【解题卡】二元一次方程组的应用——方案问题-人教版七年级下册期中、期末专项（初中数学）

1 方案问题 题型特征 存在两个未知量；给出多个等量关系；列举方案或选择最优方案. 核心考点 方程组的建立与求解；二元一次方程的整数解. 解题方法 ①审题： 找题目中所含的等量关系； ②设未知数：根据题意，设两个未知数； ③列方程组：根据找出的等量关系，列出二元一次方程组； ④解方程组：利用代入或加减消元法求解； ⑤检验并作答：根据限制条件列新方程，并结合未知量的取值范围（正整 数等），得出满足条件的方案，作答. 易错警示 等量关系找错；易忽略实际情况，遗漏方案. 某学校开展植树护林活动，据了解 3 棵 A 种树木、4 棵 B 种树木的售价共计 155 元；4 棵 A 种树木、3 棵 B 种树木的售价共计 160 元． (1)求 A、B 两种树木每棵的售价分别为多少元？ (2)若该学校计划用 400 元购进以上两种树木（两种树木均要购买，且 400 元全部用完）， 问该学校有哪几种购买方案，请通过计算列举出来． 【答案】(1)A 种树木每棵售价 25 元，B 种树木每棵售价 20 元. 方法提炼 2 (2)有三种购买方案：①A 种树木购进 4 棵，B 种树木购进 15 棵；②A 种树木购进 8 棵，B 种树 木购进 10 棵；③A 种树木购进 12 棵，B 种树木购进 5 棵． 【思路点拨】本题考查了二元一次方程整数解和二元一次方程组的应用，解题关键是根 据题意设未知数，列出方程或方程组. （1）设 A，B 两种树木每棵的售价分别为 x 元，y 元，列出方程组求解即可； （2）设 A，B 两种树木分别购进 a 棵和 b 棵，列出方程，再求正整数解即可． （1）步骤：审-设-列-解-答. 设 A 种树木每棵的售价为 x 元，B 种树木每棵的售价为 y 元. 可列方程组 3� + 4� = 155 4� + 3� = 160 . 解得 � = 25� = 20 ， 即 A，B 两种树木每棵的售价分别为 25 元，20 元． （2）步骤一：设未知数，列方程. 设 A，B 两种树木分别购进 a 棵和 b 棵， 根据题意，得 25� + 20� = 400， 即� = 20 − 5a 4 . 步骤二：求出二元一次方程的整数解，确定方案. ∵ 两种树木均要购买，且 a，b 均为正整数， ∴ � = 4 � = 15 或 � = 8 � = 10 或 � = 12 � = 5 ， ∴共有以下 3 种购买方案： ①A 种树木购进 4 棵，B 种树木购进 15 棵； ②A 种树木购进 8 棵，B 种树木购进 10 棵； ③A 种树木购进 12 棵，B 种树木购进 5 棵．