专题09 分式的运算（4题型）-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（沪科版2024）

专题09 分式的运算 1分式的乘法法则 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.用式子表示为 •＝(其中a,b,c,d均为整式，且b,d不等于0). 注意:进行分式注意进行分式的乘法运算时，如果分式的分子、分母是多项式，那么要把分子、分母分别作为一个整体放到括号里参与运算. 2分式的除法法则 （1） 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用式子表示为 ÷＝ •(其中a,b,c,d均为整式，且b,c,d不等于0）； （2）进行分式的除法运算时，如果除式是整式，可把它化为分母注意为1的形式，然后转化为乘法运算； (3)分式与分式相乘，若分子和分母都为单项式，则先将分子和分母分别相乘，再约分；若分子和分母都为多项式，则将分子和分母中能分解因式的先分解因式，看能否约分，再相乘； （4)分式的乘除法运算的结果是最简分式或整式。 3 分式的乘方法则 （1）分式乘方要把分子、分母分别乘方用式子表示为（＝(b不等于0，且n为正整数)； （2）进行分式的乘方运算时，一定要把分子、分母分别乘方，不能把（＝写成（＝。 (3)当分式的分子或分母是多项式时，要给多项式加上括号作为一个整体乘方.例如，（＝ （4）乘方运算时，要先确定乘方结果的符号（负数的偶次方为正，负数的奇次方为负)，再进行计算。 4 分式的加减运算 (1)分子相加减后常利用因式分解化为积的形式，以便与分母约分； (2)当整式与分式相加减时，要把整式看作分母为1的式子进行通分； (3)分式加减的结果应为最简分式或整式； (4)“把分子相加减”就是把各个分式的分子“整体”相加减.当分子为多项式时，则应添加括号，避免出现符号错误. （5）分式加减法运算的一般步骤 (1)同分母分式相加减的一般步骤： ①分母不变，把分子相加减若分子是多项式，则添加括号后相加减.②分子去括号、合并同类项.③把结果化成最简分式或整式； (2) 异分母分式相加减的一般步骤： ①找出各分式的最简公分母，将各分式进行通分，化为同分母分式②按照同分母分式相加减的一般步骤进行计算。 （6） 异分母分式相加减时，为了减少错误，一般先把分母按某一字母降幂（或升幂）排列，并且使最高次项的系数为正，再将分母分解因式. 5 分式的混合运算顺序和方法 （1）分式与分数的混合运算有相同的运算顺序，即先乘方，再乘除，最后加减.有括号的先算括号里面的，同级运算按从左到右的顺序依次进行.在运算过程中，可灵活运用交换律、结合律、分配律； (2)进行分式的混合运算时，要注意各分式中的分子、分母的注意符号的处理.结果中分子或分母的系数（或首项的系数）是负数时，一般要把分子或分母本身的“-”提到分式的前面； (3)分式运算与分数运算一样，结果必须是最简形式。 6 负整数指数幂 一般地，当n是正整数时，=(a≠0)这就是说(a≠0)是的倒数。 (1)底数的限制条件：因为负整数指数革可以变为分（分数)的形式，而分式（或分数）的分母不能为0，所以负整数指数只有底数不为0时才有意义； (2)运算结果的符号：指数为负的结果未必为负，运算结果的符号与指数的正负无关，与指数的奇偶有关； (3)用=(a≠0，n为正整数)可以把负整数指数幂转化为正整数指数；反之，运用(a≠0，n为正整数)可以把正整数指数转化为负整数指数幂。 与负整数指数幂有关的常用结论 与互为倒数；=＝(a≠0，b≠0,m,n都为正整数). 7 整数指数幂的性质 .＝（m,n都是整数） ＝（m,n都是整数） ＝.（n是整数） ÷＝（m,n都是整数，a≠0） ＝（n是整数，b≠0）。 压轴题型一：分式的规律问题 √满分技法 数式规律，图形规律，循环规律等都是常考规律题型，解此类题型，当做阅读理解题型做，从题目中的数式找到相应规律，比如循环类。均匀变化类、不均匀变化类、裂项公式等，用对应的方法解答即可。 1．已知，，，，，， 当为大于的奇数时，； 当为大于的偶数时，； (1)求；（用含的式子表示） (2)_____；（用含的式子表示） (3)计算． 2．观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 按照以上规律，解答下列问题： (1)写出第4个等式：______； (2)试用含有正整数n的式子表示这个规律，并加以证明； (3)运用规律计算：． 3．观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明． 4．观察下列式子：，，，…… (1)请你写出第五个式子：____________ (2)请你用字母n写出第n个式子____________，并加以证明。 (3)利用上面知识解决下列问题： 一个容器装有1L水，按照如下要求把水倒出：第1次倒L水，第2次倒出的水量是L的，第3次倒出的水量是L的，第4次倒出的水量是L的……第n次倒出的水量是L的…按照这种倒水的方法，求倒n次倒出的总水量有多少L？ 压轴题型二：分式的值问题 √满分技法 分式的值的题型有很多类，比如正数，负数。0，整数等形式， 当为正数时，讨论分子分母为同号情况； 当为负数时，讨论分子分母为异号情况； 当为0时，分子为0； 当为整数时，考虑分子时分母的倍数关系； 当为1时，考虑分子分母相等； 当为-1时，考虑分子分母互为相反数。 5．阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”，分子比分母大，或者分子，分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式）． 如：． 解决下列问题： (1)分式是______（填“真分式”或“假分式”）；将假分式化为带分式为______； (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值； (3)若分式的值为，直接写出的取值范围是______． 6．我们可以将一些只含有一个字母的分式，转化为整式与新的分式和的形式，其中新的分式的分子中，不含字母，如： 参考上面的方法，解决下列问题： (1)将变形为满足以上结果要求的形式：________________； (2)若变形为满足以上结果要求的形式，若该式的值为整数，求整数的值； (3)将化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为______________． 7．（1）不改变分式的值，使分式的分子与分母中各项的系数都是整数； （2）不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是正数； （3）当满足什么条件时，分式的值：①等于0？②小于0？ 8．阅读下面材料后，解答问题． 分母中含有未知数的不等式叫分式不等式，如：；等，那么如何求出它们的解集呢？根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负，其字母表达式为： （a）若，，则，若，，则； （b）若，，则，若，，则． 请解答下列问题： (1)①若，则或________； ②若，则________或________； (2)根据上述规律，求解分式不等式的解集． 压轴题型三：分式的新定义问题 9．定义：若分式A与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式A的“可存异分式”．如与．因为，．所以是的“可存异分式”． (1)填空：分式B：________分式A：的“可存异分式”（填“是”或“不是”；）． (2)分式的“可存异分式”是______； (3)已知分式是分式A的“可存异分式”．若整数使得分式A的值是正整数，请写出分式A的值； 10．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是______________（填序号）． ①；②；③；④． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式． (3)应用：先化简，并回答取什么整数时，该式的值为整数? 11．定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”，例如： ，则分式与互为“3阶分式”． (1)分式与互为“________阶分式”； (2)已知正数x，y满足，求证：分式与互为“2阶分式”； (3)若分式与互为“1阶分式”（其中a，b均为正数），求的值． 12．定义：若分式A与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式A的“可存异分式”．如与．因为，．所以是的“可存异分式”． (1)填空：分式________分式的“可存异分式”（填“是”或“不是”；） (2)分式的“可存异分式”是________； (3)已知分式是分式A的“可存异分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； (4)若关于的分式是关于的分式的“可存异分式”，求的值． 压轴题型四：分式加减的应用 √满分技法 (1)同分母分式相加减的一般步骤： ①分母不变，把分子相加减若分子是多项式，则添加括号后相加减.②分子去括号、合并同类项.③把结果化成最简分式或整式； (3) 异分母分式相加减的一般步骤： ①找出各分式的最简公分母，将各分式进行通分，化为同分母分式②按照同分母分式相加减的一般步骤进行计算。 （7） 异分母分式相加减时，为了减少错误，一般先把分母按某一字母降幂（或升幂）排列，并且使最高次项的系数为正，再将分母分解因式. 13．【提出问题】 已知，，分式的分子、分母都加上后，所得分式的值与相比是增大了还是减小了？ 【观察发现】 观察下列式子：对于真分数，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值变大，即． 【探究验证】 （1）对于，我们可以用“作差法”进行证明： ． ， ，． ，即． ； （2）由（1）我们可猜想与的大小关系是：_____，请你用“作差法”证明你的结论； 【拓展思考】 （3）若，时，（2）中的不等式是否依然成立？若不成立，请写出正确的式子； 【方法应用】 （4）已知甲、乙两船同时从港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为、，水流速度为，两船同向航行1小时后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为、，请比较，的大小，判断哪条船先返回港？并说明理由． 14．【问题提出】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或式的大小，其中，“作差法”就是常用方法之一，即要比较M与N的大小，只要作出它们的差． （i）若，则；（ii）若，则；（iii）若，则； 【尝试应用】 （1）比较图中两个长方形周长的大小； （2）若，，且，试比较代数式与的大小， 【联系生活】 （3）在某次1000米长跑中，甲同学前半程以速度匀速跑，后半程以速度为速跑．乙同学前一半时间以速度匀速跑，后一半时间以速度匀速跑，请问谁先到达终点？ 15．（阅读理解） 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而比较两个数或代数式的大小一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则． 例：已知，其中，求证：． 证明：， 因为，所以，故． 【新知理解】 （1）比较大小：______．（填“>”，“=”，“<”） 【问题解决】 （2）甲、乙两个平行四边形，其底和高如图所示，其面积分别为，请比较的大小关系． 【拓展应用】 （3）小亮和小莹同去一家水果店购买苹果，两人均购买了两次，两次购买苹果的单价不同，两人的购货方式也不同．小亮每次购买1千克，小莹每次花10元钱购买．设两人第一次购买苹果的单价均为m元/千克，第二次购买苹果的单价均为n元/千克（m，n是正数，且），试分析小莹和小亮谁的购货方式更合算？ 16．阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式，我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如： ； ． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：①分式是______分式（填“真”或“假”）． ②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式： ______＋______． (2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数． (3)一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍．另一个两位数n，十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同．若这个三位数的平方能被这个两位数整除，求满足条件的两位数n． 1．已知． (1)当x取何值时，该分式无意义？ (2)当x取何值时，y的值是0？ (3)当x取何值时，y的值是负数？ 2．已知，且满足． (1)求的值； (2)求的值． 3．已知，代数式：，，． (1)因式分解； (2)在，，中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式． 4．阅读材料：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”：分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：、这样的分式就是假分式；如：、这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的；假分式也可以化为带分式（即整式与真分式相加）． 如：；． 根据上面材料回答下列问题： (1)分式是______；（填“真分式”或“假分式”） (2)假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x是______； (3)将假分式化为带分式． 5．某物流公司自主研发智能配送机器狗，将在一楼仓库和二楼分拣中心执行配送任务．如图，公司东侧设置单向上行电动扶梯，西侧设置单向下行电动扶梯，电动扶梯的长度均为，其运行速度均为当扶梯静止时，机器狗上行、下行的速度分别为，．规定：①工作期间电动扶梯始终处于运行状态；②机器狗只可选择一侧的扶梯，并在一楼和二楼间进行一次往返，视为完成一次配送任务． (1)假如机器狗选择西侧扶梯运行时完成一次配送任务，求所需时间；（用含，的代数式表示） (2)请你判断一楼仓库设置在公司哪一侧，使得机器狗的配送效率更高？并说明理由． 6．某地产公司推出“主房+多变入户花园”的两种户型．即在图1中边长为米的正方形主房进行改造． 户型一是在主房两侧均加长米．阴影部分作为入户花园，如图所示． 户型二是在主房一边减少米后，另一边再增加米，阴影部分作为入户花园，如图所示． 解答下列问题： (1)设户型一与户型二的主房面积差为，入户花园的面积差为，试比较和的大小，并说明理由； (2)若户型一的总价为万元，户型二的总价为万元，试判断哪种户型（包括入户花园）的单价较低，并说明理由． 7．【阅读理解】在比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是利用“作差法”，即要比较代数式M，N的大小，只要作出差，若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)若，则______0（填“”“”或“”）； (2)已知，，当时，比较A与的大小，并说明理由； (3)小王和小张的加油习惯不同，小王每次加300元的油（油箱未加满），而小张每次都把油箱加满．现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，设第一次油价为x元/升，第二次油价为y元/升． ①小王两次加油的平均单价为______元/升，小张两次加油的平均单价为______元/升（用含x，y的代数式表示，化简结果）； ②请通过计算判断，小王和小张的两种加油方式中，哪种平均单价更低？ 8．阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即 所以： 所以的值为 该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)若，求的值； (3)拓展：已知，，，求的值． 9．设n为正整数，且， ， … ． (1)求证：； (2)若，求正整数a，b的值． 10．观察下列等式：，，， 把以上三个等式两边分别相加得：． 这种求和的方法称为裂项求和法：裂项法的实质是将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的． (1)猜想并写出：＝______． (2)规律应用：计算：； (3)拓展提高：计算：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 分式的运算 1分式的乘法法则 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.用式子表示为 •＝(其中a,b,c,d均为整式，且b,d不等于0). 注意:进行分式注意进行分式的乘法运算时，如果分式的分子、分母是多项式，那么要把分子、分母分别作为一个整体放到括号里参与运算. 2分式的除法法则 （1） 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用式子表示为 ÷＝ •(其中a,b,c,d均为整式，且b,c,d不等于0）； （2）进行分式的除法运算时，如果除式是整式，可把它化为分母注意为1的形式，然后转化为乘法运算； (3)分式与分式相乘，若分子和分母都为单项式，则先将分子和分母分别相乘，再约分；若分子和分母都为多项式，则将分子和分母中能分解因式的先分解因式，看能否约分，再相乘； （4)分式的乘除法运算的结果是最简分式或整式。 3 分式的乘方法则 （1）分式乘方要把分子、分母分别乘方用式子表示为（＝(b不等于0，且n为正整数)； （2）进行分式的乘方运算时，一定要把分子、分母分别乘方，不能把（＝写成（＝。 (3)当分式的分子或分母是多项式时，要给多项式加上括号作为一个整体乘方.例如，（＝ （4）乘方运算时，要先确定乘方结果的符号（负数的偶次方为正，负数的奇次方为负)，再进行计算。 4 分式的加减运算 (1)分子相加减后常利用因式分解化为积的形式，以便与分母约分； (2)当整式与分式相加减时，要把整式看作分母为1的式子进行通分； (3)分式加减的结果应为最简分式或整式； (4)“把分子相加减”就是把各个分式的分子“整体”相加减.当分子为多项式时，则应添加括号，避免出现符号错误. （5）分式加减法运算的一般步骤 (1)同分母分式相加减的一般步骤： ①分母不变，把分子相加减若分子是多项式，则添加括号后相加减.②分子去括号、合并同类项.③把结果化成最简分式或整式； (2) 异分母分式相加减的一般步骤： ①找出各分式的最简公分母，将各分式进行通分，化为同分母分式②按照同分母分式相加减的一般步骤进行计算。 （6） 异分母分式相加减时，为了减少错误，一般先把分母按某一字母降幂（或升幂）排列，并且使最高次项的系数为正，再将分母分解因式. 5 分式的混合运算顺序和方法 （1）分式与分数的混合运算有相同的运算顺序，即先乘方，再乘除，最后加减.有括号的先算括号里面的，同级运算按从左到右的顺序依次进行.在运算过程中，可灵活运用交换律、结合律、分配律； (2)进行分式的混合运算时，要注意各分式中的分子、分母的注意符号的处理.结果中分子或分母的系数（或首项的系数）是负数时，一般要把分子或分母本身的“-”提到分式的前面； (3)分式运算与分数运算一样，结果必须是最简形式。 6 负整数指数幂 一般地，当n是正整数时，=(a≠0)这就是说(a≠0)是的倒数。 (1)底数的限制条件：因为负整数指数革可以变为分（分数)的形式，而分式（或分数）的分母不能为0，所以负整数指数只有底数不为0时才有意义； (2)运算结果的符号：指数为负的结果未必为负，运算结果的符号与指数的正负无关，与指数的奇偶有关； (3)用=(a≠0，n为正整数)可以把负整数指数幂转化为正整数指数；反之，运用(a≠0，n为正整数)可以把正整数指数转化为负整数指数幂。 与负整数指数幂有关的常用结论 与互为倒数；=＝(a≠0，b≠0,m,n都为正整数). 7 整数指数幂的性质 .＝（m,n都是整数） ＝（m,n都是整数） ＝.（n是整数） ÷＝（m,n都是整数，a≠0） ＝（n是整数，b≠0）。 压轴题型一：分式的规律问题 √满分技法 数式规律，图形规律，循环规律等都是常考规律题型，解此类题型，当做阅读理解题型做，从题目中的数式找到相应规律，比如循环类。均匀变化类、不均匀变化类、裂项公式等，用对应的方法解答即可。 1．已知，，，，，， 当为大于的奇数时，； 当为大于的偶数时，； (1)求；（用含的式子表示） (2)_____；（用含的式子表示） (3)计算． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了规律型中数字的变化类，根据数值的变化找出的值，每个一循环是解题的关键． （1）根据，即可求解； （2）根据题意可得规律：每个一循环，即可求解； （3）求出，由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：，， ； （2）， ， ， ， ， ， ， ， 每个一循环， ， ， 故答案为：； （3） ， ． 2．观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 按照以上规律，解答下列问题： (1)写出第4个等式：______； (2)试用含有正整数n的式子表示这个规律，并加以证明； (3)运用规律计算：． 【答案】(1) (2)；证明见解析 (3) 【分析】本题考查数字规律型，观察已知的式子总结规律是解题的关键． （1）观察题中的式子求解即可； （2）根据题中的等式进行归纳总结即可求解； （3）利用（2）中的规律，再裂项进行计算即可． 【详解】（1）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：； （2）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 第n个等式：； 左边， 右边 ， ∴左边右边； （3）解： ． 3．观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题主要考查了数字的变化的规律，列代数式，分式的加减．准确找出等式中的数字与等式序号的关系是解题的关键． （1）观察等式中的4个数中的数字与等式的序号的关系，第一个数的分子是序号的2倍的平方，分母是从1开始的连续奇数，第二个数是从3开始的连续奇数，第三个数均是1，第四个数的分子是从0开始的连续偶数，分母是从1开始的连续奇数，以此规律可得结论； （2）依据（1）中找出的规律得到第个式子，通过计算式子的左边和右边来证明猜想的正确． 【详解】（1）解：观察等式中的4个数中的数字与等式的序号的关系可得：第一个数的分子是序号的2倍的平方，分母是从1开始的连续奇数，第二个数是从3开始的连续奇数，第三个数均是1，第四个数的分子是从0开始的连续偶数，分母是从1开始的连续奇数． 即：． 故答案为：． （2）依据（1）中找出的规律得到第个式子为：． 证明：∵左边， 右边， ∴左边边右边． ∴等式成立． 故答案为：． 4．观察下列式子：，，，…… (1)请你写出第五个式子：____________ (2)请你用字母n写出第n个式子____________，并加以证明。 (3)利用上面知识解决下列问题： 一个容器装有1L水，按照如下要求把水倒出：第1次倒L水，第2次倒出的水量是L的，第3次倒出的水量是L的，第4次倒出的水量是L的……第n次倒出的水量是L的…按照这种倒水的方法，求倒n次倒出的总水量有多少L？ 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）观察各等式，根据每个等式中的分数的分子都是1，分母分别是序号数、序号数加1，求解即可； （2）根据探究出的式子存在的规律写出第n个等式并证明，即可； （3）先列出式子，再根据材料中的运算规律，直接计算和化简． 本题主要考查了数字变化规律的问题，观察、分析、归纳并发现分母与序号的关系的规律，熟练掌握发现的规律，列出代数式，裂项求和，是解决本题的关键． 【详解】（1）∵第一个式子是，， 第二个式子是，， 第三个式子是，， ∴第四个式子是， ， 第五个式子是，； 故答案为： （2）由（1）中归纳的规律知，第n个式子是， ， 证明： ∵左边， 右边 ∴左边=右边， ∴原式成立； 故答案为：； （3） （L）． 故倒n次倒出的总水量有L． 压轴题型二：分式的值问题 √满分技法 分式的值的题型有很多类，比如正数，负数。0，整数等形式， 当为正数时，讨论分子分母为同号情况； 当为负数时，讨论分子分母为异号情况； 当为0时，分子为0； 当为整数时，考虑分子时分母的倍数关系； 当为1时，考虑分子分母相等； 当为-1时，考虑分子分母互为相反数。 5．阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”，分子比分母大，或者分子，分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式）． 如：． 解决下列问题： (1)分式是______（填“真分式”或“假分式”）；将假分式化为带分式为______； (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值； (3)若分式的值为，直接写出的取值范围是______． 【答案】(1)真分式； (2)，，，，， (3) 【分析】本题考查分式的化简求值、新定义． （1）根据假分式和真分式的定义判断分式是真分式还是假分式；根据题目中的例子，可以将假分式化为带分式； （2）先将分式化为带分式，从而可以求得x取什么整数时，该式的值为整数； （3）先将分式化为带分式得，再由推出，进而得，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可得，分式是真分式， ， 故答案为：真分式；； （2）解：∵， ∴或或， ∴当或5或4或2或1或时，的值为整数； （3）解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴即， 故答案为：． 6．我们可以将一些只含有一个字母的分式，转化为整式与新的分式和的形式，其中新的分式的分子中，不含字母，如： 参考上面的方法，解决下列问题： (1)将变形为满足以上结果要求的形式：________________； (2)若变形为满足以上结果要求的形式，若该式的值为整数，求整数的值； (3)将化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为______________． 【答案】(1) (2)，或 (3) 【分析】本题主要考查了分式的性质： （1）把原式先变形为，再约分化简即可得到答案； （2）把原式先变形为，进一步变形得到，再约分化简即可；根据题意可得的值为整数，则为整数，即可得到，解方程即可得到答案； （3）利用完全平方公式把原式变形为，进一步变形得到，再约分化简即可得到答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ， ∵的值为整数， ∴的值为整数， ∴为整数， ∴， ∴或； （3）解： ， 故答案为：． 7．（1）不改变分式的值，使分式的分子与分母中各项的系数都是整数； （2）不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是正数； （3）当满足什么条件时，分式的值：①等于0？②小于0？ 【答案】（1）；（2）；（3）①，② 【分析】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数，分式的值不变；分式的分子、分母、分式改变其中任意两个的符号，分式的值不变． （1）根据分式的性质：分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数，分式的值不变，可得答案； （2）根据分式的分子、分母、分式改变其中任意两个的符号，分式的值不变，可得答案； （3）根据解分式方程，可得答案；根据解不等式，可得答案． 【详解】解：（1）原式； （2）原式； （3）①∵， ∴由得， 解得：； ②，得， 解得：． 8．阅读下面材料后，解答问题． 分母中含有未知数的不等式叫分式不等式，如：；等，那么如何求出它们的解集呢？根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负，其字母表达式为： （a）若，，则，若，，则； （b）若，，则，若，，则． 请解答下列问题： (1)①若，则或________； ②若，则________或________； (2)根据上述规律，求解分式不等式的解集． 【答案】(1)①；②， (2) 【分析】本题考查利用有理数除法法则解分式不等式． （1）根据有理数的除法法则“两数相除，同号得正，异号得负”即可求解； （2）易得与异号，可得两个不等式组，求解即可． 【详解】（1）解：①若，则a、b同号， 则或； ②若，则a、b异号， 则或； 故答案为：；，； （2）（2）原不等式可转化为： （1）或（2） 解（1）得：无解，解（2）得： 所以原不等式的解集是 压轴题型三：分式的新定义问题 9．定义：若分式A与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式A的“可存异分式”．如与．因为，．所以是的“可存异分式”． (1)填空：分式B：________分式A：的“可存异分式”（填“是”或“不是”；）． (2)分式的“可存异分式”是______； (3)已知分式是分式A的“可存异分式”．若整数使得分式A的值是正整数，请写出分式A的值； 【答案】(1)不是 (2) (3)1，3，5； 【分析】本题考查了新定义，分式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）分别化简，，则，即可作答． （2）设的“可存异分式”为，则，再运算，即可作答． （3）因为分式是分式A的“可存异分式”，得，则，因为整数使得分式A的值是正整数，且，即可作答． 【详解】（1）解：依题意， ， ， ∴， ∴分式不是分式的“可存异分式”； 故答案为：不是 （2）解：设的“可存异分式”为，则， ∴， ∴ ． 故答案为：． （3）解：∵分式是分式A的“可存异分式”， ∴， ∴， ∴ ； ∵整数使得分式A的值是正整数，， ∴时，， 时，， 时，， ∴分式A的值是1，3，5； 10．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是______________（填序号）． ①；②；③；④． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式． (3)应用：先化简，并回答取什么整数时，该式的值为整数? 【答案】(1)①③④ (2) (3)时，该式的值为整数． 【分析】本题考查了新定义运算，分式的混合运算，分式有意义的条件，理解“和谐分式”的定义是解题的关键． （1）根据“和谐分式”的定义，对各式进行变形计算，即可解答； （2）根据完全平方公式，进行变形计算，即可解答； （3）将原式化简为，再变形为，从而可得当或时，分式的值为整数，进而可得，，或1，然后根据分式有意义时，，，，，即可解答． 【详解】（1）解：①； ②； ③； ④； 上列分式中，属于“和谐分式”的是①③④， 故答案为：①③④； （2）解： ． （3）解： ， 当或时，分式的值为整数， ，0，或， 分式有意义时，，，，， ， 时，该式的值为整数． 11．定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”，例如： ，则分式与互为“3阶分式”． (1)分式与互为“________阶分式”； (2)已知正数x，y满足，求证：分式与互为“2阶分式”； (3)若分式与互为“1阶分式”（其中a，b均为正数），求的值． 【答案】(1)5 (2)详见解析 (3) 【分析】本题主要考查了新定义，分式的化简，解分式方程等知识点，弄清题中的新定义的含义是解决此题的关键． (1)根据新定义计算即可得解； (2)将代入得，求证计算结果为2即可； (3)列出等式,再根据分式的运算法则计算即可得解． 【详解】（1）解：， 分式与互为“5阶分式” 故答案为：5； （2）证明：把代入得， , 与互为“2阶分式”； （3）解：分式与互为”1阶分式”, , , ,即, 又为正数， ， 的值为． 12．定义：若分式A与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式A的“可存异分式”．如与．因为，．所以是的“可存异分式”． (1)填空：分式________分式的“可存异分式”（填“是”或“不是”；） (2)分式的“可存异分式”是________； (3)已知分式是分式A的“可存异分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； (4)若关于的分式是关于的分式的“可存异分式”，求的值． 【答案】(1)不是 (2) (3)①；②分式A的值是1，3，5； (4)520 【分析】（1）根据“可存异分式”的定义进行判断即可； （2）设的“可存异分式”为，根据定义得出，利用分式混合运算法则求出N即可； （3）①根据“可存异分式”的定义列式计算即可； ②根据整除的定义进行求解即可； （4）设关于的分式的“可存异分式”为M，求出，根据关于的分式是关于的分式的“可存异分式”，得出，求出，代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ∴分式不是分式的“可存异分式”； 故答案为：不是． （2）解：设的“可存异分式”为，则， ∴， ∴ ． 故答案为：． （3）①∵分式是分式A的“可存异分式”， ∴， ∴， ∴ ； ②∵整数使得分式A的值是正整数，， ∴时，， 时，， 时，， ∴分式A的值是1，3，5； （4）解：设关于的分式的“可存异分式”为M，则： ， ∴ ， ∵关于的分式是关于的分式的“可存异分式”， ∴， 整理得：， 解得：， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了分式混合运算的应用，新定义运算，解方程组，代数式求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． 压轴题型四：分式加减的应用 √满分技法 (1)同分母分式相加减的一般步骤： ①分母不变，把分子相加减若分子是多项式，则添加括号后相加减.②分子去括号、合并同类项.③把结果化成最简分式或整式； (3) 异分母分式相加减的一般步骤： ①找出各分式的最简公分母，将各分式进行通分，化为同分母分式②按照同分母分式相加减的一般步骤进行计算。 （7） 异分母分式相加减时，为了减少错误，一般先把分母按某一字母降幂（或升幂）排列，并且使最高次项的系数为正，再将分母分解因式. 13．【提出问题】 已知，，分式的分子、分母都加上后，所得分式的值与相比是增大了还是减小了？ 【观察发现】 观察下列式子：对于真分数，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值变大，即． 【探究验证】 （1）对于，我们可以用“作差法”进行证明： ． ， ，． ，即． ； （2）由（1）我们可猜想与的大小关系是：_____，请你用“作差法”证明你的结论； 【拓展思考】 （3）若，时，（2）中的不等式是否依然成立？若不成立，请写出正确的式子； 【方法应用】 （4）已知甲、乙两船同时从港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为、，水流速度为，两船同向航行1小时后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为、，请比较，的大小，判断哪条船先返回港？并说明理由． 【答案】（2），见解析；（3）不成立，正确的应该是；（4）当返回为顺水时，乙船先返回，当返回为逆水时，甲船先返回，见解析 【分析】本题考查的是列代数式，分式的加减运算，分式的值的大小比较，理解题意，选择合适的方法解题是关键． （2）根据作差法求解即可； （3）根据作差法求解即可； （4）分为当返回为顺水时，和当返回为逆水时，求出，即可求解． 【详解】解：（2），理由如下： ， ∵，， ∴，， ∴，即， ∴． （3）不成立，正确的应该是． 理由如下：根据（2）可得， ∵，， ∴，， ∴，即， ∴． （4）当返回为顺水时，，． ， ∵， ∴，即． 当返回为逆水时，，． ∵， ∴，即． 所以当返回为顺水时，乙船先返回，当返回为逆水时，甲船先返回． 14．【问题提出】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或式的大小，其中，“作差法”就是常用方法之一，即要比较M与N的大小，只要作出它们的差． （i）若，则；（ii）若，则；（iii）若，则； 【尝试应用】 （1）比较图中两个长方形周长的大小； （2）若，，且，试比较代数式与的大小， 【联系生活】 （3）在某次1000米长跑中，甲同学前半程以速度匀速跑，后半程以速度为速跑．乙同学前一半时间以速度匀速跑，后一半时间以速度匀速跑，请问谁先到达终点？ 【答案】（1）第一个长方形的周长大于第二个长方形的周长；（2）；（3）乙先到达终点． 【分析】（1）表示出两个长方形的周长，运用“作差法”即可比较大小； （2）运用“作差法”计算，综合运用完全平方公式，提公因式和公式法进行因式分解，最后得到根据，，得到，即可解答； （3）先计算甲同学所需时间：，乙同学所需时间为，再计算，根据，，得到，即可得到，从而解答． 【详解】（1）第一个长方形的周长为：， 第二个长方形的周长为：， ∵ ， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴第一个长方形的周长大于第二个长方形的周长； （2）∵， ∴，， ∴ ， ∵，，， ∴， ∴； （3）甲同学所需时间：， 设乙同学所需时间为x，则， 解得：， 即乙同学所需时间为， ∵ ， ∵，，， ∴， ∴， ∴乙先到达终点． 【点睛】本题考查列代数式，整式的加减，分式的加减，运用完全平方公式进行变形计算，因式分解，判断式子的正负，掌握“作差法”是解题的关键． 15．（阅读理解） 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而比较两个数或代数式的大小一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则． 例：已知，其中，求证：． 证明：， 因为，所以，故． 【新知理解】 （1）比较大小：______．（填“>”，“=”，“<”） 【问题解决】 （2）甲、乙两个平行四边形，其底和高如图所示，其面积分别为，请比较的大小关系． 【拓展应用】 （3）小亮和小莹同去一家水果店购买苹果，两人均购买了两次，两次购买苹果的单价不同，两人的购货方式也不同．小亮每次购买1千克，小莹每次花10元钱购买．设两人第一次购买苹果的单价均为m元/千克，第二次购买苹果的单价均为n元/千克（m，n是正数，且），试分析小莹和小亮谁的购货方式更合算？ 【答案】（1）（2）（3）小莹的购货方式更合算，理由见解析 【分析】此题考查了作差法比较两个数的大小，多项式乘以多项式，整式加减运算、分式加减法的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题中的方法作差解答； （2）先分别表示出两个平行四边形的面积，再利用作差法计算判断； （3）先分别表示两人两次购买苹果的平均单价，再用作差法计算比较大小即可判断． 【详解】（1）∵， ∴，即 故答案为：； （2）， ， ． ， ， ，即． （3）小亮两次购买苹果共花费元，两次购买苹果的平均单价为元/千克； 小莹两次购买苹果共花费20元，两次购买苹果的平均单价为元/千克； ， m，n是正数，且， ， ， 小莹的购货方式更合算． 16．阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式，我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如： ； ． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：①分式是______分式（填“真”或“假”）． ②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式： ______＋______． (2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数． (3)一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍．另一个两位数n，十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同．若这个三位数的平方能被这个两位数整除，求满足条件的两位数n． 【答案】(1)①真；②， (2)，或或或 (3)36 【分析】（1）①根据真分式的定义判断即可；②根据材料中的方法变形即可得到结果； （2）原式利用材料中的方法变形，即可确定出分式的值为整数时整数的值； （3）设三位数的百位数字为，十位数字为，然后表示出，的表达式，再计算，然后利用材料中的方法变形，进行讨论即可． 【详解】（1）解：①的分子的次数小于分母的次数， ∴分式是真分式， 故答案为：真； ②， 故答案为：，； （2）解： 若这个分式的值为整数， 则或或或， ∴或或或； （3）解：设三位数的百位数字为，十位数字为， 则个位数字为，，， ， ， ， ， ， 当时， 为正整数， ， 当时，且为正整数， 不可能为整数， ． 【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 1．已知． (1)当x取何值时，该分式无意义？ (2)当x取何值时，y的值是0？ (3)当x取何值时，y的值是负数？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查的是分式的值，熟练掌握分式无意义的条件，分式值为零的条件，以及分式为负数的条件是解题关键． （1）根据分式无意义的条件，分母为0求解即可； （2）根据分式值为0的条件：分子为0，分母不为0求解即可； （3）先判断分子非负，则问题转化为分母小于0求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得： ∴当时，分式无意义； （2）解：由题意得， 则，， ∴； （3）解：由题意得，， ∵， ∴，， 解得：． 2．已知，且满足． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)17 (2)7 【分析】本题考查代数式求值，分式的求值： （1）根据，得到，整体代入法进行求解即可； （2）等式两边同时除以，得到，利用完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．已知，代数式：，，． (1)因式分解； (2)在，，中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了分解因式，化简分式： （1）提取公因式分解因式即可； （2）分选择A、B，选择A、C，选择B、C三种情况，把选择的两个式子分别作为分子和分母组成分式，再化简分式即可． 【详解】（1）解：； （2）解：选择A、B，则所得分式为或； 选择A、C，则所得分式为或； 选择B、C，则所得分式为或． 4．阅读材料：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”：分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：、这样的分式就是假分式；如：、这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的；假分式也可以化为带分式（即整式与真分式相加）． 如：；． 根据上面材料回答下列问题： (1)分式是______；（填“真分式”或“假分式”） (2)假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x是______； (3)将假分式化为带分式． 【答案】(1)真分式 (2)；或或或； (3) 【分析】本题主要考查了分式的约分： （1）根据当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，假分式化为带分式的方法，即可求解； （2）仿照题意可得，则是整数，据此可得或，解之即可得到答案； （3）把原式先变形为，再仿照题意进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，分式是真分式； （2）解：； ∵的值是整数， ∴是整数， ∴是整数， ∴或， ∴或或或； （3）解： ． 5．某物流公司自主研发智能配送机器狗，将在一楼仓库和二楼分拣中心执行配送任务．如图，公司东侧设置单向上行电动扶梯，西侧设置单向下行电动扶梯，电动扶梯的长度均为，其运行速度均为当扶梯静止时，机器狗上行、下行的速度分别为，．规定：①工作期间电动扶梯始终处于运行状态；②机器狗只可选择一侧的扶梯，并在一楼和二楼间进行一次往返，视为完成一次配送任务． (1)假如机器狗选择西侧扶梯运行时完成一次配送任务，求所需时间；（用含，的代数式表示） (2)请你判断一楼仓库设置在公司哪一侧，使得机器狗的配送效率更高？并说明理由． 【答案】(1) (2)机器狗选择从东侧扶梯运行时完成一次配送任务配送效率更高；理由见解析 【分析】本题主要考查了分式加减运算的应用，解题的关键是根据题意列出算式，熟练掌握分式加减运算法则． （1）根据速度、路程、时间关系，分别求出机器狗上行所用时间和下行所用时间，然后相加即可； （2）先求出机器狗选择东侧扶梯运行时完成一次配送任务，所需时间，然后与解析（1）中求出的时间进行比较即可． 【详解】（1）解：机器狗从西侧扶梯上行需要的时间为：， 机器狗从西侧扶梯下行需要的时间为：， 机器狗选择西侧扶梯运行时完成一次配送任务，所需时间为： ； （2）解：机器狗选择从东侧扶梯运行时完成一次配送任务，配送效率更高；理由如下： 机器狗从东侧扶梯上行需要的时间为：， 机器狗从东侧扶梯下行需要的时间为：， 机器狗选择东侧扶梯运行时完成一次配送任务，所需时间为： ， ∵， ， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， 即， ∴机器狗选择从东侧扶梯运行时完成一次配送任务，所需时间较少，配送效率更高． 6．某地产公司推出“主房+多变入户花园”的两种户型．即在图1中边长为米的正方形主房进行改造． 户型一是在主房两侧均加长米．阴影部分作为入户花园，如图所示． 户型二是在主房一边减少米后，另一边再增加米，阴影部分作为入户花园，如图所示． 解答下列问题： (1)设户型一与户型二的主房面积差为，入户花园的面积差为，试比较和的大小，并说明理由； (2)若户型一的总价为万元，户型二的总价为万元，试判断哪种户型（包括入户花园）的单价较低，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)户型二的单价较低，理由见解析 【分析】（）根据图形分别表示出户型一的主房面积和户型二的主房面积，进而求出，再分别求出户型一的入户花园的面积和户型二的入户花园的面积，求出，最后利用作差法比较即可； （）分别求出户型一和户型二的单价，再利用作差法比较即可； 本题考查了列代数式，整式的加减和分式加减的应用，掌握整式和分式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： 由题意得，户型一的主房面积为平方米，户型二的主房面积为平方米， ∴平方米， 户型一的入户花园的面积为平方米， 户型二的入户花园的面积为平方米， ∴平方米， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：户型二的单价较低，理由如下： 户型一的单价为：万元平方米， 户型二的单价为：万元平方米， ∵ ， ∵， ∴，，， ∴， 即， ∴户型二的单价较低． 7．【阅读理解】在比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是利用“作差法”，即要比较代数式M，N的大小，只要作出差，若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)若，则______0（填“”“”或“”）； (2)已知，，当时，比较A与的大小，并说明理由； (3)小王和小张的加油习惯不同，小王每次加300元的油（油箱未加满），而小张每次都把油箱加满．现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，设第一次油价为x元/升，第二次油价为y元/升． ①小王两次加油的平均单价为______元/升，小张两次加油的平均单价为______元/升（用含x，y的代数式表示，化简结果）； ②请通过计算判断，小王和小张的两种加油方式中，哪种平均单价更低？ 【答案】(1) (2)； (3)①，；②小王加油的平均单价更低． 【分析】（1）根据分式的基本性质化简得到，进而求解； （2）化简，由可得，进而求解； （3）①根据加油量=费用÷油的单价，平均单价=两次加油花的钱÷两次加油的总量列代数式即可； ②用小王的平均油价减去小张的平均油价，如果大于0则小张的省钱，如果小于0则小王的省钱，等于0则费用一样； 【详解】（1）解：， ， ， 则， ， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴ ， ∵，∴，∴，即； （3）解：①小王两次所加油的平均单价为： 元/升； 设小张油箱加满能加a升． 小张两次加油的平均单价为元/升； 故答案为：，； ②， ∵，， ∴当时，，即， 两种加油方式的平均单价相同； 当时， 即，即， 答：小王加油的平均单价低，小王的加油方式更省钱． 【点睛】本题考查分式的基本性质，解题关键是掌握分式的基本性质，通过题干方法作差求解． 8．阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即 所以： 所以的值为 该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)若，求的值； (3)拓展：已知，，，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了分式的运算、运用完全平方公式分解因式，解决本题的关键是理解题目给出的解题思路，仿照例题的解题思路解题． 根据可得，根据求出的值，可得； 仿照例题先求倒数可得：，根据可求的值，可得； 仿照例题求倒数可得：，，，可得，所以可得，利用倒数法可得． 【详解】（1）解：，可知， ， ， ， ； （2）解：，可知， ， ， ， ， ； （3）解：，，，可知，，， ，，， ，，， ， ， ， ． 9．设n为正整数，且， ， … ． (1)求证：； (2)若，求正整数a，b的值． 【答案】(1)见解析 (2)或或或 【分析】本题考查分式的化简，整数解． （1）运用分式的运算法则计算即可； （2）由（1）可得：，，从而．设，，上式可变形为，即，根据a，b，s，t为正整数可知为正整数可得t的值，即可解答． 【详解】（1） （2）由（1）可得：，， ∵ ∴， 设，， 则，即， 故， 由a，b为正整数可知s，t为正整数， 则为整数， ∴或或或， ∴或或或， 则或或或． 10．观察下列等式：，，， 把以上三个等式两边分别相加得：． 这种求和的方法称为裂项求和法：裂项法的实质是将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的． (1)猜想并写出：＝______． (2)规律应用：计算：； (3)拓展提高：计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）逆用分式的减法法则计算即可． （2）根据（1）的特点,裂项后求和，注意其中的规律，清楚被销项和保留项，计算即可． （3）把分母的各数中各提取2，转化成（2）式问题计算即可． 【详解】（1）∵=， 故答案为：． （2） = = =． （3） = = = = =． 【点睛】本题考查了分式的加减混合运算，正确找到规律，灵活运用规律是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$