专题07 勾股定理的作图、计算和证明问题（4题型）-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（沪科版）

专题07 勾股定理的作图、计算和证明问题 1.等面积法求三角形一边上的高； 2.作长为的线段 把a写成a=m²+n²(m,n为正整数)的形式，作一直角三角形，使两直角边长分别为m,n,则斜边的长为。 压轴题型一：网格中求线段的长 √满分技法 一般涉及到勾股定理的逆定理，利用网格构造直角三角形求边长，涉及到求三角形的底和高的时候，一般用等积法。 1．如图，的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则的长为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为．若点，，都在格点（网格线的交点）上，则边上的高长为（    ） A． B． C． D．2 3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上，则在边上的高为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若是的高，则的长为（） A． B． C． D． 压轴题型二：勾股定理作无理数 √满分技法 把a写成a=m²+n²(m,n为正整数)的形式，作一直角三角形，使两直角边长分别为m,n,则斜边的长为。 5．如图，数轴上，下列各数是无理数且表示的点在线段上的是（   ） A．0 B． C． D． 6．如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作弧，弧与数轴正半轴交于点，则点所表示的数是（   ） A．2.2 B． C． D． 7．如图，根据尺规作图痕迹，点在数轴上表示的数是（    ） A． B． C． D．5 8．以单位1为边长画一个正方形，以顶点A为圆心、对角线长为半径画弧，与数轴的交点为C（点C在点B左侧），设点C在数轴上表示的数是a，则点A在数轴上表示的数是（   ） A． B． C． D． 压轴题型三：勾股定理作三角形 √满分技法 9．如图①、②、③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．请仅用无刻度的直尺按要求画出符合的图形．    (1)请在图①中，找一格点C，使是直角三角形，且为斜边，两直角边、长度均为有理数． (2)请在图②中，找一格点C，使是直角三角形，且为直角边． (3)请在图③中，找一格点C，使是直角三角形，且为斜边，两直角边、长度均为无理数． 10．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点称为格点，点在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，不要求写画法． (1)在图①中找一格点，连结AB，使线段； (2)在图②中画出等腰，点、在格点上，使为顶角且； (3)在图③中画出等腰，点、在格点上，使为顶角且腰长为5，则这个三角形的面积是______． 11．下列各正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，分别按下列要求画图（提醒：在答题卡上用黑笔画粗）．        (1)在图1中，已有两个小正方形被涂黑，请将图中其余小正方形再涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形； (2)在图2中，以格点为顶点画一个直角，使的三边长都是无理数； (3)在图3中画出，使为等腰三角形，其中D为格点（只需在图画出一个），这样的等腰三角形共可以画________个． 12．作图与设计： 在图1和图2中，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点． (1)在图1中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为5，，5； (2)在图2中以格点为顶点画一个面积为10的正方形； (3)在图3的正方形网格中建立平面直角坐标系，若各顶点都在格点上，请作出，使和关于x轴对称． 压轴题型四：勾股定理证明线段间的平方关系 √满分技法 线段之间的平方或平方差关系，通常是将它们转化到同一个直角三角形中求解，或者转化到具有公共边的直角三角形中求解。 13．已知：在中，，．点、在线段上．    (1)如图1，如果，求证：． (2)如图2，如果，求证：． 14．如图1是著名的赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为a和b，斜边长为c． (1)如图1请你用它验证勾股定理． (2)如图2四边形中于点O，，，，请直接写出 ． 15．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点． (1)若，，，，请求出，，，的值． (2)若，，求的值． (3)请根据（1）（2）题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论． 16．如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 1．如图是方格中的一个阴影正方形，若每个小方格的边长是1，则该阴影正方形的边长为（   ）． A． B． C． D． 2．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长是1，则在网格上的中，边长为有理数的有（   ）    A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上，则在边上的高为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，，均在格点上． （1）的长等于 ； （2）只用无刻度的直尺作出的边上的高．（保留作图痕迹） 5．如图，在的正方形网格中，的3个顶点均在正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形．为网格图中与全等的格点三角形（除外）的一个顶点，其对应点为．若在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点的坐标为，点在坐标轴上，则点的坐标为 ． 6．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点称为格点，点在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，不要求写画法． (1)在图①中找一格点，连结，使线段； (2)在图②中画出等腰，点、在格点上，使为顶角且； (3)在图③中画出等腰，点、在格点上，使为顶角且腰长为5，则这个三角形的面积是_______． 7．图（1）、图（2）都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的端点均在格点上． (1)线段的长为_________． (2)在图①中，只用无刻度的直尺，以为腰画等腰直角且点在格点上． (3)在图②中，只用无刻度的直尺，以为底画等腰直角且点在格点上． 8．如图，正方形网格中的每个正方形边长都是，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点画三角形，使三角形的三边长分别为，，画一个即可 9．已知是等边三角形．    (1)如图1，也是等边三角形．点A、B、E三点不共线，求证：； (2)如图2，点D是外一点，且，请证明结论； (3)如图3，点D是等边三角形外一点，若．试求的度数． 10．如图，和中，点D在上，，，，交的延长线于点F．    (1)求证：； (2)请直接写出、和之间的数量关系_____； (3)求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 勾股定理的作图、计算和证明问题 1.等面积法求三角形一边上的高； 2.作长为的线段 把a写成a=m²+n²(m,n为正整数)的形式，作一直角三角形，使两直角边长分别为m,n,则斜边的长为。 压轴题型一：网格中求线段的长 √满分技法 一般涉及到勾股定理的逆定理，利用网格构造直角三角形求边长，涉及到求三角形的底和高的时候，一般用等积法。 1．如图，的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积，利用面积法求得线段的长度是解题的关键． 利用勾股定理求的长度，然后由面积法求得的长度，即可求解． 【详解】解：如图，由勾股定理得 ， ，即， ∴； 故选：A． 2．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为．若点，，都在格点（网格线的交点）上，则边上的高长为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了网格与勾股定理，分母有理化；先运用勾股定理，算出，再根据等面积法，即可求解． 【详解】解：如图： ∵每个小正方形的边长均为， ∴， 即， 设边上的高长为 ∵ ∴， 故选：B． 3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上，则在边上的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理以及三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求出，再由三角形的面积即可计算出答案． 【详解】解：， ， 在边上的高为， 故选B． 4．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若是的高，则的长为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理计算的长，利用面积差可得三角形的面积，由三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：由勾股定理得：， ， ， ， ； 故选：C． 压轴题型二：勾股定理作无理数 √满分技法 把a写成a=m²+n²(m,n为正整数)的形式，作一直角三角形，使两直角边长分别为m,n,则斜边的长为。 5．如图，数轴上，下列各数是无理数且表示的点在线段上的是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴、无理数的估算，熟练掌握以上知识是解题的关键．先根据数轴可得在线段上的点，所表示的无理数的取值范围为大于且小于，再根据无理数的估算逐项判断即可得． 【详解】解：由数轴可知，在线段上的点所表示的无理数的取值范围为大于且小于． A、是有理数，则此项不符题意； B、是无理数，且，则此项符合题意； C、，则此项不符合题意； D、是无理数，但，则此项不符题意； 故选：B． 6．如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作弧，弧与数轴正半轴交于点，则点所表示的数是（   ） A．2.2 B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了实数与数轴以及勾股定理的应用，利用勾股定理正确得出的长是解题关键． 直接利用勾股定理得出的长，进而得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 故弧与数轴的交点P表示的数为：． 故选：B． 7．如图，根据尺规作图痕迹，点在数轴上表示的数是（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了尺规作图、数轴上两点之间的距离、勾股定理、数轴与实数等知识，理解并掌握勾股定理的应用是解题关键．根据题意，可知，，，，利用勾股定理解得的值，即可获得答案． 【详解】解：如下图， 根据题意，可知，，， ∴， ∴，即点在数轴上表示的数是． 故选：B． 8．以单位1为边长画一个正方形，以顶点A为圆心、对角线长为半径画弧，与数轴的交点为C（点C在点B左侧），设点C在数轴上表示的数是a，则点A在数轴上表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查实数与数轴，勾股定理，掌握勾股定理是解题关键． 由数轴可知正方形的边长为1，由勾股定理即可得出正方形的对角线长为，根据题意可得出，则可得出点表示的数． 【详解】解：由图可知正方形的边长为1， ∴正方形的对角线长为：， ∵顶点A为圆心、对角线长为半径画弧， ， ∴点表示的数是， 故选：B． 压轴题型三：勾股定理作三角形 √满分技法 9．如图①、②、③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．请仅用无刻度的直尺按要求画出符合的图形．    (1)请在图①中，找一格点C，使是直角三角形，且为斜边，两直角边、长度均为有理数． (2)请在图②中，找一格点C，使是直角三角形，且为直角边． (3)请在图③中，找一格点C，使是直角三角形，且为斜边，两直角边、长度均为无理数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了三角形的分类，勾股定理与网格的计算，掌握三角形的分类，勾股定理的运用是解题的关键． （1）根据三角形的分类进行作图即可； （2）根据等腰三角形的定义，勾股定理逆定理的运用进行作图； （3）根据等腰三角形的定义，钝角三角形的定义作图即可． 【详解】（1）解：如图，点C为所求作的点；    （2）解：如图，点C为所求作的点；    （3）解：如图，点C为所求作的点；    10．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点称为格点，点在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，不要求写画法． (1)在图①中找一格点，连结AB，使线段； (2)在图②中画出等腰，点、在格点上，使为顶角且； (3)在图③中画出等腰，点、在格点上，使为顶角且腰长为5，则这个三角形的面积是______． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)10或． 【分析】（1）利用网格结合勾股定理画图即可； （2）结合等腰三角形的判定，画以为顶角且底边为2，高为2的等腰三角形或者画底边为，高为的等腰三角形即可； （3）结合勾股定理画出等腰，使即可；利用三角形面积公式或者割补法算出三角形面积． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求． （2）解：如图所示， 即为所求． （3）解：如图所示，即为求． 三角形面积：或． 故答案为：10或 【点睛】本题主要考查了作图——应用与设计作图、等腰三角形的判定、勾股定理，熟练掌握等腰三角形的判定、勾股定理是解答本题的关键． 11．下列各正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，分别按下列要求画图（提醒：在答题卡上用黑笔画粗）．        (1)在图1中，已有两个小正方形被涂黑，请将图中其余小正方形再涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形； (2)在图2中，以格点为顶点画一个直角，使的三边长都是无理数； (3)在图3中画出，使为等腰三角形，其中D为格点（只需在图画出一个），这样的等腰三角形共可以画________个． 【答案】(1)见解析（涂法不唯一） (2)见解析 (3)图见解析，2 【分析】此题主要考查了作图与应用作图．本题需仔细分析题意，结合图形，利用勾股定理即可解决． （1）根据轴对称图形定义画出即可； （2）利用勾股定理，找长为、、的线段，画三角形即可． （3）利用勾股定理作一个等腰三角形即可得． 【详解】（1）解：如下图： （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，即为所求，这样的等腰三角形共可以画2个． 故答案为：2． 12．作图与设计： 在图1和图2中，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点． (1)在图1中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为5，，5； (2)在图2中以格点为顶点画一个面积为10的正方形； (3)在图3的正方形网格中建立平面直角坐标系，若各顶点都在格点上，请作出，使和关于x轴对称． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积，直角三角形的判定的应用， （1）根据勾股定理和已知画出符合条件的三角形即可； （2）根据勾股定理画出边长为的正方形即可； （3）先根据关于轴对称的点的性质，在平面直角坐标系中标出、、，再连接即可． 【详解】（1）解：如图，三角形三边长分别为5，，5； （2）解：如图，正方形的面积为10； （3）解：如图，和关于轴对称，即为所求． 压轴题型四：勾股定理证明线段间的平方关系 √满分技法 线段之间的平方或平方差关系，通常是将它们转化到同一个直角三角形中求解，或者转化到具有公共边的直角三角形中求解。 13．已知：在中，，．点、在线段上．    (1)如图1，如果，求证：． (2)如图2，如果，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）如图所示，过点C作于F，利用三线合一定理得到，由此即可证明； （2）如图所示，将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接，则，证明，得，再证明，则，即可证得． 【详解】（1）证明：如图所示，过点C作于F， ∵，， ∴， ∴， ∴；    （2）证明：如图所示，将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接， ∵， ∴， 由旋转得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴．      【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确利用旋转构造全等三角形是解题的关键． 14．如图1是著名的赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为a和b，斜边长为c． (1)如图1请你用它验证勾股定理． (2)如图2四边形中于点O，，，，请直接写出 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键. （1）通过图中小正方形面积证明勾股定理； （2）根据均为直角三角形，根据勾股定理得出 即可求出的值. 【详解】（1）解：， 另一方面， 即， ； （2）解：由题意可得， 均为直角三角形， 由勾股定理可得， ①，②，③，④ 可得； 可得； 即：， ， 解得（负值舍去）， 故答案为：． 15．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点． (1)若，，，，请求出，，，的值． (2)若，，求的值． (3)请根据（1）（2）题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论． 【答案】(1)，，， (2) (3)“垂美”四边形对边的平方和相等 【分析】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）根据“垂美”四边形的定义可得，再根据勾股定理即可求解； （2）根据“垂美”四边形的定义可得，进而得到，，根据即可求解； （3）由（1）（2）得到，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是“垂美”四边形，对角线，交于点， ， ，，，， ，，，， ，，，； （2）四边形是“垂美”四边形，对角线，交于点， ， ，， ，， ； （3）由（1）（2）可得：，即“垂美”四边形对边的平方和相等． 16．如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； 【分析】本题考查了勾股定理和平方差公式的相关证明和计算及解二元一次方程组，熟练掌握和运用勾股定理是解决问题的关键． （1）在和中，分别运用勾股定理可得，，利用边相等，联立两式移项即得证． （2）根据第一问的结论，可求出的值，利用平方差公式，结合，可求得，而，由此可求得、，由勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明： ， 在和中，根据勾股定理得， ，， ， 移项得：． 故． （2）解： ，， ， ， ，即， ， ，解得， ， ． 1．如图是方格中的一个阴影正方形，若每个小方格的边长是1，则该阴影正方形的边长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 利用勾股定理即可直接得出答案． 【详解】解：根据题意可得： 该阴影正方形的边长为：， 故选：． 2．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长是1，则在网格上的中，边长为有理数的有（   ）    A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理以及有理数的分类，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理进行计算求出边长，进行分类即可． 【详解】解：，为有理数， ，不是有理数， ，不是有理数， 故有一条边长为有理数， 故选B． 3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上，则在边上的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理以及三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求出，再由三角形的面积即可计算出答案． 【详解】解：， ， 在边上的高为， 故选B． 4．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，，均在格点上． （1）的长等于 ； （2）只用无刻度的直尺作出的边上的高．（保留作图痕迹） 【答案】（1）（2）图见解析 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，无刻度尺网格作图： （1）利用勾股定理进行求解即可； （2）延长至点，取格点，连接，与的交点即为点． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）如图，即为所求； 由图可得：， ∴， ∴，即：， ∴． 5．如图，在的正方形网格中，的3个顶点均在正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形．为网格图中与全等的格点三角形（除外）的一个顶点，其对应点为．若在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点的坐标为，点在坐标轴上，则点的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了全等三角形的判定的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法，找出符合条件的所有三角形是解此题的关键． 三角形的各个顶点都在格点上，所以任意长度都可用勾股定理计算得出，本题可以采用“三边对应相等”进行判定三角形全等． 【详解】∵点A的坐标为，点的坐标为， ∴坐标系原点在点A的下方3个单位，在点C的左方2个单位处，建立坐标系，如图， ∴点B的坐标为， ∴， ∵点为网格图中与全等的格点三角形的一个顶点，对应点为，在坐标轴上， ∴符合条件的点E的坐标有或或 ． 故答案为：或或 ． 6．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点称为格点，点在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，不要求写画法． (1)在图①中找一格点，连结，使线段； (2)在图②中画出等腰，点、在格点上，使为顶角且； (3)在图③中画出等腰，点、在格点上，使为顶角且腰长为5，则这个三角形的面积是_______． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析；或或 【分析】本题考查网格作图，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）使为直角边分别是1和2的直角三角形的斜边即可； （2）结合等腰三角形的判定与性质，使，，且边上的高为2或者即可； （3）使和都是直角边分别为3和4的直角三角形的斜边或者沿网格线画，为直角边分别为3和4的直角三角形的斜边即可． 【详解】（1）解：使为直角边分别是1和2的直角三角形的斜边，如下图即为所求， （2）解：使，，且边上的高为2或者，如下图即为所求， （3）解：使和都是直角边分别为3和4的直角三角形的斜边或者沿网格线画，为直角边分别为3和4的直角三角形的斜边，如下图即为所求， 图① 图② 图③ 故答案为：或或． 7．图（1）、图（2）都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的端点均在格点上． (1)线段的长为_________． (2)在图①中，只用无刻度的直尺，以为腰画等腰直角且点在格点上． (3)在图②中，只用无刻度的直尺，以为底画等腰直角且点在格点上． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形的定义等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． （1）利用勾股定理求解即可； （2）根据等腰三角形的定义以及题目要求作出图形即可； （3）根据等腰直角三角形的定义作出图形即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：如图，即为所求， （3）解：如图，即为所求， 8．如图，正方形网格中的每个正方形边长都是，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点画三角形，使三角形的三边长分别为，，画一个即可 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据勾股定理画出各边是解题的关键． 根据勾股定理以及题意正确作图即可． 【详解】解：∵， ∴根据题意：即为所求． 9．已知是等边三角形．    (1)如图1，也是等边三角形．点A、B、E三点不共线，求证：； (2)如图2，点D是外一点，且，请证明结论； (3)如图3，点D是等边三角形外一点，若．试求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接．根据证明即可解决问题； （2）以为边向下作等边，连接．证明，推出，再证明，即可解决问题； （3）以为边向下作等边，连接，作交的延长线于．同法可证：，可得，设，，利用勾股定理构建方程组，求出，即可解决问题． 【详解】（1）解：证明：如图1中，连接．   ，都是等边三角形， ，，， ， ， ． （2）如图2中，以为边向下作等边，连接．   ，都是等边三角形， ，，， ， ， ， ，， ， ， ，， ． （3）如图3中，以为边向下作等边，连接，作交的延长线于．    同法可证：， ，设，， 则有， 解得， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考压轴题． 10．如图，和中，点D在上，，，，交的延长线于点F．    (1)求证：； (2)请直接写出、和之间的数量关系_____； (3)求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据题意得到，再利用证明即可； （2）证明是等腰直角三角形，得到，再根据全等的性质得到，，得到，利用勾股定理即可得到关系； （3）延长到点，使，连接，证明，得到，，进一步证明，可得，推出，即可证明结论． 【详解】（1）解：， ， ， 在和中， ， ； （2）∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）延长到点，使，连接， ， ， 在和中， ， ， ，， ∵， ，，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$