专题11 相交线与平行线（5题型）-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（沪科版2024）

专题11 相交线与平行线 【模型一：铅笔头模型】 ◎结论1：如图所示，AB∥CD，则∠B+∠BOC+∠C=360° 【证明】如图，过点 O作 OE//AB. ∵AB∥CD, OE//AB//CD. ∴∠B+∠1=180°,∠C+∠2=180°, ∴∠B+∠1+∠2+∠C=360° ∴∠B＋∠BOC+∠C=360°. ◎结论2：如图所示，∠B+∠BOC+∠C=360°，则AB∥CD. 【证明】如图，过点 O作EF//AB， 则∠B＋∠1=180° ∵∠B+∠BOC+∠C=360°, ∴∠C+∠2=180° ∴EF∥CD 又∵EF//AB， ∴AB//CD. “异形”铅笔头：拐点数n,∠A+...+∠C=180°×（n+1） 拐点数：1 拐点数：2 拐点数：n 【模型二：猪蹄模型】 ◎结论1：若AB∥CD，则∠B0C=∠B+∠C 【证明】过点 O作OE//AB，如图. ∵AB∥CD, ∴OE∥CD, ∴∠B=∠1,∠C=∠2, ∴∠1+∠2=∠B+∠C 即∠BOC=∠B＋∠C. ◎结论2：若∠BOC=∠B+∠C，则AB∥CD. 【证明】过点 O作OE∥AB， 则 ∠B=∠1, ∵∠BOC=∠B+∠C， ∠BOC=∠1+∠2， ∴∠1+∠2=∠B+∠C ∴∠C=∠2 ∴OE∥DC， 又OE∥AB， ∴AB∥CD. 【模型三：锯齿模型】 ◎结论 如图所示，AB∥EF，则∠B＋∠D=∠C十∠E 朝向左边的角的和=朝向右边的角的和 【证明】如图，过点C作MN//AB，过点D作PQ//AB. ∵AB//EF, ∴AB//MN// PQ//EF. ∴∠B=∠BCN,∠CDP=∠DCN,∠PDE=∠E, ∴∠B＋∠CDP＋∠PDE=∠BCN+∠DCN+∠E， ∴B+∠CDE=∠BCD＋∠E，得证. 锯齿模型的变换解题思路 拆分成猪蹄模型和内错角 拆分成2个猪蹄模型 【模型四：鹰嘴模型】 点P在EF右侧，在AB、 CD外部 结论1：若AB∥CD，则∠P＝∠AEP－∠CFP或∠P＝∠CFP－∠AEP； 结论2：若∠P＝∠AEP－∠CFP或∠P＝∠CFP－∠AEP，则AB∥CD． 点P在EF左侧，在AB、 CD外部 结论1：若AB∥CD，则∠P＝∠CFP－∠AEP或∠P＝∠AEP－∠CFP； 结论2：若∠P＝∠CFP－∠AEP或∠P＝∠AEP－∠CFP，则AB∥CD． 鹰嘴模型总结： 技巧：①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少平行线 压轴题型一：动角问题 √满分技法 动角问题和动点问题的解法类似，要掌握以下步骤： 1， 弄清角度旋转的方向---顺时针还是逆时针； 2， 弄清动角的速度-即每秒运动的角度是多少； 3， 掌握运动的角度＝速度×时间。 4， 根据题目中角度之间的数量关系列出运动后关于动角的方程，求出未知数。 1．问题提出 已知一副直角三角尺按如图方式拼接在一起，其中与直线重合，，． （1）在图中，的度数为______． 问题探究 （2）如图，三角尺固定不动，将三角尺绕着点以每秒的速度顺时针方向旋转，且在旋转过程中，两块三角尺均在直线的上方．设三角尺的旋转时间为秒，当平分时，请求出的值． 问题解决 （3）如图，若三角尺绕着点以每秒的速度顺时针方向旋转的同时，三角尺也绕着点以每秒的速度逆时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角尺均在直线的上方，且当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．设三角尺的旋转时间为秒．在旋转过程中，是否存在某一时刻？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）秒；（3）秒或秒 【分析】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的变化，角平分线的定义，角的计算，利用三角板的特殊角，分清运动的情形是解题的关键． （1）根据邻补角的定义求解即可；根据算出旋转的度数，从而得到； （2）先求出旋转角，再除以转动速度即可； （3）分当在左侧和当在右侧两种情形，结合图形分别求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴, 故答案为：； （2）当边平分时， ∵， ∴， ∴旋转角为：， ∴（秒）； （3）存在，理由是： 在旋转过程中，， 当在左侧时， ∵， ∴， 解得：； 当在右侧时， ∴ 综上：的值为秒或秒． 2．如图，，、分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，射线绕点逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点、点不停地旋转，若射线转动的速度是秒，射线转动的速度是秒，且、满足． (1)______，______； (2)若射线、射线同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线、射线互相垂直． (3)若射线绕点顺时针先转动15秒，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线第一次到达之前，问射线再转动多少秒时，射线、射线互相平行？ 【答案】(1)8；2 (2)9秒 (3)6秒或10秒 【分析】本题主要考查了平行线的性质，非负数的性质以及角的和差关系的运用，解方程的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：若两个非负数的和为0，则这两个非负数均等于0． （1）依据非负数的性质即可得到，的值； （2）依据，，即可得到射线、射线第一次互相垂直的时间； （3）分两种情况讨论，依据时，，列出方程即可得到射线、射线互相平行时的时间． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ，， ，， 故答案为：8；2； （2）解：设至少旋转秒时，射线、射线互相垂直． 如图，设旋转后的射线、射线交于点，则， ， ， ， ， 又，， ， ， ∴至少旋转9秒时，射线、射线互相垂直； （3）解：设射线再转动秒时，射线、射线互相平行． 如图，射线绕点顺时针先转动15秒后，转动至的位置，则， ∴； 分两种情况： ①当时，，， ∵， ∴， ，， 当时，， ∴， 解得； ②当时，，， ，， 当时，， 此时，， 解得； 综上所述，射线再转动6秒或10秒时，射线、射线互相平行． 3．如图，，直线交于点，交于点，点是线段上一点，分别在射线上，连结的平分线与的平分线交于点． (1)当时，求的度数； (2)试猜想与的数量关系，并说明理由； (3)过点作，交的延长线于，将直线绕点逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应直线为，同时，将绕点顺时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当直线首次与直线重合时，整个运动停止．在（1）的条件下，若，经过秒后，直线恰好与的一条边平行，请直接写出所有满足条件的的值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，10，，，40 【分析】题目主要考查平行线的判定和性质，理解题意，根据题意分情况分析，建立方程求解是解题关键． （1）过点E作，根据平行线的判定和性质即可得出结果； （2）过点F作交于点K，根据平行线的判定和性质得出，设，，结合图形及等量关系即可得出结果； （3）由（1）得，，确定，再由角平分线得出，确定，分三种情况分析求解即可 【详解】（1）解：过点E作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）过点F作交于点K， ∵，，， ∴， ∵平分， ∴， 设，， ∵， ∴ 则， ∵， ∴ 则， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴； （3）由（1）得，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵直线绕点逆时针旋转，速度为每秒， ∴， ∵绕点顺时针旋转，速度为每秒， ∴， 当时，如图所示： ， ∴， 解得：； 当旋转到如图所示位置时， ，， 同理得：， 解得：； 当时，如图所示： ， ∴， ∴， 解得：； 当旋转到如图所示位置： 同理得：， 解得：； 当时，如图所示： 同理得：， 解得：； 当旋转到如图所示位置： 同理得：， 解得：（不符合题意，舍去）； 综上所述，t的值为，10，，，40． 4．“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，如图1所示，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒4度，灯B转动的速度是每秒2度，假定主道路是平行的，即，且． (1)填空：___________； (2)若灯B射线先转动15秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ (3)如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达之前、若射出的光束交于点C，过C作交于点D、且，则在转动过程中，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 【答案】(1)60 (2)，当秒或秒时，两灯的光束互相平行； (3)不会变化， 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． （1）根据，，即可得到的度数； （2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况讨论：当时，根据，可得；当时，根据，可得； （3）设灯A射线转动时间为t秒，根据，，即可得出，据此可得和关系不会变化． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：60； （2）解：设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行， ①当时，如图1， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； ②当时，如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，当秒或秒时，两灯的光束互相平行； （3）解：和关系不会变化，． 理由如下： 设灯A射线转动时间为t秒， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴和关系不会变化． 压轴题型二：拐点模型问题 √满分技法 模型同开头部分。 5．当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等例如：在图①、图②中，都有．设镜子与的夹角． (1)如图①，若，判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由． (2)如图②，若，入射光线与反射光线的夹角．探索α与β的数量关系，并说明理由． (3)如图③，若，设镜子与的夹角，入射光线与镜面的夹角，已知入射光线从镜面开始反射，经过n（n为正整数，且）次反射，当第n次反射光线与入射光线平行时，请直接写出γ的度数．（可用含有m的代数式表示） 【答案】(1),理由见解析 (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了平行线的性质、列代数式，解决本题的关键是掌握平行线的性质，注意分类讨论思想的利用． （1）在中，，可得，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，，进而可得； （2）在中，，可得，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，，在中，，可得α与β的数量关系； （3）分两种情况画图讨论：①当时，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等，及内角和，可得．②当时，如果在边反射后与平行，则，与题意不符；则只能在边反射后与平行，根据三角形外角定义，可得，由，且由（1）的结论可得，． 【详解】（1），理由如下： 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2），理由如下： 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得，， 在中，， ∴ ； （3）或． 理由如下：①当时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ②当时，如果在边反射后与平行，则， 与题意不符； 则只能在边反射后与平行， 如图所示： 根据三角形外角性质得，， ∵， ∴， 由，且由（1）的结论可得，， 则． 综上所述：γ的度数为或． 6．如图，已知直线，且和、分别交于A、B两点，点P在直线上． (1)试说明，，之间的关系式；（要求写出推理过程） (2)如果点P在A、B两点之间（点P和A、B不重合）运动时，试探究，，之间的关系是否发生变化？（只回答） (3)如果点P在A、B两点外侧（点P和A、B不重合）运动时，试探究，，之间的关系．（要求写出推理过程） 【答案】(1)，见解析 (2)不变化 (3)或，见解析 【分析】（1）过点P作，利用平行线的判定和性质，角的和解答即可． （2）过点P作，利用平行线的判定和性质，角的和解答即可． （3）利用分类思想，结合平行线的判定和性质解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，角的和，分类思想，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：； 理由：如图，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解： ，不会变化，其证明与第一问相同． （3）证明：或； 理由：当点P在下侧时，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴． 当点P在上侧时，同理可得：． 7．小明同学在完成七年级下册数学第七章的线上学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下． (1)如图①，已知，则成立吗？请说明理由； (2)如图②，已知点在点的左侧，，平分，平分，，所在直线交于点．若，，求的度数； (3)如图③，点在点的右侧，点在点的右侧，若，，，平分，平分，请你求出的度数（用含，的式子表示）． 【答案】(1)成立，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算，解题的关键是过拐点构造平行线： （1）过点作，利用平行线的性质和角的和差关系即可得出结论； （2）过点作，利用平行线的性质，角平分线的定义和角的和差关系即可得出结果； （3）过点作，利用平行线的性质，角平分线的定义和角的和差关系即可得出结论． 【详解】（1）解：成立．理由： 如图，过点作． ， ， ，， ． （2）如图，过点作． ， ． ， ． 平分， ， ． 平分，， ， ， ． （3）如图，过点作． ， ． 平分，平分， ，， ，， ，， ． 8．【探究】（1）如图1，，点E在直线与之间，连接，，试说明：．请完成下面的解题过程． 解：过点E作， （               ）． ，， （               ）， ， ， ； 【应用】（2）如图2，，点F在，之间，与交于点M，与交于点N．若，，求的度数； 【拓展】（3）如图3，直线在直线，之间，且，点G，H分别在，上，Q是直线上的一个动点，且不在直线上，连接，．若，直接写出的度数．    【答案】（1），两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行，；（2）；（3）或 【分析】本题考查了平行线的判定及性质； （1）由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，则，即可得证； （2）利用（1）中的结论可知，，则可得的度数为，由对顶角相等可得，即可求解； （3）结合（1）中的结论可得，分类讨论：是钝角或是锐角时两种情况，分别根据平行线的性质求解即可． 掌握平行线的判定及性质，并能利用平行线的判定及性质进行熟练求解是解题的关键． 【详解】解：（1）过点E作， （两直线平行，内错角相等）． ，， （平行于同一条直线的两条直线平行）， ， ， ； （2）由（1）中探究可知，， ，且， ， ； 故答案为：，两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行，； （3）如图，当为钝角时，    由（1）中结论可知， ， ； 当为锐角时，如图，    由（1）中结论可知， ， 即， 综上，的度数为或． 压轴题型三：三角板角度问题 √满分技法 1， 三角板的隐藏度数要弄清楚，两个三角板都是特殊的直角三角形； 2， 根据三角板摆放的位置不同，角度之间的关系也会有所变化，在寻找角之间关系的时候，要注意特殊角度额存在，还有能转化为拐点模型的，要转化，可使问题简单化。 9．【操作发现】 （1）如图①，把一块含角的直角三角板的边放置在长方形直尺的边上，请直接写出__________， __________； 【问题解决】 （2）如图②，在（1）的基础上把三角板绕点B逆时针旋转，当，且点C恰好落在边上时，求的度数；（用含n的代数式表示） 【延伸探究】 （3）在（2）的基础上，当时，是否存在n的值使三角板某一边所在的直线与直尺（有四条边）某一边所在的直线垂直？如果存在，请直接写出所有n的值和对应的那两条垂线；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）120，90；（2），；（3）存在，见解析 【分析】（1）根据平行线的性质和邻补角的定义和平行线的性质解答； （2）根据邻补角的定义求出，再根据两直线平行，同位角相等可得，根据两直线平行，同旁内角互补求出，然后根据周角等于计算即可得到； （3）结合图形，分、、三条边与直尺垂直讨论求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴，； 故答案为，； （2）如图2． ， ， ， ， ， ， ； （3）当时， ， ， ； 当时， ， ，； 当时， ． 【点睛】本题考查了角的计算，垂线的定义，主要利用了平行线的性质，直角三角形的性质，读懂题目信息并准确识图是解题的关键． 10．将一副三角板按图1方式摆放，分别作出的平分线，求的度数． 【初步认识】 （1）小明与小丽将这副三角板分别按图2、图3所示摆放，分别平分、．图2中，在同一条直线上，则 　　°；图3中，，则 　°； 【深度理解】 （2）受此启发，小明与小丽求出图1所示的一般情况下∠MON的度数．请你猜想图1中的度数并说明理由； （3）你觉得明明和丽丽解决以上问题的方法，用到的数学思想是 　 ； A．由特殊到一般     B．方程    C．分类讨论     D．整体 【拓展应用】     （4）若将条件“分别作出的平分线改为“在和内部分别作出射线，使得”（n为正整数），请你直接写出的度数 °（用含n的代数式表示）； 【大胆创新】 （5）善于思考的小明同学在本题基础上设计了一道新题：将图2中的三角板绕点O逆时针旋转（旋转角度不超过），使得边与另一块三角板的一边平行，则旋转的角度为 ° ． 【答案】（1）；；（2），理由见解析；（3）A；（4）；（5）45或75或165 【分析】（1）根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论； （2）根据已知条件得到，根据角平分线的定义得到 ，于是得到结论； （3）小明与小丽解决以上问题的方法，用到的是由特殊到一般的数学思想； （4）根据已知条件得到，根据角平分线的定义得到，于是得到结论． （5）分三种情况画出图形求解即可． 【详解】解：（1）图2中，， 图3中， ； 故答案为：；； （2）猜想：，理由如下： 图中，， ， 和是和的角平分线， ， ； （3）明明和丽丽解决以上问题的方法，用到了由特殊到一般的数学思想， 故选：A． （4）， ， ， ， ． 故答案为：； （5）如图，当时，则； 如图，当时，设交于点E， 则， ∴, ∴； 如图，当时，设交于点E， 则， ∴, ∴， ∴． 综上可知，旋转的角度为或或． 故答案为：45或75或165． 【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义，平行线的性质，三角形的内角和定理，通过图形直观得出各个角之间的和差关系，是解决问题的关键． 11．如图，将一副三角板的两个直角顶点叠放在一起，其中．    (1)如图①，点在直线的上方，若，则______，______； (2)如图②，点在直线的下方，若，求的度数； (3)若保持三角板不动，三角板绕直角顶点顺时针旋转一周，当时，直接写出的度数． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】本题考查的是平行线的性质，角的和差运算； （1）先求解，，即可得结论； （2）由平行线的性质可得，再结合角的和差运算可得答案； （3）如图，当点在直线的上方时，证明，如图，当点在直线的下方时，证明，再进一步可得答案. 【详解】（1）解：∵，， ∴，； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，当点在直线的上方时，    ∵，， ∴， ∵， ∴； 如图，当点在直线的下方时，    ∵，， ∴， ∵， ∴； 综上：为或. 12．（1）【感知】将一副三角板按如图①所示的方式放置，使三角板的直角顶点E落在上，，且，则的大小为 度． （2）【探究】如图②，将图①一个三角板放在一组直线与之间（其中），并使直角顶点A在直线上，顶点C在直线上，现测得，试说明． （3）【拓展】现将图①的三角板按图③方式摆放（其中），使顶点C在直线上，直角顶点A在直线上．若，直接写出与之间的关系式． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】本题是几何变换综合题，主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质可得，所以可得，进一步可求得答案； （2）由已知可求得，即可根据“同旁内角互补，两直线平行”得出结论； （3）根据平行线的性质可得，进一步可得，再根据，即可得出结论． 【详解】解：（1）， ， ， ； 故答案为：75； （2），理由如下： ， ， ， ， ， ； （3），理由如下： ， ， ， ， ， ， ． 压轴题型四：直线“交点类”个数问题 √满分技法 有以下三个公式属于此类问题常用的公式： ， （n−1）×n， ，注意这三个公式之间的用法，针对不同的题型用的公式不一样。 13．问题：我们知道平面内两条直线的位置关系有两种：相交、平行，那在同一平面内多条直线的位置关系又如何？现准备研究在同一平面内，有且仅有两条直线平行的条直线产生的交点个数情况．（是不小于3的正整数） (1)【初探】当时，交点个数有________个；当时，交点个数有________个； (2)【再探】当时，交点个数最多有________个； (3)【归纳】请你求出在同一平面内，有且仅有两条直线平行的条直线最多能产生多少个交点； (4)【运用】在同一平面内，有且仅有两条直线平行的12条直线最多能产生多少个交点，此时，图中共有多少对对顶角？ 【答案】(1)2；3或5 (2)9 (3) (4)65；130对 【分析】（1）按要求画出图形，数一数即可； （2）按要求画出图形，数一数即可； （3）由（1）（2）的图及结果，按照不重不漏的原则，分别找出取、、、等最多交点数与之间的关系，即可求解； （4）代入（3）的代数式求解即可，根据对顶角的定义，可知每两条直线相交的一个交点处有两对对顶角，从而可求． 【详解】（1）解：当时，如图： 故答案：． 当时，如图 故答案：3或5． （2）解：当时，如图 故答案：． （3）解：由（1）（2）得： 当时，交点个数最多：； 当时，交点个数最多：； 当时，交点个数最多：； ．．．．．． 条直线时，交点个数最多：    故答案：． （4）解：当时，， ． 答：有且仅有两条直线平行的12条直线最多能产生65个交点，此时共有130对对顶角． 【点睛】本题考查了以直线交点数为背景的探究规律问题，准确找出规律是解题的关键． 14．观察图形，寻找对顶角（不含平角）． （1）两条直线相交于一点，如图①，共有__________对对顶角； （2）三条直线相交于一点，如图②，共有__________对对顶角； （3）四条直线相交于一点，如图③，共有__________对对顶角； （4）根据填空结果探究：当n条直线相交于一点时，所构成的对顶角的对数与直线条数之间的关系； （5）根据探究结果，试求2018条直线相交于一点时，所构成对顶角的对数． 【答案】（1）2；（2）6；（3）12；（4）（n-1）×n；（5）4070306（对）． 【分析】由图示可得， （1）两条直线相交于一点，形成2对对顶角； （2）三条直线相交于一点，形成6对对顶角， （3）4条直线相交于一点，形成12对对顶角； 依次可找出规律： （4）若有n条直线相交于一点，则可形成（n−1）n对对顶角； （5）将n=2018代入（n−1）n，可得2018条直线相交于一点可形成的对顶角的对数． 【详解】解：（1）如图①，图中共有1×2=2对对顶角， 故答案为2； （2）如图②，图中共有2×3=6对对顶角， 故答案为6； （3）如图③，图中共有3×4=12对对顶角， 故答案为12； （4）根据计算结果，可以发现：2=1×2，6=2×3，12=3×4，…， 即对顶角的对数与直线条数的对应关系是：对顶角的对数=（直线条数−1）×直线条数， 因此，当n条直线相交于一点时，所构成的对顶角的对数是（n−1）×n． （5）2018条直线相交于一点时，所构成的对顶角的对数是（2018−1）×2018=2017×2018=4070306（对）． 【点睛】本题主要考查了多条直线相交于一点，所形成的对顶角的个数的计算规律．即若有n条直线相交于一点，则可形成（n−1）n对对顶角． 15．观察图形，回答下列各题： （1）图A中，共有＿＿＿＿对对顶角； （2）图B中，共有＿＿＿＿对对顶角； （3）图C中，共有＿＿＿＿对对顶角； （4）探究（1）--（3）各题中直线条数与对顶角对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成＿＿＿＿＿＿＿＿对对顶角； 【答案】（1）2对；（2）6对；（3）12对；（4）n(n-1) (n≥2). 【详解】试题分析：（1）图A中，共有2对对顶角；（2）图B中，共有6对对顶角；（3）图C中，共有12对对顶角；（4）找出对顶角的对数与直线的条数n之间的关系式为：n（n－1）（n≥2）. 试题解析： （1）2对； （2）6对； （3）12对； （4）2条直线相交时，对顶角对数为：1×2=2对； 3条直线相交时，对顶角对数为：3×2=6对； 4条直线相交时，对顶角对数为：4×3=12对； … n条直线相交时，对顶角对数为：n（n－1）（n≥2）对. 点睛：本题关键在于找出直线的条数与对顶角对数的关系式. 16．在同一平面内有n条直线，任何两条不平行，任何三条不共点． 当时，如图（1），一条直线将一个平面分成两个部分； 当时，如图（2），两条直线将一个平面分成四个部分； 则：当时，三条直线将一个平面分成 部分； 当时，四条直线将一个平面分成 部分； 若n条直线将一个平面分成个部分， 条直线将一个平面分成 个部分． 试探索、、n之间的关系． 【答案】7；11； 【分析】一条直线可以把平面分成两部分，两条直线最多可以把平面分成4部分，三条直线最多可以把平面分成7部分，四条直线最多可以把平面分成11部分，可以发现，两条直线时多了2部分，三条直线比原来多了3部分，四条直线时比原来多了4部分，…，n条时比原来多了n部分． 【详解】解：当时，分成2部分， 当时，分成部分， 当时，分成部分， 当时，分成部分， 规律发现，有几条直线，则分成的部分比前一种情况多几部分， ∴、、n之间的关系是． 【点睛】本题是对图形变化问题的考查，根据前四种情况发现有几条直线则分成的空间比前一种增加几部分是解题的关键． 压轴题型五：画图求最值问题 √满分技法 画图求最值问题一般涉及知识点：垂线段最短和两点之间线段最短的原理。 17．用无刻度直尺在网格中画图（图中的点A、B、C、D都在网格的格点上）： (1)画直线交于点G； (2)过点A画直线，使； (3)在直线上画出点O，使最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法． （1）直接连接，交于一点，该点即为点G， （2）取格点E，连接并延长，交格点F，即可求解； （3）根据题意，得，由垂线段最短，得最小时，最小，则取格点O，连接，即作即可． 【详解】（1）解：如图，连接，交于一点G，点G为所求； （2）解：如图，取格点E，连接并延长，交格点F，此时直线到直线的距离处处相等，即， 即直线为所求； （3）解：点O在直线上， ， 的值是固定不变的， 当最小时，最小，即时，最小， 取格点O，连接，此时， 即点O为所求． 18．如图是一条河是河边外一点，是河边上一码头．    (1)若要从走到码头，请在图1中作出最短路线示意图． (2)现欲用水管从河边将水引到处，请在图2上作出所需水管最短的铺设方案． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据两点之间线段最短，连接即可得到答案； （2）根据垂线段最短，作即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意画出图，如图所示：   ； （2）解：根据题意画出图如图所示：   ． 【点睛】本题考查了两点之间线段最短以及垂线段最短，熟练掌握两点之间线段最短以及垂线段最短是解题的关键． 19．如图，A、B、C是平面内三点． (1)按要求作图： ①作射线BC，过点B作直线l，使A、C两点在直线l两旁； ②点P为直线l上任意一点，点Q为直线BC上任意一点，连接线段AP、PQ； (2)在（1）所作图形中，若点A到直线l的距离为2，点A到直线BC的距离为5，点A、B之间的距离为8，点A、C之间的距离为6，则AP+PQ的最小值为__________，依据是__________ 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)5，垂线段最短 【分析】（1）根据题意作出图形即可； （2）根据线段的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：①如图1所示，射线BC，直线l即为所求； ②如图1所示，线段AP，PQ即为所求； ； （2）解：过A作AQ⊥BC交直线l于P， 则此时，AP+PQ的值最小， ∵点A到直线BC的距离为5， ∴AP+PQ的最小值为5， 依据是垂线段最短， 故答案为：5，垂线段最短． 【点睛】本题考查了点到直线的距离，直线，射线，线段的定义，正确的作出图形是解题的关键． 20．我国“十一五”规划其中一重要目标是，建设社会主义新农村，国家对农村公路建设投资近1000亿人民币．西部的某落后山村准备在A、B两个村庄间修一条公路，再从村庄B修一条公路到河n，如图所示，如何修路才能使公路最短？画出图形并说明理由． 【答案】见解析；两点之间线段最短；垂线段最短 【分析】由两点之间线段最短；垂线段最短即可作出图形：连接AB；过点B作l的垂线段． 【详解】解：如图所示：AB、BC为所求． 作图理由：两点之间线段最短；垂线段最短． 【点睛】此题考查了作图能力，掌握：两点之间线段最短、垂线段最短是解题的关键． 1．如图，在6×6的正方形网格中，点P是的边OB上的一点． (1)过点P画OA的垂线，垂足为H； (2)过点P画OB的垂线，交OA于点C； (3)线段PH的长度是点P到直线______的距离，线段______的长度是点C到直线OB的距离； (4)线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是______．（用“＜”号连接） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)AO，CP (4)PH＜PC＜OC 【分析】（1）根据垂线的定义作图即可； （2）根据垂线的定义作图即可； （3）根据点到直线的距离判断即可； （4）根据垂线段最短即可判断． 【详解】（1）如图，PH即为所求； （2）如图，PC即为所求； （3）线段PH的长度是点P到直线AO的距离，线段CP的长度是点C到直线OB的距离； 故答案为：AO，CP； （4）由图可知，线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是PH＜PC＜OC； 故答案为：PH＜PC＜OC． 【点睛】本题考查垂线的作图及点到直线的距离、线段的长度比较，熟练掌握知识点是解题的关键． 2．已知直线，为平面内一点，点分别在直线上，连接． (1)如图1，若点在直线之间，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若点在直线之间，平分，平分，当时，求的度数． (3)如图3，若点在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会探究规律，利用规律解决问题． （1）如图，过点作，根据平行线的性质得到，，等量代换即可得到结论； （2）如图，过点作，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，，得到，进而求解即可； （3）如图，过点作，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，，进而求解即可． 【详解】（1）解：， 理由如下： 如图，过点作， ， ，， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作， 同理（1）可得，， ，， ， ∵平分，平分， ，， ， 同理（1）可得，； （3）解： 如图，过点作， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵平分， ∴ ∴ ∵平分， ∴ 由（1）可得，． 3．【模型发现】数学兴趣小组的同学在活动中发现：图①中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图①，，M是之间的一点，连接，若，求的度数； 【灵活运用】 （2）如图②，是之间的两点，当时，请找出和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图③，均是之间的点，如果，直接写出的度数． 【答案】（1）100°；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，构造辅助线掌握“猪蹄模型”是解本题的关键． （1）过点M作，证明，则，进而得，由此可得∠B+∠D的度数； （2）过点M作，则，证明，由（1）得，则，进而得，再根据，即可得出和之间的数量关系； （3）过点G作，依题意得，证明，由（1）得，则，由此可得的度数． 【详解】解：（1）过点M作，如图①所示： ， ， ， ， ， ； （2）和之间的数量关系是：，理由如下： 过点M作，如图②所示， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ， ， 又， ， ； （3），理由如下： 过点G作，如图③所示： ， ， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ． 4．小星在学习完《平行线的证明》一章后，想利用一副三角板探究平行线的相关问题．于是他将两块三角板的直角顶点C重叠，固定，将绕着点C在平面内转动．其中，假设这一副三角板的直角边．图中所有点均在一个平面内． 【问题解决】 （1）如图①，当点D、E均在直线的上方，且时，求证：； 【问题探究】 （2）如图②，当点D在直线的上方，点E在直线的下方，且时，设的度数为，求的值； 【拓展延伸】 （3）设度数为，当等于多少时， ．请画出图形并完成相应解答． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）当等于或时， 【分析】本题考查了平行线的判定与性质， （1）先证明即可证明结论； （2）根据平行线的性质得出即可求出结论； （3）分两种情况：当点E在上方时或当点E在下方时，分别根据平行线的性质求出即可． 【详解】解：（1），， ， ； （2）， ， ； （3）当点E在上方时，设与交于点G， ， ， ， ； 当点E在下方时，设与直线交于点H， ， ， ， ； 综上所述，当等于或时，． 5．已知，直线，点为平面内一点，连接与． (1)如图1，当点在直线，之间，且时，则_____ (2)如图2，当点在直线，之间，且与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当点在下方时，与的角平分线相交于点（在下方），且，，直接写出的大小（用含和的代数式表示）． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行计算． （1）先过作，根据平行线的性质即可得到，，再根据进行计算即可； （2）过作，根据，可得，，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到； （3）过作，根据，可得，，进而得到，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，过作， ∵， ， ，， ， 故答案为：80； （2）解：，理由如下： 如图2，过作， ∵， ， ，， ， 过作， ∵， ∴， ，， ， ， 与的角平分线相交于点， ， ； （3）如图3，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 过作， ∵， ∴， ，， ， ， ∵与的角平分线相交于点K， ∴，， ∴， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 相交线与平行线 【模型一：铅笔头模型】 ◎结论1：如图所示，AB∥CD，则∠B+∠BOC+∠C=360° 【证明】如图，过点 O作 OE//AB. ∵AB∥CD, OE//AB//CD. ∴∠B+∠1=180°,∠C+∠2=180°, ∴∠B+∠1+∠2+∠C=360° ∴∠B＋∠BOC+∠C=360°. ◎结论2：如图所示，∠B+∠BOC+∠C=360°，则AB∥CD. 【证明】如图，过点 O作EF//AB， 则∠B＋∠1=180° ∵∠B+∠BOC+∠C=360°, ∴∠C+∠2=180° ∴EF∥CD 又∵EF//AB， ∴AB//CD. “异形”铅笔头：拐点数n,∠A+...+∠C=180°×（n+1） 拐点数：1 拐点数：2 拐点数：n 【模型二：猪蹄模型】 ◎结论1：若AB∥CD，则∠B0C=∠B+∠C 【证明】过点 O作OE//AB，如图. ∵AB∥CD, ∴OE∥CD, ∴∠B=∠1,∠C=∠2, ∴∠1+∠2=∠B+∠C 即∠BOC=∠B＋∠C. ◎结论2：若∠BOC=∠B+∠C，则AB∥CD. 【证明】过点 O作OE∥AB， 则 ∠B=∠1, ∵∠BOC=∠B+∠C， ∠BOC=∠1+∠2， ∴∠1+∠2=∠B+∠C ∴∠C=∠2 ∴OE∥DC， 又OE∥AB， ∴AB∥CD. 【模型三：锯齿模型】 ◎结论 如图所示，AB∥EF，则∠B＋∠D=∠C十∠E 朝向左边的角的和=朝向右边的角的和 【证明】如图，过点C作MN//AB，过点D作PQ//AB. ∵AB//EF, ∴AB//MN// PQ//EF. ∴∠B=∠BCN,∠CDP=∠DCN,∠PDE=∠E, ∴∠B＋∠CDP＋∠PDE=∠BCN+∠DCN+∠E， ∴B+∠CDE=∠BCD＋∠E，得证. 锯齿模型的变换解题思路 拆分成猪蹄模型和内错角 拆分成2个猪蹄模型 【模型四：鹰嘴模型】 点P在EF右侧，在AB、 CD外部 结论1：若AB∥CD，则∠P＝∠AEP－∠CFP或∠P＝∠CFP－∠AEP； 结论2：若∠P＝∠AEP－∠CFP或∠P＝∠CFP－∠AEP，则AB∥CD． 点P在EF左侧，在AB、 CD外部 结论1：若AB∥CD，则∠P＝∠CFP－∠AEP或∠P＝∠AEP－∠CFP； 结论2：若∠P＝∠CFP－∠AEP或∠P＝∠AEP－∠CFP，则AB∥CD． 鹰嘴模型总结： 技巧：①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少平行线 压轴题型一：动角问题 √满分技法 动角问题和动点问题的解法类似，要掌握以下步骤： 1， 弄清角度旋转的方向---顺时针还是逆时针； 2， 弄清动角的速度-即每秒运动的角度是多少； 3， 掌握运动的角度＝速度×时间。 4， 根据题目中角度之间的数量关系列出运动后关于动角的方程，求出未知数。 1．问题提出 已知一副直角三角尺按如图方式拼接在一起，其中与直线重合，，． （1）在图中，的度数为______． 问题探究 （2）如图，三角尺固定不动，将三角尺绕着点以每秒的速度顺时针方向旋转，且在旋转过程中，两块三角尺均在直线的上方．设三角尺的旋转时间为秒，当平分时，请求出的值． 问题解决 （3）如图，若三角尺绕着点以每秒的速度顺时针方向旋转的同时，三角尺也绕着点以每秒的速度逆时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角尺均在直线的上方，且当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．设三角尺的旋转时间为秒．在旋转过程中，是否存在某一时刻？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 2．如图，，、分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，射线绕点逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点、点不停地旋转，若射线转动的速度是秒，射线转动的速度是秒，且、满足． (1)______，______； (2)若射线、射线同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线、射线互相垂直． (3)若射线绕点顺时针先转动15秒，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线第一次到达之前，问射线再转动多少秒时，射线、射线互相平行？ 3．如图，，直线交于点，交于点，点是线段上一点，分别在射线上，连结的平分线与的平分线交于点． (1)当时，求的度数； (2)试猜想与的数量关系，并说明理由； (3)过点作，交的延长线于，将直线绕点逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应直线为，同时，将绕点顺时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当直线首次与直线重合时，整个运动停止．在（1）的条件下，若，经过秒后，直线恰好与的一条边平行，请直接写出所有满足条件的的值． 4．“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，如图1所示，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒4度，灯B转动的速度是每秒2度，假定主道路是平行的，即，且． (1)填空：___________； (2)若灯B射线先转动15秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ (3)如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达之前、若射出的光束交于点C，过C作交于点D、且，则在转动过程中，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 压轴题型二：拐点模型问题 √满分技法 模型同开头部分。 5．当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等例如：在图①、图②中，都有．设镜子与的夹角． (1)如图①，若，判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由． (2)如图②，若，入射光线与反射光线的夹角．探索α与β的数量关系，并说明理由． (3)如图③，若，设镜子与的夹角，入射光线与镜面的夹角，已知入射光线从镜面开始反射，经过n（n为正整数，且）次反射，当第n次反射光线与入射光线平行时，请直接写出γ的度数．（可用含有m的代数式表示） 6．如图，已知直线，且和、分别交于A、B两点，点P在直线上． (1)试说明，，之间的关系式；（要求写出推理过程） (2)如果点P在A、B两点之间（点P和A、B不重合）运动时，试探究，，之间的关系是否发生变化？（只回答） (3)如果点P在A、B两点外侧（点P和A、B不重合）运动时，试探究，，之间的关系．（要求写出推理过程） 7．小明同学在完成七年级下册数学第七章的线上学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下． (1)如图①，已知，则成立吗？请说明理由； (2)如图②，已知点在点的左侧，，平分，平分，，所在直线交于点．若，，求的度数； (3)如图③，点在点的右侧，点在点的右侧，若，，，平分，平分，请你求出的度数（用含，的式子表示）． 8．【探究】（1）如图1，，点E在直线与之间，连接，，试说明：．请完成下面的解题过程． 解：过点E作， （               ）． ，， （               ）， ， ， ； 【应用】（2）如图2，，点F在，之间，与交于点M，与交于点N．若，，求的度数； 【拓展】（3）如图3，直线在直线，之间，且，点G，H分别在，上，Q是直线上的一个动点，且不在直线上，连接，．若，直接写出的度数．    压轴题型三：三角板角度问题 √满分技法 1， 三角板的隐藏度数要弄清楚，两个三角板都是特殊的直角三角形； 2， 根据三角板摆放的位置不同，角度之间的关系也会有所变化，在寻找角之间关系的时候，要注意特殊角度额存在，还有能转化为拐点模型的，要转化，可使问题简单化。 9．【操作发现】 （1）如图①，把一块含角的直角三角板的边放置在长方形直尺的边上，请直接写出__________， __________； 【问题解决】 （2）如图②，在（1）的基础上把三角板绕点B逆时针旋转，当，且点C恰好落在边上时，求的度数；（用含n的代数式表示） 【延伸探究】 （3）在（2）的基础上，当时，是否存在n的值使三角板某一边所在的直线与直尺（有四条边）某一边所在的直线垂直？如果存在，请直接写出所有n的值和对应的那两条垂线；如果不存在，请说明理由． 10．将一副三角板按图1方式摆放，分别作出的平分线，求的度数． 【初步认识】 （1）小明与小丽将这副三角板分别按图2、图3所示摆放，分别平分、．图2中，在同一条直线上，则 　　°；图3中，，则 　°； 【深度理解】 （2）受此启发，小明与小丽求出图1所示的一般情况下∠MON的度数．请你猜想图1中的度数并说明理由； （3）你觉得明明和丽丽解决以上问题的方法，用到的数学思想是 　 ； A．由特殊到一般     B．方程    C．分类讨论     D．整体 【拓展应用】     （4）若将条件“分别作出的平分线改为“在和内部分别作出射线，使得”（n为正整数），请你直接写出的度数 °（用含n的代数式表示）； 【大胆创新】 （5）善于思考的小明同学在本题基础上设计了一道新题：将图2中的三角板绕点O逆时针旋转（旋转角度不超过），使得边与另一块三角板的一边平行，则旋转的角度为 ° ． 11．如图，将一副三角板的两个直角顶点叠放在一起，其中．    (1)如图①，点在直线的上方，若，则______，______； (2)如图②，点在直线的下方，若，求的度数； (3)若保持三角板不动，三角板绕直角顶点顺时针旋转一周，当时，直接写出的度数． 12．（1）【感知】将一副三角板按如图①所示的方式放置，使三角板的直角顶点E落在上，，且，则的大小为 度． （2）【探究】如图②，将图①一个三角板放在一组直线与之间（其中），并使直角顶点A在直线上，顶点C在直线上，现测得，试说明． （3）【拓展】现将图①的三角板按图③方式摆放（其中），使顶点C在直线上，直角顶点A在直线上．若，直接写出与之间的关系式． 压轴题型四：直线“交点类”个数问题 √满分技法 有以下三个公式属于此类问题常用的公式： ， （n−1）×n， ，注意这三个公式之间的用法，针对不同的题型用的公式不一样。 13．问题：我们知道平面内两条直线的位置关系有两种：相交、平行，那在同一平面内多条直线的位置关系又如何？现准备研究在同一平面内，有且仅有两条直线平行的条直线产生的交点个数情况．（是不小于3的正整数） (1)【初探】当时，交点个数有________个；当时，交点个数有________个； (2)【再探】当时，交点个数最多有________个； (3)【归纳】请你求出在同一平面内，有且仅有两条直线平行的条直线最多能产生多少个交点； (4)【运用】在同一平面内，有且仅有两条直线平行的12条直线最多能产生多少个交点，此时，图中共有多少对对顶角？ 14．观察图形，寻找对顶角（不含平角）． （1）两条直线相交于一点，如图①，共有__________对对顶角； （2）三条直线相交于一点，如图②，共有__________对对顶角； （3）四条直线相交于一点，如图③，共有__________对对顶角； （4）根据填空结果探究：当n条直线相交于一点时，所构成的对顶角的对数与直线条数之间的关系； （5）根据探究结果，试求2018条直线相交于一点时，所构成对顶角的对数． 15．观察图形，回答下列各题： （1）图A中，共有＿＿＿＿对对顶角； （2）图B中，共有＿＿＿＿对对顶角； （3）图C中，共有＿＿＿＿对对顶角； （4）探究（1）--（3）各题中直线条数与对顶角对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成＿＿＿＿＿＿＿＿对对顶角； 16．在同一平面内有n条直线，任何两条不平行，任何三条不共点． 当时，如图（1），一条直线将一个平面分成两个部分； 当时，如图（2），两条直线将一个平面分成四个部分； 则：当时，三条直线将一个平面分成 部分； 当时，四条直线将一个平面分成 部分； 若n条直线将一个平面分成个部分， 条直线将一个平面分成 个部分． 试探索、、n之间的关系． 压轴题型五：画图求最值问题 √满分技法 画图求最值问题一般涉及知识点：垂线段最短和两点之间线段最短的原理。 17．用无刻度直尺在网格中画图（图中的点A、B、C、D都在网格的格点上）： (1)画直线交于点G； (2)过点A画直线，使； (3)在直线上画出点O，使最小． 18．如图是一条河是河边外一点，是河边上一码头．    (1)若要从走到码头，请在图1中作出最短路线示意图． (2)现欲用水管从河边将水引到处，请在图2上作出所需水管最短的铺设方案． 19．如图，A、B、C是平面内三点． (1)按要求作图： ①作射线BC，过点B作直线l，使A、C两点在直线l两旁； ②点P为直线l上任意一点，点Q为直线BC上任意一点，连接线段AP、PQ； (2)在（1）所作图形中，若点A到直线l的距离为2，点A到直线BC的距离为5，点A、B之间的距离为8，点A、C之间的距离为6，则AP+PQ的最小值为__________，依据是__________ 20．我国“十一五”规划其中一重要目标是，建设社会主义新农村，国家对农村公路建设投资近1000亿人民币．西部的某落后山村准备在A、B两个村庄间修一条公路，再从村庄B修一条公路到河n，如图所示，如何修路才能使公路最短？画出图形并说明理由． 1．如图，在6×6的正方形网格中，点P是的边OB上的一点． (1)过点P画OA的垂线，垂足为H； (2)过点P画OB的垂线，交OA于点C； (3)线段PH的长度是点P到直线______的距离，线段______的长度是点C到直线OB的距离； (4)线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是______．（用“＜”号连接） 2．已知直线，为平面内一点，点分别在直线上，连接． (1)如图1，若点在直线之间，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若点在直线之间，平分，平分，当时，求的度数． (3)如图3，若点在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，求的度数． 3．【模型发现】数学兴趣小组的同学在活动中发现：图①中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图①，，M是之间的一点，连接，若，求的度数； 【灵活运用】 （2）如图②，是之间的两点，当时，请找出和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图③，均是之间的点，如果，直接写出的度数． 4．小星在学习完《平行线的证明》一章后，想利用一副三角板探究平行线的相关问题．于是他将两块三角板的直角顶点C重叠，固定，将绕着点C在平面内转动．其中，假设这一副三角板的直角边．图中所有点均在一个平面内． 【问题解决】 （1）如图①，当点D、E均在直线的上方，且时，求证：； 【问题探究】 （2）如图②，当点D在直线的上方，点E在直线的下方，且时，设的度数为，求的值； 【拓展延伸】 （3）设度数为，当等于多少时， ．请画出图形并完成相应解答． 5．已知，直线，点为平面内一点，连接与． (1)如图1，当点在直线，之间，且时，则_____ (2)如图2，当点在直线，之间，且与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当点在下方时，与的角平分线相交于点（在下方），且，，直接写出的大小（用含和的代数式表示）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$