° D．25° 【答案】A 【详解】 解∶如图， 由三角形的外角性质，∠3=∠1+∠B=70°， ∵ab，∠DCB=90°， ∴∠2=180°﹣∠3﹣90°=180°﹣70°﹣90°=20°． 故选∶A． 【名师点拨】 本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 5．如图是郝老师的某次行车路线，总共拐了三次弯，最后行车路线与开始的路线是平行的，已知第一次转过的角度，第三次转过的角度，则第二次转过的角度是（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】 如图，延长ED交BC于F． ∵DE∥AB， ∴∠DFB=∠ABF=120°， ∴∠CFD=60°． ∵∠CDE=∠C+∠CFD， ∴∠C=∠CDE-∠CFD=135°－60°=75°． 故选A． 【名师点拨】 本题考查了平行线的性质及三角形外角的性质．解题的关键是理解题意，灵活应用平行线的性质解决问题，属于中考常考题型． 6．已知，如图，AB∥CD，则图中α、β、γ三个角之间的数量关系为（        ） A．α-β＋γ=180° B．α＋β－γ=180° C．α＋β＋γ=360° D．α－β－γ=90° 【答案】B 【详解】 如图，延长CD交AE于点F ∵AB∥CD ∴β=∠AFD ∵∠FDE+α=180° ∴∠FDE=180°-α ∵γ+∠FDE=∠ADF ∴γ+180°-α=β ∴α＋β－γ=180° 故选B 【名师点拨】 本题考查平行线的性质以及三角形外角定理的应用，熟练掌握相关性质定理是解题关键. 7．如图，已知ABDE，∠ABC=70°，∠CDE=140°，则∠BCD的值为（　　） A．20° B．30° C．40° D．70° 【答案】B 【详解】 延长ED交BC于F， ∵ABDE，∠ABC=70°， ∴∠MFC=∠B=70°， ∵∠CDE=140°， ∴∠FDC=180°﹣140°=40°， ∴∠C=∠MFC﹣∠MDC=70°﹣40°=30°， 故选：B． 【名师点拨】 此题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和三角形外角的性质． 8．如图，一块直角三角板的60度的顶点A与直角顶点C分别在平行线上，斜边AB平分，交直线GH于点E，则的大小为(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 ∵AB平分，∠CAB=60， ∴∠DAE=60， ∵FD∥GH， ∴∠ACE+∠CAD=180， ∴∠ACE=180-∠CAB-∠DAE=60， ∵∠ACB=90， ∴∠ECB=90-∠ACE=30， 故选：C． 【名师点拨】 本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补． 9．如图，直线AB∥EF，点C是直线AB上一点，点D是直线AB外一点，若∠BCD=95°，∠CDE=25°，则∠DEF的度数是（　　） A．110° B．115° C．120° D．125° 【答案】C 【详解】 详解：延长FE交DC于点N， ∵直线AB∥EF， ∴∠DNF=∠BCD =95°， ∵∠CDE=25°， ∴∠DEF=95°+25°=120°． 故选C． 名师点拨：此题主要考查了平行线的性质以及三角形的外角，正确掌握平行线的性质是解题关键． 10．如图，AB∥CD，∠ABK的角平分线BE的反向延长线和∠DCK的角平分线CF的反向延长线交于点H，∠K﹣∠H=27°，则∠K=（　　） A．76° B．78° C．80° D．82° 【答案】B 【详解】 如图，分别过K、H作AB的平行线MN和RS， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥RS∥MN， ∴∠RHB=∠ABE=∠ABK，∠SHC=∠DCF=∠DCK，∠NKB+∠ABK=∠MKC+∠DCK=180°， ∴∠BHC=180°﹣∠RHB﹣∠SHC=180°﹣（∠ABK+∠DCK）， ∠BKC=180°﹣∠NKB﹣∠MKC=180°﹣（180°﹣∠ABK）﹣（180°﹣∠DCK）=∠ABK+∠DCK﹣180°， ∴∠BKC=360°﹣2∠BHC﹣180°=180°﹣2∠BHC， 又∠BKC﹣∠BHC=27°， ∴∠BHC=∠BKC﹣27°， ∴∠BKC=180°﹣2（∠BKC﹣27°）， ∴∠BKC=78°， 故选B． 二、填空题 11．如图，AB∥CD，∠ABE=160°，∠D=120°，则∠E=_________ 【答案】40° 【详解】 解：延长AB交DE于F， ∵AB∥CD，∠D=120°， ∴∠EFB=∠D=120°， ∵∠ABE=160°， ∴∠E=∠ABE-∠EFB=40°． 故答案为40°． 【名师点拨】 本题考查平行线的性质、三角形的外角性质；熟练掌握平行线的性质，并能进行推理计算是解题关键． 12．如图，直线MA∥NB，∠A=70°，∠B=40°，则∠P=___________度． 【答案】30 【详解】 解：根据平行线的性质，得∠A的同位角是70°，再根据三角形的外角的性质，得∠P＝70°−40°＝30°． 故答案为30． 【名师点拨】 本题考查了平行线的性质以及三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，可以牢记此题中的结论：∠P＝∠A−∠B． 13．如图，AB∥CD，∠C=35°，∠E=25°，则∠A=_______°． 【答案】60 【详解】 解：∠EOD=∠E+∠C=60°， ∵AB∥CD， ∴∠A=∠EOD=60°． 故答案为60． 【名师点拨】 本题考查的是三角形外角性质以及平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．在解答时，要结合图形，正确运用平行线的性质． 14．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝75°，∠CDE＝150°，则∠BCD的度数为_____． 【答案】45°##45度 【详解】 解：反向延长DE交BC于M，如图， ∵AB∥DE， ∴∠BMD＝∠ABC＝75°， ∴∠CMD＝180°﹣∠BMD＝105°； 又∵∠CDE＝∠CMD+∠BCD， ∴∠BCD＝∠CDE﹣∠CMD＝150°﹣105°＝45°． 故答案为：45°． 【名师点拨】 本题考查了平行线的性质和三角形的外角定理，属于基本题型，熟练掌握上述基础知识是解题的关键． 三、解答题 15．（1）已知：如图（a），直线．求证：； （2）如图（b），如果点C在AB与ED之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么新的猜想？ 【答案】（1）见解析；（2）当点C在AB与ED之外时，，见解析 【详解】 解：（1）证明：过点C 作CF∥AB， ∵AB∥ED， ∴AB∥ED∥CF， ∴∠BCF=∠ABC，∠DCF=∠EDC， ∴∠ABC+∠CDE=∠BCD； （2）结论：∠ABC-∠CDE=∠BCD， 证明：如图： ∵AB∥ED， ∴∠ABC=∠BFD， 在△DFC中，∠BFD=∠BCD+∠CDE， ∴∠ABC=∠BCD+∠CDE， ∴∠ABC-∠CDE=∠BCD． 若点C在直线AB与DE之间，猜想, ∵AB∥ED∥CF， ∴ ∴. 【名师点拨】 本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键，注意掌握辅助线的作法． 16．（1）如图（1）AB∥CD，猜想∠BPD与∠B、∠D的关系，说出理由． （2）观察图（2），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，并说明理由． （3）观察图（3）和（4），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，不需要说明理由． 【答案】（1）∠B+∠BPD+∠D=360°，理由见解析；（2）∠BPD=∠B+∠D，理由见解析；（3）∠BPD=∠D-∠B或∠BPD=∠B-∠D，理由见解析 【详解】 解：（1）如图（1）过点P作EF∥AB， ∴∠B+∠BPE=180°， ∵AB∥CD，EF∥AB， ∴EF∥CD， ∴∠EPD+∠D=180°， ∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D=360°， ∴∠B+∠BPD+∠D=360°． （2）∠BPD=∠B+∠D． 理由：如图2，过点P作PE∥AB， ∵AB∥CD， ∴PE∥AB∥CD， ∴∠1=∠B，∠2=∠D， ∴∠BPD=∠1+∠2=∠B+∠D． （3）如图（3），∠BPD=∠D-∠B． 理由：∵AB∥CD， ∴∠1=∠D， ∵∠1=∠B+∠BPD， ∴∠D=∠B+∠BPD， 即∠BPD=∠D-∠B； 如图（4），∠BPD=∠B-∠D． 理由：∵AB∥CD， ∴∠1=∠B， ∵∠1=∠D+∠BPD， ∴∠B=∠D+∠BPD， 即∠BPD=∠B-∠D． 【名师点拨】 此题考查了平行线的性质与三角形外角的性质．此题难度不大，解题的关键是注意掌握平行线的性质，注意辅助线的作法． 17．丁丁学习七年级下册数学后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下． （1）如图1，已知ABCD，点E在两平行线的内侧，连接AE，CE．若∠EAB＝35°，∠ECD＝25°，求∠AEC的度数；（提示：过点E作AB的平行线） （2）如图2，已知ABCD，点E在两平行线的外侧，连接AE，CE．若∠EAB＝α，∠ECD＝β． ①求∠AEC的大小（用含α，β的代数式表示）； ②作∠ECD的平分线交AB于点G，连接GE，AG平分于∠CGE（如图3）．若∠AEG＝130°，α+β＝80°，分别求出α，β的度数． 【答案】（1）解：如图1，过点E作MN∥AB． ∵AB∥MN， ∴∠AEM＝∠EAB＝35°． ∵AB∥CD，AB∥MN， ∴MN∥CD． ∴∠MEC＝∠ECD＝25°． ∴∠AEC＝∠AEM+∠MEC＝35°+25°＝60° （2）解：①如图2， ∵AB∥CD， ∴∠EFB＝∠ECD＝β． 又∵∠EFB＝∠EAB+∠AEC， ∴∠AEC＝∠EFB﹣∠EAB＝β﹣α． ②如图3， ∵AB∥CD， ∴∠1＝∠2． 又∵CG平分∠ECD， ∴∠EAB＝∠1＝ ． ∴∠EAB＝∠2． ∵AG平分于∠CGE， ∴∠2＝∠3． ∴∠3＝∠EAB＝ ． ∵∠AEG＝130°， ∴∠EAB+∠3＝180°﹣∠AEG＝50°． ∴2∠EAB＝50°． ∴∠EAB＝α＝25°． 又∵α+β＝80°， ∴β＝55°． 【解析】（1）过点E作MN∥AB，利用平行线的性质求解即可； （2）①利用平行线的性质求解即可；②利用平行线的性质及角平分线的定义计算即可。 18．已知 AB// CD，AM 平分∠BAP. （1）如图①若 CM平分∠PCD，∠P=110°，直接写出∠M=　 　度; （2）如图②（点P，M在直线AC 异侧），CM平分∠PCD，写出∠P与∠M的数量关系，并说明理由; （3）如图③，已知∠PCM=2∠MCD，若2∠M-∠P=10°，求∠PCD的度数（直接写出结果）. 【答案】（1）55 （2）解：∠P与∠AMC的数量关系为：∠P+2∠AMC=360°. 过P作PQ∥AB于Q，MN∥AB于N， ∴AB∥PQ∥MN∥CD， ∴∠APQ＝180°−∠BAP，∠CPQ＝180°−∠DCP，∠AMN＝∠BAM，∠CMN＝∠DCM， ∵AM平分∠BAP，CM平分∠PCD， ∴∠BAP＝2∠BAM，∠DCP＝2∠DCM， ∴∠APC＝∠APQ＋∠CPQ＝180°−∠BAP＋180°−∠DCP ＝360°−2（∠BAM＋∠DCM）＝360°−2（∠BAM＋∠DCM） ＝360°−2∠AMC. ∴∠P+2∠AMC=360°. （3）∠PCD=30° 【解析】【解答】解：（1）过点P作PE∥AB，过点M作MG∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥MG∥PE， ∴∠BAP=∠APE，∠PCD=∠CPE ∵∠APC=∠APE+∠CPE=110° ∴∠BAP+∠DCP=110°， ∵AM 平分∠BAP， CM平分∠PCD， ∴∠BAP=2∠BAM，∠DCP=2∠DCM ∴2∠BAM+2∠DCM=110° ∴∠BAM+∠DCM=55° ∵AB∥CD∥MG ∴∠AMG=∠BAM，∠CMG=∠DCM ∴∠AMC=∠AMG+∠CMG=∠BAM+∠DCM=55°. 故答案为：55. （3）如图3，过P作PQ∥AB于Q，MN∥AB于N， 易证AB∥PQ∥MN∥CD， 设∠MCD＝x，则∠PCM＝2x，∠PCD＝3x， 设∠PAM＝y，则∠MAB＝y，则∠PAB＝2y， ∵AB∥PQ， ∴∠QPA＝∠PAB＝2y，∠NMA＝∠MAB＝y， ∴∠QPA＝∠CPQ＋∠CPA＝∠PCD＋∠CPA＝3x＋∠CPA ①，∠NMA＝∠NMC＋∠AMC＝∠MCD＋∠AMC＝x＋∠AMC ②， ∵2∠AMC−∠APC＝10°，2∠AMC＝2（∠NMA−∠NMC）＝2（y−x），∠APC＝∠APQ−∠CPQ＝2y−3x， ∴2（y−x）−（2y−3x）＝10°， ∴x＝10°， ∴∠PCD＝3x＝30°． （1）过点P作PE∥AB，过点M作MG∥AB，利用平行线的推论可得到AB∥CD∥MG∥PE，利用平行线的性质可证得∠BAP=∠APE，∠PCD=∠CPE 由此可推出∠BAP+∠DCP=110°；再利用角平分线对的定义可证得∠BAP=2∠BAM，∠DCP=2∠DCM，继而可得到∠BAM+∠DCM=55°；然后利用平行线的性质可求出∠AMC的度数. （2）过P作PQ∥AB于Q，MN∥AB于N，利用平行线的性质可证得∠APQ＝180°−∠BAP，∠CPQ＝180°−∠DCP，∠AMN＝∠BAM，∠CMN＝∠DCM，利用角平分线的定义可得到∠BAP＝2∠BAM，∠DCP＝2∠DCM；再证明∠APC＝360°−2∠AMC，然后可得到∠P与∠AMC的数量关系. （3）过P作PQ∥AB于Q，MN∥AB于N，易证易证AB∥PQ∥MN∥CD，设∠MCD＝x，则∠PCM＝2x，∠PCD＝3x，设∠PAM＝y，则∠MAB＝y，则∠PAB＝2y，利用平行线的性质可证得∠QPA＝∠PAB＝2y，∠NMA＝∠MAB＝y再证明∠QPA＝3x＋∠CPA，∠NMA＝x＋∠AMC；由此可证得∠APC＝∠APQ−∠CPQ＝2y−3x，利用已知条件建立关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到∠PCD的度数. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$