专题10 （特殊）平行四边形中的折叠和最值问题（8题型）-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（沪科版）

专题10 （特殊）平行四边形中的折叠和最值问题 一、与折叠有关的常用性质： (1)折叠问题的本质是全等变换，折叠前的部分与折叠后的部分是全等图形； (2)折痕可看作垂直平分线（互相重合的两点之间的连线被折痕垂直平分）； (3)折痕可以看作角平分线（对称线段所在的直线与折痕的夹角相等）。 二、最值问题 类型1 利用几何基本事实确定最值 1垂线段最短 模型展示 垂线段最短：直线l外有一定点A,B是l上一动点，当AB⊥时，线段AB最短 2两点之间，线段最短 模型展示 两点之间，线段最短： 根据线段的基本事实可知AB≤AC+BC.当A,C,B三点顺次在一条直线上时，AB最大=AC+BC. 类型2利用轴对称变换确定最值 模型展示 条件：如图，A,B是直线l同旁的两个定点 问题：在直线l上确定一点P,使PA+PB的值最小 作法：作点A关于直线l的对称点A,连接AB交于点P,则此时PA+PB的值最小。 压轴题型一：平行四边形中的折叠 1．如图，在中，为边上一点，将沿折叠至处，与交于点，若，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，熟练运用这些性质是本题的关键．由平行四边形的性质可得，由三角形的内角和定理可求的度数，由折叠的性质可求． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴． 由折叠的性质可得． 故选B． 2．如图，在平行四边形中，将沿若所在的直线折叠得到，交于点，连接，若，，，则的长 (    ) A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】由翻折的性质得，先证明为等腰直角三角形，求出，在中，求出，，在中，求出，在中，即可求． 【详解】解：∵将沿若所在的直线折叠得到， ∴， ∴， ∴， ∵平行四边形中，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 在中，，， ∴， 由勾股定理得： 解得：，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 故选：． 【点睛】本题考查了图形的翻折，平行四边形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，确定为等腰直角三角形是解题的突破点，熟练掌握勾股定理求边是解题的关键． 3．如图，中，，将沿折叠，使点C落在点E处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，平行四边形的性质，先求解，可得，可得，再进一步结合平行四边形的性质可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选D 4．如图，将平行四边形沿折叠，点恰好落在延长线上的点处，交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，这的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，根据平行四边形的性质可得，即，根据平行线的性质，折叠的性质可得，根据三角形内角和定理可得，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵折叠， ∴，，，， ∴， 在中，， ∴， 故选：B ． 5．如图，在中，为边上的一个点，将沿折叠至处，使得落在的延长线上，若，时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，翻折的性质，三角形内角和定理等知识，根据翻折前后对应角相等是解题的关键．根据平行四边形的性质可求出，由三角形内角和求出，然后由折叠的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据折叠可知：， ∴． 故选：C． 压轴题型二：矩形中的折叠 6．如图，在矩形中，，点和是边上的两点，连接、，将和沿、折叠后，点和点重合于点，则的长是（   ） A．3 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查矩形与折叠问题，等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，过点作于点，则于点，由勾股定理可求，，设，则，由勾股定理求出，从而进一步可得出结论． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 由折叠得，，，，， ， ， ， ， 过点作于点，则于点，如图，则， ， 由勾股定理得，， ， 设，则， 在直角中，， ， 解得，， ， 即， ， 故选：C． 7．综合与实践课上，“矩形折纸”为主题开展了数学活动．小宁同学准备了一张长方形纸片，，，他在边上取中点，又在边上任取一点，再将沿折叠得到，连结，小宁同学通过多次实践得到以下结论： ①当点在边上运动时，点在以为圆心的圆弧上运动； ②的最大值为24； ③的最小值为16； ④达到最小值时，．上述结论中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，翻折变换（折叠问题），勾股定理．根据折叠的性质得到，根据圆的定义得到点在以N为圆心，为半径的圆上，故①正确；连接，根据勾股定理得到，根据三角形的三边关系得到，，结合点M在上，判断②③正确；根据勾股定理即可判断④正确． 【详解】解：如图1，连接， ∵将沿折叠得到， ∴， ∵点N为的中点，， ． ∴当点M在边上运动时，点在以N为圆心的圆弧上运动， 故①正确； 在中，， ∵， ∴， ∴的最小值为16， 故③正确； ∵，且M在上， ∴， ∴的最大值为24， 故②正确； 如图2， 当共线时，的值最小，最小为； ∴， 设，则，， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， 即， 故④正确， 综上，结论中正确的个数4个， 故选：D． 8．如图，将矩形纸片沿折叠，使点落在对角线上的点处．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，三角形内角和定理，先由矩形的性质得到，再由折叠的性质求出的度数，最后根据三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 故选：C． 9．如图，在矩形纸片中，，，点，分别在边，上．将矩形纸片沿直线折叠，使点落在边上，记为点．点落在点处，连接交于点，连接．下列结论：①四边形是菱形．②点与点重合时，．③的面积的取值范围是．④．其中所有正确结论的序号是（   ）    A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】先证明，可得，即得四边形是平行四边形，即可得四边形是菱形，故即可判断①；当点与点重合时，如图，设，则，利用勾股定理可得，即得，再利用菱形的性质和勾股定理，即可判断②；分别画出图形求出四边形的面积最小值和最大值，即可判断③；在和中，，，当找不到其他的条件相等，所以无法判断与全等，即可判段④，据此即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴，， 由折叠得，，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，故①正确； 当点与点重合时，如图，设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴，故②正确；    如图，当经过点时，最短，此时四边形的面积最小，四边形为正方形， ∴，    当点与点重合时，最长，此时四边形的面积最大， ∴， ∴的取值范围是，故③错误； 在和中，，，当找不到其他的条件相等，所以无法判断与全等，故无法判断与相等，所以④错误； 综上，正确结论的序号是①②， 故选：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 10．如图，在矩形纸片中，，，点E是AB上一点，点F是上一点，点是上一点，将矩形沿折叠，使点的对应点正好落在的中点处，则的长为（    ）    A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定，先由矩形的性质得到，，再由折叠的性质得到，，设，则，再根据勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵四边形为矩形，， ∴，， ∵矩形沿折叠，点的对应点正好落在的中点处， ∴，， 设， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ∴， 故选：B． 压轴题型三：菱形中的折叠 11．如图，在菱形中，，点M，N分别在和上，沿将折叠，点A恰好落在边上的点E处．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作，根据菱形的性质得，其中，然后设，可表示，根据勾股定理得，进而得出接下来根据勾股定理列出方程，求出解即可得出答案． 【详解】如图所示，过点M作，交的延长线于点F， ∵四边形是菱形，且， ∴，其中． 在中，，设， ∴， 根据勾股定理，得． ∴， 根据折叠得， 在中，， 即， 解得， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 12．如图．菱形的顶点A在x轴上，于点D，将菱形沿所在直线折叠，点B的对应点为．若，点的横坐标为4，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令与的交点为，根据菱形和折叠的性质，得到，进而得出，再由勾股定理求出，即可得到点B的坐标． 【详解】解：如图，令与的交点为， 四边形是菱形，， ，，， ，菱形沿所在直线折叠，点B的对应点为 ， ，即， ， 点的横坐标为4， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 点B的坐标为， 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标与图形，菱形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键． 13．正方形中，将沿折叠，使得点在上为点，折痕为，连接、，给出下列结论：（）；（）；（）；（）四边形为菱形；（）若，则正方形的面积为．其中正确的结论是（    ） A．（）（） B．（）（）（） C．（）（）（） D．（）（）（） 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，等腰直角三角形的性质以及菱形的判定与性质，根据正方形的性质，折叠的性质，等腰直角三角形的性质以及菱形的判定与性质逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得：，故（）正确； 由折叠的性质可得：，，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵与不一定相等， ∴，故（）错误； ∵平分， ∴点到的距离相等， 设点到的距离为， ∴，， ∵， ∴，故（）错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠性质可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形，故（）正确； ∵， ∴， ∴， ∴设，则， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的面积为，故（）正确； 故选：． 【点睛】 14．如图，在一张菱形纸片中，，，点E在边上（不与点B，C重合），将沿直线折叠得到，连接，，．有以下四个结论：①；②沿直线折叠过程中，是一个定值；③当时，四边形的面积为；④当平分时，．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据折叠的性质即可判断结论； 由折叠和菱形性质得：，再由三角形内角和定理和等腰三角形性质可得：，，得出； 根据折叠性质和菱形性质可证得，即可推出； 由折叠和已知可得，根据三角形的角平分线交于一点，结合已知可得平分，从而可证是等边三角形，再证是等腰直角三角形，即可判断结论． 【详解】解：将沿直线折叠得到， ， 只有时，才成立， 故结论不正确； 由折叠得：， 四边形是菱形， ，， ∴， ， ，， ， 故结论正确； 如图，，将沿直线折叠得到，   ，，， 四边形是菱形， ，，， ，，， ， 在和中， ， ， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故结论正确； 如图，由折叠得：，，   平分， ， 、分别平分、， ∵三角形三条内角平分线交于一点， 平分， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故结论不正确， 综上所述，正确的结论是：②③； 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形性质，等边三角形的判定和性质，折叠变换的性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形角平分线等，综合性较强，是中考数学常考题型． 15．如图，在菱形纸片中，，E是边的中点，将菱形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在直线上的点G处，折痕为与交于点H，有如下结论：①；②；③；④，上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】如图：连接，得到是等边三角形，根据三线合一的性质得到，由折叠得，求出的度数即可判断①；利用30度角的性质求出，勾股定理求出，即可判断②；连接，由等边对等角求出，得到，即可判断③；过点F作于点M，先求出，由折叠得，，设，则，求出，再得到，根据求出四边形的面积，即可判断④． 【详解】解：如图：连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∵E是边的中点， ∴， ∴， 由折叠得， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴，即，故②正确； 如图：连接，由折叠得， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； 如图：过点F作于点M， ∵， ∴， 由折叠得∶， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积， ∴，故④错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、直角三角形30度角的性质、三线合一的性质、等边三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键． 压轴题型四：正方形中的折叠 16．如图，在正方形中，，点E，F分别在边上，．若将四边形沿折叠，点B恰好落在边上，则的长度为（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练运用以上性质；根据可得，根据折叠后对应角相等、对应边相等，可得，进而可得，根据含30度角的直角三角形的性质可得，设，则，列方程求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， 将四边形沿折叠，点B恰好落在边上，， ， ， 设，则， ， ， ， 故选：D． 17．如图，正方形中，为对角线，E，F分别为，上的点，将与分别沿，折叠，使B，D分别落在对角线上的，处．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题重点考查正方形的性质、勾股定理、轴对称的性质等知识，正确地求出的长并且证明是解题的关键． 由正方形的性质得，，则，由折叠得，，可推导出，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ，∠B＝90°， ， 由折叠得，， ， ， ， 故选：A． 18．将矩形纸片放置在如图所示的平面直角坐标系中，P为边上一动点（不与点B，C重合），连接，将折叠，得到．经过点P再次折叠纸片，使点B的对应点落在直线上，折痕交于点E．已知点，当四边形是正方形时，点E的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握以上性质；根据正方形的性质和等腰三角形的性质可得，再由正方形的性质求解即可； 【详解】由题意可得，当四边形是正方形时，， ∴， 由折叠的性质，可得， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴点E的坐标为， 故选C； 19．如图，正方形中，，点E，F分别在边，上，．将四边形沿折叠得到四边形，且点恰好在边上，连结，则的长是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正方形的性质，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 根据，，可得，根据折叠前后对应角相等、对应边相等，可得，，，，进而可得，根据含30度角的直角三角形的性质可得，设，则，，列方程，然后根据勾股定理即可． 【详解】四边形是正方形， ，， 将四边形沿折叠得到四边形，且点恰好在边上， ，，，， ， ， 设，则，， ， 解得： 在中 ， 故选：B. 压轴题型五：平行四边形中的最值 20．如图，在中，，点D，点E分别是边上的动点，连结，点F，点M 分别是的中点，则的最小值为（　　） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质及三角形中位线定理，正确得出的最小值是解题的关键．过点B作于H，连接；当取最小值时，的值最小，由垂线段最短可知，当于点E时，的值最小，利用等腰三角形三线合一的性质求出的长，进而利用三角形等面积法求解即可． 【详解】解：如图，过点B作于H，连接；    ∵F，M分别是的中点， ∴， 当取最小值时，的值最小， 由垂线段最短可知，当于点E时，的值最小， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 21．如图，在等腰和等腰中，度，，为的中点，则线段的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的中位线，三角形的三边关系，合理作出辅助线是解题的关键． 取的中点，连接，，过作于点，根据三角形中位线的性质得到的长，用勾股定理运算出的长，再根据解答即可． 【详解】解：取的中点，连接，，过作于点，如图所示： ∵点是的中点，点是的中点， ∴，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴当，，三点共线时，线段取得最小值为：； 故选：B． 22．如图，在中，，，P为边上的一动点，以、为邻边作，则对角线长度的最小值是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】记、相交于点，过点做于点，以，为邻边作平行四边形，由平行四边形的性质可知是中点，最短也就是最短，当时最短，即与重合，然后根据等腰三角形和含角的直角三角形的性质即可求出的最小值． 【详解】解：记、相交于点，过点做于点， 四边形是平行四边形， ，， 要最短就是最短，当时最短， 即与重合， ，， 是等腰三角形， ， ， 根据直角三角形中角对应的边等于斜边的一半， ， 最小值， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、含角的直角三角形、等腰三角形性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是适当辅助线构造含角的直角三角形． 23．如图，在四边形中，，，，点P，Q分别是边，上的动点（点P不与点C重合），连接，，，点M，N分别是，的中点，连接，对于的长度有以下说法： ①当点Q的位置固定时，的长度随点P位置的变化而变化； ②当点Q的位置变化时，的长度的最大值为5； ③当点Q的位置变化时，的长度的最小值为4． 其中正确的说法是（    ） A．① B．①② C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理和勾股定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 根据点M，N分别是，的中点，得出；再根据当点Q与点C重合时，此时最大；点Q与点D重合时，此时最小，即可判断． 【详解】解：∵点M，N分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当点Q的位置固定时，的长度不变，故①不正确； 当点Q与点C重合时，此时最大， 由勾股定理，得， 此时的长度的最大，，故②正确； 当点Q与点D重合时，此时最小， 此时的长度的最小，，故③正确； 故选：C． 压轴题型六：矩形中的最值 24．如图，矩形中，，，点P为对角线上一动点，于点E，于点F，则线段长的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查矩形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理、三角形的面积，证明四边形是矩形得到是解答的关键．先根据矩形的性质和勾股定理得到，，再证明四边形是矩形得到，由垂线段最短得到当时，线段最短，即线段最小，利用三角形的等面积求解即可． 【详解】解：连接 ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 当时，线段最短，即线段最小， 此时，由得， ∴线段长的最小值为， 故选：B． 25．如图，在中，，点为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，，由题意可证四边形是矩形，再根据为的中点，得到，当最小时，的值最小，如图所示，连接，由矩形的性质可得当最小时，即最小，此时的值最小，据点到直线，垂线段最短可得，当时，的值最小，由等面积法得到，可求出，由此即可求解． 【详解】解：∵，即， ∴是直角三角形，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴当最小时，的值最小， 如图所示，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴当最小时，即最小，此时的值最小， 根据点到直线，垂线段最短可得，当时，的值最小， ∵， ∴， ∴的最小值为， ∴， 故选：A ． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，矩形的判定和性质，垂线段最短等知识的综合，掌握矩形的判定和性质，垂线段最短的知识是解题的关键． 26．如图，在中，，，，点P是边上任意一点，过点P作，，垂足分别为点D，E，连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的运用、矩形的判定和性质以及直角三角形的面积的不同求法，题目难度不大，设计很新颖，解题的关键是求的最小值转化为其相等线段的最小值．连接，根据矩形的性质可知：，当最小时，则最小，根据垂线段最短可知当时，则最小，再根据三角形的面积为定值即可求出的长． 【详解】解：中，，，， ， 连接，如图所示： ∵于点，于点，， ∴， 四边形是矩形， ， 当最小时，则最小，根据垂线段最短可知当时，则最小， ∴此时． 故选：B． 27．如图，在正方形中，，E为对角线上与点A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，与点G，连接，，有下列结论：①．②．③．④的最小值为3，其中正确结论的序号为（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④ 【答案】C 【分析】①连接，易知四边形为矩形，可得；由可得，所以；②延长，交于M，交于点H，由矩形可得，则；由，则；由四边形为正方形可得，即，所以，即，可得；③由②中的结论可得；④由于点E为上一动点，当时，根据垂线段最短可得此时最小，最小值为，由①知，所以的最小值为． 【详解】解：①连接，交于点O，如图， ∵， ∴． ∵在正方形中，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②延长，交于M，交于点， ∵， ∴， 由①知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：， ∴．故②正确； ③由②知：． 即：．故③正确； ④∵点E为上一动点， ∴根据垂线段最短，当时，最小． ∵， ∴． ∴． 由①知：， ∴的最小值为，故④错误． 综上，正确的结论为：①②③． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，垂线段最短，三角形全等的判定与性质，矩形的判定与性质，垂直的定义．根据图形位置的特点通过添加辅助线构造全等是解题的关键，也是解决此类问题常用的方法． 压轴题型七：菱形中的最值 28．如图，在菱形中，边长为2，，点在对角线上，点为边中点，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，连接，，，证明，可得即可得到，然后利用等边三角形得到，然后利用勾股定理解题即可． 【详解】解：连接，，， ∵是菱形， ∴，，，     又∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， 又∵M是的中点， ∴，， ∴， 故选：C． 29．菱形的边长为4，，点、分别是、上的动点，的最小值为（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，垂线段最短，菱形的性质， 先作点P关于的对称点，连接，则，当点C，Q，三点共线时，取最小值，为的长，当时，取最小值，再根据勾股定理求出答案． 【详解】如图所示，作点P关于的对称点，连接，则， ∴， 当点C，Q，三点共线时，取最小值，为的长， 当时，取最小值． ∵， ∴， ∴, 解得， ∴的最小值为． 故选：D． 30．如图，已知菱形的边长为6，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质．过点D作于点E，交于点M，连接，根据垂线段最短，此时最短，即最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出的长，进而可得结论． 【详解】解：如图，过点D作于点E，交于点M，连接， ∵菱形中，，， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， 根据垂线段最短，此时最短，即最小， ∵菱形的边长为6， ∴， ∴． ∴的最小值是． 故选：D． 31．如图，在菱形中，，，点P为线段上不与端点重合的一个动点．过点P作直线、直线的垂线，垂足分别为点、点．连结，在点的运动过程中，的最小值等于（    ）． A．7 B．7.8 C．13 D．13.8 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理和线段最值问题，点到直线的所有线段中，垂线段最短，连接交于点O，连接，先通过菱形的性质和勾股定理，计算出的长度，再根据建立等式推算出的值为定值，最后利用垂线段最短即可得到答案． 【详解】解：如图，连接交于点O，连接，    ∵四边形是菱形， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 即的值为定值， 当最小时，有最小值， ∵当时，的最小值， ∴的最小值， 故选：B． 压轴题型八：正方形中的最值 32．如图，正方形的边长为4，点M在上，且，点N是上一动点，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】C 【分析】由正方形的对称性可知点B与D关于直线AC对称，连接BM交AC于N′点，N′即为所求在Rt△BCM中利用勾股定理即可求出BM的长即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴点B与D关于直线AC对称， 连接BD，BM交AC于N′，连接DN′，N′即为所求的点， 则BM的长即为DN+MN的最小值， ∴AC是线段BD的垂直平分线， 又CM＝CD﹣DM＝4﹣1＝3， 在Rt△BCM中，BM＝ ， 故DN+MN的最小值是5． 故选：C． 【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题及正方形的性质，先作出M关于直线AC的对称点M′，由轴对称及正方形的性质判断出点M′在BC上是解答此题的关键． 33．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=6，线段PQ在斜边AC上运动，且PQ=2．连接BP，BQ．则△BPQ周长的最小值是（    ） A． B． C．8 D． 【答案】B 【分析】如图，过点D作DE∥AC，且点E在AD上方，DE=2，连接BE交AC于点P，取PQ=2，连接BE，DQ，BD．B，P，E三点共线，此时△BPQ的周长=BP+BQ+PQ=BE+2最小 【详解】解：如图，过点A作AD∥BC，过点C作CD∥AB，两直线相交于点点D； 过点D作DE∥AC，且点E在AD上方，DE=2，连接BE交AC于点P，取PQ=2，连接DQ，BD， ∴四边形ABCD为正方形，点Q是对角线AC上的一点，AB=6， ∴BQ=QD，BD⊥AC，BD=AC=6， ∵DE∥PQ，DE=PQ， ∵四边形PQDE为平行四边形， ∴PE=DQ=BQ， ∵B，P，E三点共线， ∴此时△BPQ的周长=BP+BQ+PQ=BE+2最小． ∵BD⊥AC， ∴BD⊥DE，即∠BDE=90°， ∴BE==2， ∴△BPQ周长的最小值为2+2， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，熟练运用轴对称的性质和平行四边形、正方形的性质是解题的关键． 34．如图，E，F是正方形边上的两点，，以为边向正方形内作矩形，，若矩形在正方形内可随线段进行自由滑动，则正方形边长的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】连接HF，如图，根据矩形的性质和勾股定理可得HF的长，过点H作HM⊥AB于点M，则MB≤HF，于是可得MB的最大值，进而可得正方形边长的最小值． 【详解】解：连接HF，如图，∵四边形EFGH是矩形，∴∠HEF=90°， ∴， 过点H作HM⊥AB于点M，则MB≤HF，∴MB≤4， 根据题意，AB≥MB， ∴正方形边长的最小值为4． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质、正方形的性质和勾股定理等知识，正确理解题意、熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键． 35．如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值（　　） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】过D作AE的垂线交AE于F，交AC于D′，再过D′作AP′⊥AD，由角平分线的性质可得出D′是D关于AE的对称点，进而可知D′P′即为DQ+PQ的最小值． 【详解】作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′， ∵DD′⊥AE， ∴∠AFD=∠AFD′， ∵AF=AF，∠DAE=∠CAE， ∴△DAF≌△D′AF， ∴D′是D关于AE的对称点，AD′=AD=4， ∴D′P′即为DQ+PQ的最小值， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAD′=45°， ∴AP′=P′D′， ∴在Rt△AP′D′中， P′D′2+AP′2=AD′2，AD′2=16， ∵AP′=P′D’， 2P′D′2=AD′2，即2P′D′2=16， ∴P′D′=2， 即DQ+PQ的最小值为2， 故答案为C． 【点睛】本题考查了正方形的性质以及角平分线的性质和全等三角形的判定和性质和轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线是解答此题的 1．如图，在正方形中，点E、F、G分别在、、上，，，，，与交于点P．连接，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于点，取的中点，连接、，根据正方形的性质证明≌，然后根据直角三角形性质可得，当、、共线时，有最小值，根据勾股定理即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作于点，取的中点，连接、，      四边形是正方形， ，，， 四边形是矩形， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形，是的中点， ， ，， ， ， ， 当、、共线时，有最小值， ，， ， ， 的最小值为． 故选A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的三边关系，在几何证明中常利用三角形的三边关系解决线段的最值问题，解题的关键是得到≌． 2．如上图所示，矩形，，，点是边上的一个动点，点是对角线上一个动点，连接，，则的最小值是（    ）    A．6 B． C．12 D． 【答案】B 【分析】作点关于的对称点，过点作于点，交于点，即可得到的最小值为，再解直角三角形即可解答． 【详解】解：作点关于的对称点，过点作于点，交于点，如图：    由对称性可得， ， 当，，三点共线，且时，即点在点处，点在点处时，的值最小． ，， ，， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查矩形的性质和线段和最小值问题，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，解题的关键在于作出适当的辅助线． 3．如图，菱形的边长为8，，点E，F分别是，边上的动点，且，过点B作于点G，连接，则长的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接与相交于O，判断出点O是菱形的中心，连接，取中点M，连接，，则，为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可． 【详解】解：如图，连接与相交于O， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点O是菱形的中心， 连接，取中点M，连接，，则，为定长， ∵菱形的边长为8，， ∴， 由勾股定理可得：， ∵M是的中点， ∴， 在Rt中，， 在Rt中，， ∵， 当A，M，G三点共线时，最小为， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是求出，的值． 4．如图，在菱形中，，，、分别为、的中点，是上的一个动点，则的最小值是（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】作E点关于AC的对称点点G，连接GF交AC于点P，连接PE，当P、G、F三点共线时，PE+PF有最小值，最小值为GF，求出GF即可． 【详解】解：作E点关于AC的对称点点G，连接GF交AC于点P，连接PE，连接PE， 由对称性可得PG=PE，AG=AE， ∴PE+PF=PG+PF⩾GF， 当P、G、F三点共线时，PE+PF有最小值， ∵点E是AB的中点， ∴点G是AD的中点， ， ∵F是BC的中点， ， 又∵四边形ABCD是菱形， ∴，AD=BC， ， ∴四边形ABFG是平行四边形， ∴GF=AB=4， ∴PE+PF的最小值为4， 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，菱形的性质是解题的关键． 5．如图，已知菱形的边长为6，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于点，连接，根据垂线段最短，此时最短，即最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出的长，进而可得结论． 【详解】解：如图，过点作于点，连接，   菱形中，， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， 根据垂线段最短，此时最短，即最小， 菱形的边长为6， ， ． 的最小值是． 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质． 6．如图，点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，若线段PQ长的最大值为，最小值为4，则菱形ABCD的边长为（    ） A．5 B．10 C． D．8 【答案】A 【分析】过点C作，交AB的延长线于H，由题意可得当点P与点A重合，点Q与点C重合时，PQ有最大值，即AC=，当时，PQ有最小值，即直线CD，直线AB的距离为4，即CH=4，由勾股定理可求解． 【详解】解：如图，过点C作，交AB的延长线于H， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=AB=BC， ∵点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点， ∴当点P与点A重合，点Q与点C重合时，PQ有最大值，即AC=， 当时，PQ有最小值，即直线与直线的距离为， ， ， ， ， , 解得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键． 7．如图，菱形ABCD的边长为3，且∠ABC=600，E、F是对角线BD上的两个动点，且EF＝2，连接AE、AF，则 AE＋AF 的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图作AH∥BD，使得AH=EF=2，连接CH交BD于F，此时AE+AF的值最小， 【详解】 解：如图作AH∥BD，使得AH=EF=2，连接CH交BD于F，则AE+AF的值最小． ∵AH=EF，AH∥EF， ∴四边形EFHA是平行四边形， ∴EA=FH， ∵BD所在的直线是菱形的对称轴,点A、C是对称点，（或根据SAS证明△ABF≌△CBF） ∴FA=FC， ∴AE+AF=FH+CF=CH， ∵菱形ABCD的边长为3，∠ABC=60°， ∴AC=AB=3， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∵AH∥DB， ∴AC⊥AH， ∴∠CAH=90°， 在Rt△CAH中，CH= ＝， ∴AE+AF的最小值为 ， 故选：D． 【点睛】本题考查轴对称-最短问题，菱形的性质、勾股定理、平行四边形的判定和性质等知识，解题关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． 8．在周长为的正方形中，点是边的中点，点为对角线上的一个动点，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由于点B与点D关于AC对称，所以连接DE，交AC于点P，此时BP＋PE最小为线段DE的长，在Rt△DAE中，由勾股定理先计算出DE的长度即可． 【详解】连接DE，与AC的交点为P，此时BP＋PE最小， ∵四边形ABCD是正方形，且周长为8， ∴AC⊥BD，BO＝OD，AD＝AB＝2， ∴点B与点D关于AC对称， ∴BP＝DP， ∴BP＋PE＝DP＋PE＝DE， ∵E是AB的中点， ∴AE＝AB＝1， 在Rt△ADE中，DE2＝AD2＋AE2， ∴DE＝＝， 故选C． 【点睛】此题考查轴对称问题，根据两点之间线段最短，确定点P的位置是解题关键． 9．【问题原型】 如图1，在正方形中，．求证：． 【问题应用】 如图，在正方形中，，、分别是边、上的点，且． （1）如图2，连接、交于点，为的中点，连接，．当为的中点时，四边形的面积为 　　； （2）如图3，连接、，当点在边上运动时，的最小值为 　　． 【答案】[问题原型]见解析；[问题应用]（1）；（2） 【分析】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、将军饮马问题，此题综合性强，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． [问题原型]证明即可； [问题应用]（1）先证，得，求证，由，，求得，则可得，即可由得解； （2）连接，可证明，得，则，延长到点，使，连接、，则，则，当、、共线时最小，求解即可． 【详解】解：[问题原型]证明：如图，设与交于点， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ． [问题应用]（1）解：四边形是正方形，， ，， ，为的中点， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 为的中点， ， ， 故答案为：． （2）解：如图，连接， ，，， 在和中， ， ， ， ， 延长到点，使，则，垂直平分， 连接、，则， ，， ， ， 的最小值是， 故答案为：． 10．如图，正方形中，点为边的上一动点，作交、分别于、点，连．    (1)若点E为的中点，求证：F点为的中点； (2)若点E为的中点，，，求的长； (3)若正方形边长为4，直接写出的最小值________． 【答案】(1)见解析 (2)2 (3) 【分析】（1）证明，推出，由，，推出，即可证明点为的中点； （2）延长到，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质即可解决问题． （3）取的中点，连接，，由直角三角形的性质求出，由勾股定理求出，当、、共线时，的值最小，则可求出答案． 【详解】（1）解：证明：如图1中，   四边形是正方形， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 点为的中点； （2）延长到，使得，连接，   ， ， 又，分别是，的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ． （3）取的中点，连接，，   ， ， ， 、、共线时，的值最小，最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 （特殊）平行四边形中的折叠和最值问题 一、与折叠有关的常用性质： (1)折叠问题的本质是全等变换，折叠前的部分与折叠后的部分是全等图形； (2)折痕可看作垂直平分线（互相重合的两点之间的连线被折痕垂直平分）； (3)折痕可以看作角平分线（对称线段所在的直线与折痕的夹角相等）。 二、最值问题 类型1 利用几何基本事实确定最值 1垂线段最短 模型展示 垂线段最短：直线l外有一定点A,B是l上一动点，当AB⊥时，线段AB最短 2两点之间，线段最短 模型展示 两点之间，线段最短： 根据线段的基本事实可知AB≤AC+BC.当A,C,B三点顺次在一条直线上时，AB最大=AC+BC. 类型2利用轴对称变换确定最值 模型展示 条件：如图，A,B是直线l同旁的两个定点 问题：在直线l上确定一点P,使PA+PB的值最小 作法：作点A关于直线l的对称点A,连接AB交于点P,则此时PA+PB的值最小。 压轴题型一：平行四边形中的折叠 1．如图，在中，为边上一点，将沿折叠至处，与交于点，若，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平行四边形中，将沿若所在的直线折叠得到，交于点，连接，若，，，则的长 (    ) A．1 B． C． D． 3．如图，中，，将沿折叠，使点C落在点E处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，将平行四边形沿折叠，点恰好落在延长线上的点处，交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，为边上的一个点，将沿折叠至处，使得落在的延长线上，若，时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 压轴题型二：矩形中的折叠 6．如图，在矩形中，，点和是边上的两点，连接、，将和沿、折叠后，点和点重合于点，则的长是（   ） A．3 B．5 C．6 D．8 7．综合与实践课上，“矩形折纸”为主题开展了数学活动．小宁同学准备了一张长方形纸片，，，他在边上取中点，又在边上任取一点，再将沿折叠得到，连结，小宁同学通过多次实践得到以下结论： ①当点在边上运动时，点在以为圆心的圆弧上运动； ②的最大值为24； ③的最小值为16； ④达到最小值时，．上述结论中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，将矩形纸片沿折叠，使点落在对角线上的点处．若，则等于（   ） A． B． C． D． 9．如图，在矩形纸片中，，，点，分别在边，上．将矩形纸片沿直线折叠，使点落在边上，记为点．点落在点处，连接交于点，连接．下列结论：①四边形是菱形．②点与点重合时，．③的面积的取值范围是．④．其中所有正确结论的序号是（   ）    A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④ 10．如图，在矩形纸片中，，，点E是AB上一点，点F是上一点，点是上一点，将矩形沿折叠，使点的对应点正好落在的中点处，则的长为（    ）    A． B． C．2 D．3 压轴题型三：菱形中的折叠 11．如图，在菱形中，，点M，N分别在和上，沿将折叠，点A恰好落在边上的点E处．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 12．如图．菱形的顶点A在x轴上，于点D，将菱形沿所在直线折叠，点B的对应点为．若，点的横坐标为4，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 13．正方形中，将沿折叠，使得点在上为点，折痕为，连接、，给出下列结论：（）；（）；（）；（）四边形为菱形；（）若，则正方形的面积为．其中正确的结论是（    ） A．（）（） B．（）（）（） C．（）（）（） D．（）（）（） 14．如图，在一张菱形纸片中，，，点E在边上（不与点B，C重合），将沿直线折叠得到，连接，，．有以下四个结论：①；②沿直线折叠过程中，是一个定值；③当时，四边形的面积为；④当平分时，．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．如图，在菱形纸片中，，E是边的中点，将菱形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在直线上的点G处，折痕为与交于点H，有如下结论：①；②；③；④，上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 压轴题型四：正方形中的折叠 16．如图，在正方形中，，点E，F分别在边上，．若将四边形沿折叠，点B恰好落在边上，则的长度为（　　） A．1 B． C． D．2 17．如图，正方形中，为对角线，E，F分别为，上的点，将与分别沿，折叠，使B，D分别落在对角线上的，处．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 18．将矩形纸片放置在如图所示的平面直角坐标系中，P为边上一动点（不与点B，C重合），连接，将折叠，得到．经过点P再次折叠纸片，使点B的对应点落在直线上，折痕交于点E．已知点，当四边形是正方形时，点E的坐标为（    ） A． B． C． D． 19．如图，正方形中，，点E，F分别在边，上，．将四边形沿折叠得到四边形，且点恰好在边上，连结，则的长是（    ） A．4 B． C． D． 压轴题型五：平行四边形中的最值 20．如图，在中，，点D，点E分别是边上的动点，连结，点F，点M 分别是的中点，则的最小值为（　　） A． B． C．3 D． 21．如图，在等腰和等腰中，度，，为的中点，则线段的最小值为（　　） A． B． C． D． 22．如图，在中，，，P为边上的一动点，以、为邻边作，则对角线长度的最小值是（    ） A． B． C．1 D． 23．如图，在四边形中，，，，点P，Q分别是边，上的动点（点P不与点C重合），连接，，，点M，N分别是，的中点，连接，对于的长度有以下说法： ①当点Q的位置固定时，的长度随点P位置的变化而变化； ②当点Q的位置变化时，的长度的最大值为5； ③当点Q的位置变化时，的长度的最小值为4． 其中正确的说法是（    ） A．① B．①② C．②③ D．①②③ 压轴题型六：矩形中的最值 24．如图，矩形中，，，点P为对角线上一动点，于点E，于点F，则线段长的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 25．如图，在中，，点为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 26．如图，在中，，，，点P是边上任意一点，过点P作，，垂足分别为点D，E，连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 27．如图，在正方形中，，E为对角线上与点A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，与点G，连接，，有下列结论：①．②．③．④的最小值为3，其中正确结论的序号为（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④ 压轴题型七：菱形中的最值 28．如图，在菱形中，边长为2，，点在对角线上，点为边中点，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C． D． 29．菱形的边长为4，，点、分别是、上的动点，的最小值为（   ） A． B．2 C．3 D． 30．如图，已知菱形的边长为6，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 31．如图，在菱形中，，，点P为线段上不与端点重合的一个动点．过点P作直线、直线的垂线，垂足分别为点、点．连结，在点的运动过程中，的最小值等于（    ）． A．7 B．7.8 C．13 D．13.8 压轴题型八：正方形中的最值 32．如图，正方形的边长为4，点M在上，且，点N是上一动点，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D． 33．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=6，线段PQ在斜边AC上运动，且PQ=2．连接BP，BQ．则△BPQ周长的最小值是（    ） A． B． C．8 D． 34．如图，E，F是正方形边上的两点，，以为边向正方形内作矩形，，若矩形在正方形内可随线段进行自由滑动，则正方形边长的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 35．如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值（　　） A．2 B．4 C． D． 1．如图，在正方形中，点E、F、G分别在、、上，，，，，与交于点P．连接，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 2．如上图所示，矩形，，，点是边上的一个动点，点是对角线上一个动点，连接，，则的最小值是（    ）    A．6 B． C．12 D． 3．如图，菱形的边长为8，，点E，F分别是，边上的动点，且，过点B作于点G，连接，则长的最小值是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在菱形中，，，、分别为、的中点，是上的一个动点，则的最小值是（    ） A．3 B． C．4 D． 5．如图，已知菱形的边长为6，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 6．如图，点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，若线段PQ长的最大值为，最小值为4，则菱形ABCD的边长为（    ） A．5 B．10 C． D．8 7．如图，菱形ABCD的边长为3，且∠ABC=600，E、F是对角线BD上的两个动点，且EF＝2，连接AE、AF，则 AE＋AF 的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．在周长为的正方形中，点是边的中点，点为对角线上的一个动点，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 9．【问题原型】 如图1，在正方形中，．求证：． 【问题应用】 如图，在正方形中，，、分别是边、上的点，且． （1）如图2，连接、交于点，为的中点，连接，．当为的中点时，四边形的面积为 　　； （2）如图3，连接、，当点在边上运动时，的最小值为 　　． 10．如图，正方形中，点为边的上一动点，作交、分别于、点，连．    (1)若点E为的中点，求证：F点为的中点； (2)若点E为的中点，，，求的长； (3)若正方形边长为4，直接写出的最小值________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$