专题11 相交线与平行线之“猪蹄模型” 2024-2025学年人教版数学七年级下册

相交线与平行线 专题11 相交线与平行线之“猪蹄模型” 一、“猪蹄”模型 猪蹄模型的基本特征：一组平行线，中间有一个点，分别与平行线上的点构成“猪蹄”。 如图，已知AB∥CD，求∠E、∠B、∠D之间的数量关系． 二、模型证明 思路1：过拐点作平行线过点E作EF∥AB，∴∠B=∠BEF，又∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠D=∠DEF，∴∠E=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D．∴∠E=∠B+∠D． 思路2：延长BE交CD于点F∵AB∥CD，∴∠B=∠BFD，∴∠D+∠BFD=∠BED，∴∠B+∠D=∠E． 小结 证明的方法还有很多，同学们可以多多尝试。重点在于构造平行线的三线八角，就可以得到经典结论：猪蹄模型顶点在同一侧的角之和等于顶点在另一侧的角之和。 猪蹄模型（又名燕尾模型、M字模型） 结论：∠B+∠D=∠E 步骤总结 步骤一：过猪蹄（拐点）作平行线 步骤二：借助平行线的性质找相等或互补的角 步骤三：推导出角的数量关系 三、“锯齿”模型 如图所示，AB∥EF，则∠B＋∠D=∠C十∠E 朝向左边的角的和=朝向右边的角的和 【证明】如图，过点C作MN//AB，过点D作PQ//AB. ∵AB//EF, ∴AB//MN// PQ//EF. ∴∠B=∠BCN,∠CDP=∠DCN,∠PDE=∠E, ∴∠B＋∠CDP＋∠PDE=∠BCN+∠DCN+∠E， ∴B+∠CDE=∠BCD＋∠E，得证. 锯齿模型的变换解题思路 拆分成猪蹄模型和内错角 拆分成2个猪蹄模型 典型例题 例1．如图，已知，则的度数是（     ） A． B． C． D． 例2．太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从点O照射到抛物线上的光线，反射后沿着与平行的方向射出，已知图中，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 例3．如图所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，应为（    ） A． B． C． D． 例4．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上的点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．请利用所学知识解决问题： （1）探究证明：如图1，试探究∠MGN与∠AMG、∠CNG之间有什么数量关系，并说明理由． （2）拓展应用：如图2，若∠AMG与∠CNG的平分线相交于点P，请直接写出∠MGN与∠MPN之间的数量关系． （3）迁移提升：如图3，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝30°，请直接写出∠MGN+∠MPN的度数． 例5．（1）如图1已知：∠B=25°，∠BED=80°，∠D=55°．探究AB与CD有怎样的位置关系.（2）如图2已知AB∥EF，试猜想∠B，∠F，∠BCF之间的关系，写出这种关系，并加以证明.（3）如图3已知AB∥CD，试猜想∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的关系，请直接写出这种关系，不用证明. 例6．【问题背景】：同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． 【问题探究】：（1）如图1，，为、之间一点，连接、，得到与、之间的数量关系，并说明理由； 【类比迁移】：（2）请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：如图2，直线，若，，，求的度数； 【灵活应用】：（3）如图3，直线，若，，则　　度． 【巩固练习】 一、选择题 1．如图，玲玲在美术课上用丝线绣成了一个“2”，AB∥DE，∠A=30°，∠ACE=110°，则∠E的度数为（　　） A．30° B．150° C．120° D．100° 2．如图，l1∥l2，将一副直角三角板作如下摆放，图中点A、B、C在同一直线上，则∠1的度数为（　　） A．100° B．120° C．75° D．150° 3．如图，已知ABDF，DE和AC分别平分∠CDF和∠BAE，若∠DEA＝46°，∠ACD＝56°，则∠CDF的度数为（　　） A．42° B．43° C．44° D．45° 4．如图，，，，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 5．将一副三角尺（厚度不计）如图摆放，使边与边互相平行，则图中的大小为（    ）    A． B． C． D． 6．如图，直线，，则（    ）    A． B． C． D． 7．如图，，，是的平分线，三点在一条直线上，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 8．如图，，点在上，，则下列结论正确的个数是（    ） （1）；（2）；（3）；（4）    A．个 B．个 C．个 D．个 9．如图，直线，用含的式子表示，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 10．如图，，平分交于点E，，，M，N分别是延长线上的点，和的平分线交于点F．下列结论： ①；②；③平分；④为定值； 其中结论正确的有（    ）    A．①④ B．①②④ C．①②③ D．①③④ 二、填空题 二、填空题 1．如图，如果AB∥EF，EF∥CD，则∠1，∠2，∠3的关系式__________． 2．如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝ 20°，则∠EAB的度数为__________． 3．如图，C岛在A岛的北偏东方向，在B岛的北偏西方向，则 ．    4．如图，，，，则的度数等于 ．    5．如图，，将直角三角尺的两个锐角顶点分别落在a、b上．若，则等于 °．    6．如图，已知：AB∥CD，∠1=50°，∠2=113°，则∠3= 度． 7．探照灯、汽车灯及其他很多灯具都与抛物线形状有关，如图是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于点的灯泡发出的两束光线，经灯碗反射以后平行射出．若，，则的度数为 ． 8．如图，直线a，b过等边三角形的顶点A和C，且，，则 ．    14．（2022下·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，直线，，则 ．    9．如图，已知，，记，则m的值为 ．    10．如图，，，平分，平分，则　　． 11．如图，直线，点在上，点在上，点在，之间，和的角平分线相交于点，的角平分线交的反向延长线于点，下列四个结论： ①； ②； ③若，则； ④． 其中正确的结论是 　　（填写序号）． 12．如图，直线，点，，分别在直线，，上，若，，　　． 13．如图，将一张长方形纸片沿折叠后，点、分别落在点、位置，的延长线与相交于点，若，　　． 14．如图，直线，将含有角的三角板的直角顶点放在直线上，，则　　． 15．图1中所示是学校操场边的路灯，图2为路灯的示意图，支架、为固定支撑杆，灯体是，其中垂直地面于点，过点作射线与地面平行（即，已知两个支撑杆之间的夹角，灯体与支撑杆之间的夹角，则的度数为 　　． 16．已知，点在连线的右侧，与的角平分线相交于点，则： ①； ②； ③若，则； ④若，则； 以上说法正确的是 　　． 三、解答题 1．在数学课本中，有这样一道题：已知：如图1，．求证：请补充下面证明过程： 证明：过点，作，如图2 ∴______（_________________） ∵，_______=（已知） ∴（___________） ∴______=_______ ∴_____（________________） ∵ ∴ 2．如图，，，求的度数． 3．在图中，，与又有何关系？ 4．已知．    知识回顾（1）如图，点在两平行线之间，试说明：． 知识应用（2）如图，、分别平分、，利用中的结论，试说明：； （3）如图，直接写出、、、四个角之间的数量关系． 知识拓展（4）如图，若，，、分别平分、，那么 ______ ；只要直接填上正确结论即可 （5）如图，若、、三个角的和是，、分别平分、，那么 ______ 用含的式子表示 5．引入 在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，如图是一个“美味”的模型 “猪蹄模型”．如图所示，，点在直线与之间，连接、，求证：． 嘉琪想到了下面的思路，请根据思路继续完成求证： 证明：如图，过点作． 思考 当点在如图所示的位置时，其他条件不变，写出，，三者之间的数量关系并说明理由． 应用 如图，延长线段交直线于点，已知，，求的度数． 提升 点、、在直线与之间，连接、、和，其他条件不变，如图．若，直接写出的总度数． 6．如图，直线，连接，直线、及线段把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点落在某个部分时，连接，，构成，，三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是角） （1）当动点落在第①部分时，、、之间满足怎样的数量关系？并加以证明； （2）当动点落在第②部分时，、、之间又满足怎样的数量关系？并加以证明； （3）当动点落在第③部分时且在直线右侧时，，，之间又满足怎样的关系，直接写出最后的结论． 7．如图1，直线，是截线上的一点． （1）若，，求； （2）如图1，当点在线段上运动时，与的平分线交于，问是否为定值，若是定值，请求出；若不是定值，请说明理由； （3）如图2，若是直线上且位于点的上方的一点，如图所示，当点在射线上运动时，与的平分线交于，问的值是否和（2）问中的情况一样呢？请你写出探究过程，说明理由． 8.（1）如图1，直线．点在直线，之间，试说明：． 小明说明的过程是这样的：“过点作，” 请按照小明的思路写出完整的解答说明过程． （2）①直线，点，在直线，之间，且点，在直线的同侧，如图2，试探究，，，之间的数量关系，并说明理由； ②直线，点，在直线，之间，且点，在直线的两侧．如图3，试探究，，，之间的数量关系，并说明理由． 请在①②任选一个问题进行解答． （3）如图4，若，直接写出图中的度数（不用说理）． 9．丁丁学习七年级下册数学后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下． （1）如图1，已知ABCD，点E在两平行线的内侧，连接AE，CE．若∠EAB＝35°，∠ECD＝25°，求∠AEC的度数；（提示：过点E作AB的平行线） （2）如图2，已知ABCD，点E在两平行线的外侧，连接AE，CE．若∠EAB＝α，∠ECD＝β． ①求∠AEC的大小（用含α，β的代数式表示）； ②作∠ECD的平分线交AB于点G，连接GE，AG平分于∠CGE（如图3）．若∠AEG＝130°，α+β＝80°，分别求出α，β的度数． 10．如图1，由线段组成的图形像英文字母，称为“形”． （1）如图1，形中，若，则______； （2）如图2，连接形中两点，若，试探求与的数量关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，且的延长线与的延长线有交点，当点在线段的延长线上从左向右移动的过程中，直接写出与所有可能的数量关系． 参考答案 例1．如图，已知，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，过点作直线，根据平行线的性质得到． 【详解】解：如图，过点作直线，则． 又，，，．故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质．关键是熟悉两直线平行，内错角相等的知识点． 例2．太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从点O照射到抛物线上的光线，反射后沿着与平行的方向射出，已知图中，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行线的性质即可得出，，再根据即可求解． 【详解】由题意知∴， ∴故选：C． 【点睛】题考查了平行线的性质，两直线平行，内错角相等，牢记性质是解决问题的关键． 例3．如图所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过C作CD∥AB，过M作MN∥EF，推出AB∥CD∥MN∥EF，根据平行线的性质得出+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，求出∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-，即可得出答案． 【详解】过C作CD∥AB，过M作MN∥EF， ∵AB∥EF， ∴AB∥CD∥MN∥EF， ∴+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=， ∴∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-， ∴=∠BCD+∠DCM=， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查了学生的推理能力． 例4．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上的点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．请利用所学知识解决问题： （1）探究证明：如图1，试探究∠MGN与∠AMG、∠CNG之间有什么数量关系，并说明理由． （2）拓展应用：如图2，若∠AMG与∠CNG的平分线相交于点P，请直接写出∠MGN与∠MPN之间的数量关系． （3）迁移提升：如图3，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝30°，请直接写出∠MGN+∠MPN的度数． 【解答】解：（1）∠MGN＝∠AMG+∠CNG，理由如下： 如图1，过G作GH∥AB， ∵AB∥CD，GH∥AB， ∴AB∥GH∥CD， ∴∠AMG＝∠HGM，∠CNG＝∠HGN， ∴∠MGN＝∠HGM+∠HGN＝∠AMG+∠CNG； （2）∠MPN＝∠MGN，理由如下： 由（1）得∠MPN＝∠AMP+∠CNP，∠MGN＝∠AMG+∠CNG， ∵∠AMG与∠CNG的平分线相交于点P， ∴∠AMP＝∠AMG，∠CNP＝∠CNG， ∴∠MPN＝∠AMP+∠CNP ＝∠AMG+∠CNG ＝（∠AMG+∠CNG） ＝∠MGN， 即∠MPN＝∠MGN； （3）如图3，过G作GK∥AB，过点P作PQ∥AB，设∠GND＝α， ∵GK∥AB，AB∥CD， ∴GK∥CD， ∴∠KGN＝∠GND＝α， ∵GK∥AB，∠BMG＝30°， ∴∠MGK＝∠BMG＝30°， ∴∠MGN＝∠MGK+∠KGN＝30°+α， ∵MG平分∠BMP，ND平分∠GNP， ∴∠GMP＝∠BMG＝30°， 即∠BMP＝60°， ∵PQ∥AB， ∴∠MPQ＝∠BMP＝60°， ∵ND平分∠GNP， ∴∠DNP＝∠GND＝α， ∵AB∥CD，PQ∥AB， ∴PQ∥CD， ∴∠QPN＝∠DNP＝α， ∴∠MPN＝∠MPQ﹣∠QPN＝60°﹣α， ∴∠MGN+∠MPN＝30°+α+60°﹣α＝90°， 即∠MGN+∠MPN的度数是90°． 例5．（1）如图1已知：∠B=25°，∠BED=80°，∠D=55°．探究AB与CD有怎样的位置关系.（2）如图2已知AB∥EF，试猜想∠B，∠F，∠BCF之间的关系，写出这种关系，并加以证明.（3）如图3已知AB∥CD，试猜想∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的关系，请直接写出这种关系，不用证明. 【答案】（1）详见解析（2）∠BCF=∠B+∠F（3）∠1+∠3+∠5=∠2+∠4 【分析】（1）过点E作EF∥AB，得∠BEF =25°，得∠DEF=55°，从而可证AB∥CD； （2）作CD∥AB，根据平行线的传递性得CD∥EF，则根据平行线的性质得∠BCD=∠B，∠DCF=∠F，所以∠BCD+∠DCF=∠B+∠F，故可得结论；（3）方法同（2） 【详解】（1）过点E作EF∥AB     ∵∠B=25°∴∠BEF=∠B=25°∵∠BED=80°∴∠DEF=∠BED－∠BEF=55° ∵∠D=55°∴∠D=∠DEF∴EF∥CD        ∴AB∥CD      （2）过点C作CD∥AB，则CD∥EF， ∵AB∥CD，∴∠BCD=∠B，∵CD∥EF，∴∠DCF=∠F， ∴∠BCD+∠DCF=∠B+∠F，即∠C=∠B+∠F．      （3）∠1+∠3+∠5=∠2+∠4，如图， 作MN∥AB，由（2）的结论得到∠2=∠1+∠6，∠4=∠5+∠7， ∴∠2+∠4=∠1+∠6+∠5+∠7=∠1+∠3+∠5. 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质：同旁内角互补，两直线平行；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．作出相关辅助线是解此题的关键. 例6．【问题背景】：同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． 【问题探究】：（1）如图1，，为、之间一点，连接、，得到与、之间的数量关系，并说明理由； 【类比迁移】：（2）请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：如图2，直线，若，，，求的度数； 【灵活应用】：（3）如图3，直线，若，，则　25　度． 【分析】（1）过点作，利用猪脚模型即可解答； （2）过点作，利用猪脚模型可得：，，从而可得，进行计算即可解答； （3）先利用三角形内角和定理可得，从而利用对顶角相等可得，然后利用猪脚模型可得，最后进行计算即可解答． 【解答】解：（1）， 理由：过点作， ， ， ， ， ， ； （2）过点作， 由（1）可得：， ， ， 由（1）可得：， ，，， ， 的度数为； （3）如图： ，， ， ， ， 由（1）可得：， ， 故答案为：25． 【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 【巩固练习】 一、选择题 1．如图，玲玲在美术课上用丝线绣成了一个“2”，AB∥DE，∠A=30°，∠ACE=110°，则∠E的度数为（　　） A．30° B．150° C．120° D．100° 【答案】D 【详解】过C作CQ∥AB， ∵AB∥DE， ∴AB∥DE∥CQ， ∵∠A=30°， ∴∠A=∠QCA=30°，∠E+∠ECQ=180°， ∵∠ACE=110°， ∴∠ECQ=110°−30°=80°， ∴∠E=180°−80°=100°， 故选D. 2．如图，l1∥l2，将一副直角三角板作如下摆放，图中点A、B、C在同一直线上，则∠1的度数为（　　） A．100° B．120° C．75° D．150° 【答案】C 【分析】过点C作CM//l1，则l1//l2//CM，根据平行线的性质及角的和差求解即可． 【详解】解：如图，过点C作CM∥l1， ∵l1//l2， ∴l1//l2//CM， ∴∠1+∠ECM＝180°，∠2＝∠ACM， ∵∠2＝180°﹣45°＝135°， ∴∠ACM＝135°， ∴∠ECM＝135°﹣30°＝105°， ∴∠1＝180°﹣105°＝75°， 故选：C． 【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记两直线平行，同旁内角互补、两直线平行，同位角相等是解题的关键． 3．如图，已知ABDF，DE和AC分别平分∠CDF和∠BAE，若∠DEA＝46°，∠ACD＝56°，则∠CDF的度数为（　　） A．42° B．43° C．44° D．45° 【答案】C 【分析】过点C作CNAB，过点E作EMAB，根据平行线的性质及角平分线的特点得到角度的数量关系56°＝∠BAC+2∠FDE，46°＝∠FDE+2∠BAC，从而求出∠FDE＝22°，故可得到∠CDF的度数． 【详解】解：过点C作CNAB，过点E作EMAB， ∵FDAB，CNAB，EMAB， ∴ABCNEMFD ∴∠BAC＝∠NCA，∠NCD＝∠FDC，∠FDE＝∠DEM，∠MEA＝∠EAB． ∴∠DEA＝∠FDE+∠EAB， ∠ACD＝∠BAC+∠FDC． 又∵DE和AC分别平分∠CDF和∠BAE， ∴∠FDC＝2∠FDE＝2∠EDC，∠BAE＝2∠BAC＝2∠EAC ∴56°＝∠BAC+2∠FDE①， 46°＝∠FDE+2∠BAC②． ①+②，得3（∠BAC+∠FDE）＝102°， ∴∠BAC+∠FDE＝34°③． ①﹣③，得∠FDE＝22°． ∴∠CDF＝2∠FDE＝44°． 故选：C． 【点睛】此题主要考查平行线间的角度求解，解题的关键是熟知平行线与角平分线的性质． 故答案是：（n-1）180 °． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，添加辅助线，构造平行线，是解题的关键． 4．如图，，，，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作，根据平行线的判定和性质可得，结合，两式相加即可求出． 【详解】解：如图，作，    ∵，∴，∴，，∴， ∵，∴，∴，故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，求出是解题的关键． 5．将一副三角尺（厚度不计）如图摆放，使边与边互相平行，则图中的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据三角板的特点得到，再由平行线的性质得到，则由平角的定义可得． 【详解】解：由题意得：， ∵，∴，∴，故选：D．    【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角板中角度的计算，灵活运用所学知识是解题的关键． 6．如图，直线，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意作直线l平行于直线l1，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如下图，作直线，    ∵，，∴，． ，．故选B． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，平行公理的应用，掌握两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等是解题关键． 7．如图，，，是的平分线，三点在一条直线上，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作，则，进而求出，由平行线的传递性可证，从而，由角平分线的定义求出，进而可求出的度数． 【详解】作，则． ∵，∴，∴． ∵，，∴， ∴．∴． ∵是的平分线，∴， ∴．故选A．    【点睛】本题考查了平行线性质的应用－拐点问题，常用的解答方法是过过拐点作其中一条线的平行线，利用平行线的传递性说明与另一条线也平行，然后利用平行线的性质解答即可． 8．如图，，点在上，，则下列结论正确的个数是（    ） （1）；（2）；（3）；（4）    A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】过点作，根据平行线的性质对每一项判断即可解答． 【详解】解：过点作，    ∵，∴，∴与不全等， 又∵点在上，∴无法判断（1）是否正确； ∵，，∴， ∵，∴，，∴，故（2）正确； ∵，，∴，∴， ∴，，∴，故（3）正确； ∵，∴，∵，∴，∴， ∵，∴无法知道的度数，∴无法判断（4）是否正确；故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质，添加辅助线是解题的关键． 9．如图，直线，用含的式子表示，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过角的顶点作，根据平行线的性质可得，，即可求解． 【详解】解：如图所示，过角的顶点作，∴    ∵，∴，∴∴故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定定理是解题的关键． 10．如图，，平分交于点E，，，M，N分别是延长线上的点，和的平分线交于点F．下列结论： ①；②；③平分；④为定值； 其中结论正确的有（    ）    A．①④ B．①②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】D 【分析】由，，可知，则，由，可得，则，，可证，可判断①的正误；由，可得，由，可得，可判断②的正误；由平分交于点E，可得，由，，可得，则平分，可判定③的正误；由和的平分线交于点F，可得，，由，，，可得，，根据，为定值，可判断④的正误． 【详解】解：∵，， ∴，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴，①正确，故符合要求； ∵，∴， 又∵，∴，②错误，故不符合要求； ∵平分交于点E，∴， ∵，，∴， ∴平分；③正确，故符合要求；∵和的平分线交于点F， ∴，， ∵，，， ∴，∴， ∴，为定值；④正确，故符合要求；故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线，平行线的判定与性质，三角形内角和定理．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 二、填空题 1．如图，如果AB∥EF，EF∥CD，则∠1，∠2，∠3的关系式__________． 【答案】∠2+∠3﹣∠1=180° 【分析】根据平行线的性质和平角定义求解即可． 【详解】解：∵AB∥EF，EF∥CD， ∴∠2+∠BOE=180°，∠3+∠COF=180°， ∴∠2+∠3+∠BOE+∠COF=360°， ∵∠BOE+∠COF+∠1=180°， ∴∠BOE+∠COF=180°﹣∠1， ∴∠2+∠3+（180°﹣∠1）=360°， 即∠2+∠3﹣∠1=180°． 故答案为：∠2+∠3﹣∠1=180°． 【点睛】本题考查平行线的性质、平角定义，熟练掌握平行线的性质是解答的关键． 2．如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝ 20°，则∠EAB的度数为__________． 【答案】57° 【分析】根据三角形内角和180°以及平行线的性质：1、如果两直线平行，那么它们的同位角相等；2、如果两直线平行，那么它们的同旁内角互补；3、如果两直线平行，那么它们的内错角相等，据此计算即可． 【详解】解：设AE、CD交于点F， ∵∠E＝37°，∠C＝ 20°， ∴∠CFE=180°-37°-20°=123°， ∴∠AFD=123°， ∵AB∥CD， ∴∠AFD+∠EAB=180°， ∴∠EAB=180°-123°=57°， 故答案为：57°． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理以及平行线的性质，熟知平行的性质是解题的关键． 3．如图，C岛在A岛的北偏东方向，在B岛的北偏西方向，则 ．    【答案】/105度 【分析】过点作，从而可证明，然后由平行线的性质可知，，从而可求得的度数． 【详解】解：过点作．      ，，． ，，同理：． ，故答案为：． 【点睛】本题考查的是方向角的定义和平行线的性质的应用，掌握此类问题辅助线的作法是解题的关键． 4．如图，，，，则的度数等于 ．    【答案】 【分析】先添加辅助线，则根据平行线的性质可得，则有，，再根据垂直的定义可得，然后求出，根据邻补角的定义即可得． 【详解】如图，过作，      ∴,∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴，故答案为：． 【点睛】此题考查了平行线的性质、垂直，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 5．如图，，将直角三角尺的两个锐角顶点分别落在a、b上．若，则等于 °．    【答案】25 【分析】由平行线的性质可得，由三角形的内角和定理可求得，从而可求得，则可求的度数． 【详解】解：如图，    ∵，∴， 在中，，∴， ∴，∴， ∵，∴．故答案为：25． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补． 6．如图，已知：AB∥CD，∠1=50°，∠2=113°，则∠3= 度． 【答案】63 【分析】如图，易知∠3＝∠2－∠1，计算即可. 【详解】如图所示， 根据平行线的性质易知∠3＝∠2－∠1＝113°－50°＝63°. 【点睛】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答的关键. 7．探照灯、汽车灯及其他很多灯具都与抛物线形状有关，如图是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于点的灯泡发出的两束光线，经灯碗反射以后平行射出．若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】过点作，由得，从而得到，，最后根据计算即可得到答案． 【详解】解：过点作，如图所示， ， ，，，， ，故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行线的性质为：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 8．如图，直线a，b过等边三角形的顶点A和C，且，，则 ．    【答案】99 【分析】本题考查了平行线的性质、等边三角形的性质．根据等边三角形的性质可求出，再根据两直线平行内错角相等即可得出答案． 【详解】解： ∵是等边三角形，∴， ∵，，∴．故答案为：99． 14．（2022下·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，直线，，则 ．    【答案】/208度 【分析】根据平行线的性质和三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求得． 【详解】解：如图    ∵直线， ∴， 又∵，，∴． 【点睛】本题主要考查平行线的性质和三角形外角和定理，解题的关键是做辅助线构造出相对应的角． 9．如图，已知，，记，则m的值为 ．    【答案】 【分析】过点F作，则，依据平行线的性质可证明，同理可证明，然后结合已知条件可得到问题的答案． 【详解】解：如图所示：过点F作．∵，∴． ∵，∴，∴． ∴．同理：． ∴ ∵，∴．故答案为：．    【点睛】本题主要考查的是平行线的判定和性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键． 10．如图，，，平分，平分，则　　． 【分析】首先过点作，过点作，由，即可得，然后根据两直线平行，同旁内角互补，由，即可求得，又由平分，平分，根据角平分线的定义，即可求得的度数，又由两直线平行，内错角相等，即可求得的度数． 【解答】解：过点作，过点作， ， ， ，， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ，， ． 故答案为 【点评】此题考查了平行线的性质与角平分线的定义．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法． 11．如图，直线，点在上，点在上，点在，之间，和的角平分线相交于点，的角平分线交的反向延长线于点，下列四个结论： ①； ②； ③若，则； ④． 其中正确的结论是 　①②④　（填写序号）． 【分析】作，证出，由内错角相等可得①正确；同理可证，再根据角平分线的性质，可得②正确；若，则，再有平行性质可得，因为与不一定相等，所以与不一定相等，判断③不正确；由平分，平分，得到，即，即可判断④正确． 【解答】解：①：作， ， ， ， ， ， ，故①正确； 同理可得：， 平分，平分， ，， ， 即，故②正确； 设交于点， 若，则， ， ， 平分， ， ， 若，则， 与不一定相等， 与不一定相等，故③不正确； 平分，平分， ， ， ，且，， ， ， ，故④正确． 故答案为：①②④． 【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质应用是解题关键． 12．如图，直线，点，，分别在直线，，上，若，，　　． 【分析】根据猪脚模型，即可解答． 【解答】解：如图： ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 13．如图，将一张长方形纸片沿折叠后，点、分别落在点、位置，的延长线与相交于点，若，　　． 【分析】利用邻补角的定义先求出，再利用平行线的判定和性质说明与的关系得结论． 【解答】解：与是邻补角， ． 是长方形纸片， ． 折叠后点、分别落在点、位置， ． ． ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了平行线，掌握平行线的性质和判定及邻补角的定义是解决本题的关键． 14．如图，直线，将含有角的三角板的直角顶点放在直线上，，则　15　． 【分析】过点作，利用平行线的性质可得，从而可得，然后根据平行于同一条直线的两条直线平行可得，从而利用平行线的性质可得，即可解答． 【解答】解：如图：过点作， ， ， ， ， ， ， 故答案为：15． 【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 15．图1中所示是学校操场边的路灯，图2为路灯的示意图，支架、为固定支撑杆，灯体是，其中垂直地面于点，过点作射线与地面平行（即，已知两个支撑杆之间的夹角，灯体与支撑杆之间的夹角，则的度数为 　　． 【分析】过点作．先利用平行线的性质和垂直的定义、角的和差关系求出，再利用平行线的性质和角的和差关系求得结论． 【解答】解：过点作． ， ． ． ， ． ， ． ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，掌握平行线的性质和角的和差关系是解决本题的关键． 16．已知，点在连线的右侧，与的角平分线相交于点，则： ①； ②； ③若，则； ④若，则； 以上说法正确的是 　①②④　． 【分析】由平行线的性质可判断①正确，同样根据平行线的性质可判断②正确，根据平行的性质已知可求出的度数不等于，故③不正确，根据和的关系及，可判断④正确． 【解答】解：如图，作， ， ， ，， ，即，故①正确； 如图，作， ， ， ，， ， 即，故②正确； 若，则， 平分，平分， ， ，故③不正确； 同理可证：， 若， 则， ，， ， ， ， ，故④正确； 故答案为：①②④． 【点评】本题考查了平行线的性质，辅助线的应用是解题关键． 三、解答题 1．在数学课本中，有这样一道题：已知：如图1，．求证：请补充下面证明过程： 证明：过点，作，如图2 ∴______（_________________） ∵，_______=（已知） ∴（___________） ∴______=_______ ∴_____（________________） ∵ ∴ 【答案】BEF；两直线平行内错角相等；FEC；等量代换；C；FEC；DC；内错角相等两直线平行 【分析】根据平行线的判定与性质即可完成证明过程． 【详解】证明：过点，作，如图2， （两直线平行 内错角相等）， ，（已知）， （等量代换）， ，（内错角相等 两直线平行）， ，． 故答案为：，两直线平行 内错角相等，，等量代换，，，，内错角相等 两直线平行． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是准确区分平行线的判定与性质，并熟练运用． 2．如图，，，求的度数． 【答案】 【分析】过点作，根据，，进而据平行线的性质即可求的度数． 【详解】解：过点作， ∵，∴， ∴，， ∴， 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是作辅助线及灵活应用平行线的判定与性质解决问题． 3．在图中，，与又有何关系？ 【答案】 【分析】此类题要过各个分点作已知直线的平行线，充分运用平行线的性质进行推导． 【详解】分别过，，作的平行线， 则，，，， ， 即，． 【点睛】此类题主要注意构造辅助线：平行线，解题的关键是充分运用平行线的性质进行证明． 4．已知．    知识回顾（1）如图，点在两平行线之间，试说明：． 知识应用（2）如图，、分别平分、，利用中的结论，试说明：； （3）如图，直接写出、、、四个角之间的数量关系． 知识拓展（4）如图，若，，、分别平分、，那么 ______ ；只要直接填上正确结论即可 （5）如图，若、、三个角的和是，、分别平分、，那么 ______ 用含的式子表示 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）；（4） 【分析】过点作，利用猪脚模型进行计算，即可解答； 利用的结论可得得：，，再利用角平分线的定义可得，，然后进行计算即可解答； 根据角平分线的定义可得，，再利用的结论，从而进行计算可得，再利用的结论可得，然后进行计算即可解答； 过点作，过点作，从而可得，然后利用平行线的性质可得，从而可得，再利用平行线的性质可得，，从而可得，最后利用角平分线的定义可得，，从而用的结论可得，进行计算即可解答； 过点作，过点作，过点作，利用的解题思路进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，，    ，，， ，； 由得：，， 、分别平分、，，， ，即； ， 理由：、分别平分、，，， ， 由得：，， 即； 过点作，过点作，    ，，，， ，，， ，，，，， 、分别平分、，，， ，故答案为：； 过点作，过点作，过点作，    ，，，， ，，， ， 、分别平分、，，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，列代数式，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 5．引入 在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，如图是一个“美味”的模型 “猪蹄模型”．如图所示，，点在直线与之间，连接、，求证：． 嘉琪想到了下面的思路，请根据思路继续完成求证： 证明：如图，过点作． 思考 当点在如图所示的位置时，其他条件不变，写出，，三者之间的数量关系并说明理由． 应用 如图，延长线段交直线于点，已知，，求的度数． 提升 点、、在直线与之间，连接、、和，其他条件不变，如图．若，直接写出的总度数． 【分析】（1）过点作，则，由平行线的性质得出，，即可得出结论． （2）同（2）得，得出，即可得出答案． （3）作，利用平行线的性质即可解决问题． 【解答】（1）；理由： 证明：过点作，如图①所示， ， ， ，， ， ． （2）解：同（1）得：， ， ， ． （3）过点作．如图②所示， ， ， ， ， ， ． ， ． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质；正确作出辅助线和平行线的判定和性质是解题的关键． 6．如图，直线，连接，直线、及线段把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点落在某个部分时，连接，，构成，，三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是角） （1）当动点落在第①部分时，、、之间满足怎样的数量关系？并加以证明； （2）当动点落在第②部分时，、、之间又满足怎样的数量关系？并加以证明； （3）当动点落在第③部分时且在直线右侧时，，，之间又满足怎样的关系，直接写出最后的结论． 【分析】（1）利用猪脚模型，即可解答； （2）利用铅笔模型，即可解答； （3）过点作，从而可得，再根据平行于同一条直线的两条直线平行可得，从而可得，然后利用角的和差关系以及等量代换，即可解答． 【解答】解：（1）， 理由：过点作， ， ， ， ， ， ； （2）， 理由：过点作， ， ， ， ， ， 即； （3）， 理由：设交于点， ， ， 是的一个外角， ， ． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握猪脚模型，铅笔模型是解题的关键． 7．如图1，直线，是截线上的一点． （1）若，，求； （2）如图1，当点在线段上运动时，与的平分线交于，问是否为定值，若是定值，请求出；若不是定值，请说明理由； （3）如图2，若是直线上且位于点的上方的一点，如图所示，当点在射线上运动时，与的平分线交于，问的值是否和（2）问中的情况一样呢？请你写出探究过程，说明理由． 【分析】（1）根据平行线的性质可得，然后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答； （2）过点作，利用猪脚模型可得，同理可得：，然后根据角平分线的定义可得，，从而可得，最后进行计算即可解答； （3）过点作，利用平行线的性质可得，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得，从而可得，然后利用角的和差关系可得，从而可得，同理可得：，最后利用角平分线的定义可得，，从而可得，进行计算即可解答． 【解答】解：（1），， ， ， ， 的度数为； （2）是定值， 理由：过点作， ， ， ， ， ， ， 同理可得：， 平分，平分， ，， ， ； （3）是定值， 理由：过点作， ， ， ， ， ， ， 同理可得：， 平分，平分， ，， ， ． 【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 8.（1）如图1，直线．点在直线，之间，试说明：． 小明说明的过程是这样的：“过点作，” 请按照小明的思路写出完整的解答说明过程． （2）①直线，点，在直线，之间，且点，在直线的同侧，如图2，试探究，，，之间的数量关系，并说明理由； ②直线，点，在直线，之间，且点，在直线的两侧．如图3，试探究，，，之间的数量关系，并说明理由． 请在①②任选一个问题进行解答． （3）如图4，若，直接写出图中的度数（不用说理）． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，可得，，根据等式的性质可得，即可得出答案； （2）①过点作，过点作，如图5，根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，，，，根据等式的性质可得，即可得出答案； （3）如图4，根据平行线模型锯齿模型定理，朝向左边的角的和朝向右边的角的和，根据邻补角的定义，角的邻补角为，所以可列，求出即可得出答案． 【解答】解：（1）过点作， ， ， ， ， ， ； （2）①过点作，过点作，如图5， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）． 9．丁丁学习七年级下册数学后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下． （1）如图1，已知ABCD，点E在两平行线的内侧，连接AE，CE．若∠EAB＝35°，∠ECD＝25°，求∠AEC的度数；（提示：过点E作AB的平行线） （2）如图2，已知ABCD，点E在两平行线的外侧，连接AE，CE．若∠EAB＝α，∠ECD＝β． ①求∠AEC的大小（用含α，β的代数式表示）； ②作∠ECD的平分线交AB于点G，连接GE，AG平分于∠CGE（如图3）．若∠AEG＝130°，α+β＝80°，分别求出α，β的度数． 【答案】（1）解：如图1，过点E作MN∥AB． ∵AB∥MN， ∴∠AEM＝∠EAB＝35°． ∵AB∥CD，AB∥MN， ∴MN∥CD． ∴∠MEC＝∠ECD＝25°． ∴∠AEC＝∠AEM+∠MEC＝35°+25°＝60° （2）解：①如图2， ∵AB∥CD， ∴∠EFB＝∠ECD＝β． 又∵∠EFB＝∠EAB+∠AEC， ∴∠AEC＝∠EFB﹣∠EAB＝β﹣α． ②如图3， ∵AB∥CD， ∴∠1＝∠2． 又∵CG平分∠ECD， ∴∠EAB＝∠1＝ ． ∴∠EAB＝∠2． ∵AG平分于∠CGE， ∴∠2＝∠3． ∴∠3＝∠EAB＝ ． ∵∠AEG＝130°， ∴∠EAB+∠3＝180°﹣∠AEG＝50°． ∴2∠EAB＝50°． ∴∠EAB＝α＝25°． 又∵α+β＝80°， ∴β＝55°． 【解析】（1）过点E作MN∥AB，利用平行线的性质求解即可； （2）①利用平行线的性质求解即可；②利用平行线的性质及角平分线的定义计算即可。 10．如图1，由线段组成的图形像英文字母，称为“形”． （1）如图1，形中，若，则______； （2）如图2，连接形中两点，若，试探求与的数量关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，且的延长线与的延长线有交点，当点在线段的延长线上从左向右移动的过程中，直接写出与所有可能的数量关系． 【答案】（1）50°；（2）∠A+∠C=30°+α，理由见解析；（3）∠A-∠DCM=30°+α或30°-α 【分析】（1）过M作MN∥AB，由平行线的性质即可求得∠M的值．（2）延长BA，DC交于E，应用四边形的内角和定理与平角的定义即可解决问题．（3）分两种情形分别求解即可； 【详解】解：（1）过M作MN∥AB， ∵AB∥CD，∴AB∥MN∥CD，∴∠1=∠A，∠2=∠C， ∴∠AMC=∠1+∠2=∠A+∠C=50°；故答案为：50°； （2）∠A+∠C=30°+α，延长BA，DC交于E， ∵∠B+∠D=150°，∴∠E=30°， ∵∠BAM+∠DCM=360°-（∠EAM+∠ECM）=360°-（360°-∠E-∠M）=30°+α；即∠A+∠C=30°+α； （3）①如下图所示：延长BA、DC使之相交于点E，延长MC与BA的延长线相交于点F， ∵∠B+∠D=150°，∠AMC=α，∴∠E=30° 由三角形的内外角之间的关系得：∠1=30°+∠2；∠2=∠3+α ∴∠1=30°+∠3+α∴∠1-∠3=30°+α即：∠A-∠C=30°+α． ②如图所示，210-∠A=（180°-∠DCM）+α，即∠A-∠DCM=30°-α． 综上所述，∠A-∠DCM=30°+α或30°-α． 【点睛】本题考查了平行线的性质．解答该题时，通过作辅助线准确作出辅助线l∥AB，利用平行线的性质（两直线平行内错角相等）将所求的角∠M与已知角∠A、∠C的数量关系联系起来，从而求得∠M的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$