9.2 独立性检验（1个知识点+5类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第二册）

9.2　独立性检验 课程标准 学习目标 （1）能用自己的语言解释列联表的构成，并能利用列联表进行简单的统计分析. （2）能举例说明独立性检验的基本步骤，并能用独立性检验方法解决简单的实际问题. （1）掌握分类变量和列联表的概念，并会依据列联表判断两个分类变量是否独立. （2）理解统计量χ2的意义和独立性检验的基本思想． 知识点01 独立性检验 1、分类变量 这里所说的变量和值不一定是具体的数值，例如：性别变量，其取值为男和女两种 我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量，分类变量的取值可以用实数表示． 2、2×2列联表 在实践中，由于保存原始数据的成本较高，人们经常按研究问题的需要，将数据分类统计，并做成表格加以保存，我们将这类数据统计表称为2×2列联表，2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数． 一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为 合计 a b c d 合计 3、等高堆积条形图 等高条形图和表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高条形图展示列联表数据的频率特征，依据频率稳定于概率的原理，我们可以推断结果． 4、临界值 统计量也可以用来作相关性的度量．越小说明变量之间越独立，越大说明变量之间越相关 ．忽略的实际分布与该近似分布的误差后，对于任何小概率值，可以找到相应的正实数，使得成立．我们称为的临界值，这个临界值就可作为判断大小的标准． 5、独立性检验 基于小概率值的检验规则是： 当时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过； 当时，我们没有充分证据推断H0不成立 ，可以认为X和Y独立． 这种利用的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验（test of independence）． 下表给出了χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值 0．1 0．05 0．01 0．005 0．001 2．706 3．841 6．635 7．879 10．828 6、应用独立性检验解决实际问题的大致步骤 （1）提出零假设：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释； （2）根据抽样数据整理出2×2列联表，计算的值，并与临界值比较； （3）根据检验规则得出推断结论； （4）在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律． 【即学即练1】（2025·高二·福建福州·期末）为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下列联表： 药物 疾病 合计 未患病 患病 服用 a 50 未服用 50 合计 80 20 100 若在本次考察中得出“在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为药物有效”的结论，则a的最小值为 ．（其中且）（参考数据：，） 附：， α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 题型一：用2×2列联表分析两分类变量间的关系 【典例1-1】（2025·高二·天津河北·期末）下面是一个2×2列联表，其中a、b处的值分别为 、 ． 总计 a 21 73 2 25 27 总计 b 46 100 【典例1-2】（2025·高三·安徽淮南·开学考试）针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的 ，女生追星的人数占女生人数的 ，若根据的独立性检验，认为中学生追星与性别有关，则男生至少有 人. 附： ， 其中， . 【方法技巧与总结】 （1）作2×2列联表时，关键是对涉及的变量分清类别．计算时要准确无误． （2）利用2×2列联表分析两个分类变量间的关系时，首先要根据题中数据获得2×2列联表，然后根据频率特征，即将与与的值相比，直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，但方法较粗劣． 【变式1-1】（2025·高三·上海·阶段练习）已知某独立性检验中，由，计算出，若将列联表中的数据分别变成，计算出的，则是的多少倍 . 【变式1-2】（2025·高三·山东济宁·阶段练习）某传媒公司针对“社交电商用户是否存在性别差异”进行调查，共调查了个人，得到下侧列联表.已知，若根据的独立性检验认为“社交电商用户存在性别差异”，则的最小值为 . 是社交电商用户 不是社交电商用户 合计 男性 女性 合计 参考公式：，其中. 【变式1-3】（2025·高三·湖南·阶段练习）某传媒公司针对“社交电商用户是否存在性别差异”进行调查，共调查了个人，得到如下列联表： 是社交电商用户 不是社交电商用户 合计 男性 女性 合计 已知，若根据的独立性检验认为“社交电商用户存在性别差异”，则的最小值为 . 题型二：用等高堆积条形图分析两分类变量间的关系 【典例2-1】（2025·高二·重庆·期末）如图是学校高二1､2班本期中考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图，如果再从两个班中各随机抽6名学生的期中考试数学成绩统计，那么（    ） A．两个班6名学生的数学成绩优秀率可能相等 B．1班6名学生的数学成绩优秀率一定高于2班 C．2班6名学生中数学成绩不优秀的一定多于优秀的 D．“两班学生的数学成绩优秀率存在差异”判断一定正确 【典例2-2】（2025·高二·河北张家口·阶段练习）观察下图的等高条形图，其中最有把握认为两个分类变量，之间没有关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式2-1】（2025·吉林长春·三模）观察下列各图，其中两个分类变量x，y之间关系最强的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·高二·广东深圳·期中）观察下面各等高堆积条形图，其中两个分类变量、相关关系最强的是 . 【变式2-3】（2025·高二·山东临沂·期中）某校为研究该校学生性别与体育锻炼的经常性之间的联系，随机抽取100名学生（其中男生60名，女生40名），并绘制得到如图所示的等高堆积条形图，则这100名学生中经常锻炼的人数为 ． 【变式2-4】（2025·高二·全国·课后作业）在等高条形图中，下列哪两个比值相差越大，要推断的论述成立的可能性就越大（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型三：对独立性检验的理解 【典例3-1】（2025·高三·四川绵阳·开学考试）为研究高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，运用列联表进行检验，经计算，参考下表，则认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过（    ） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 A． B． C． D． 【典例3-2】（2025·高二·山东滨州·期末）针对时下的“短视频热”，某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生､女生人数均为人，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的.零假设为：喜欢短视频和性别相互独立.若依据的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，则的最小值为（ ） 附：，附表： 0.05 0.01 3.841 6.635 A．7 B．8 C．9 D．10 【方法技巧与总结】 　的实质就是两个变量相关的概率为． 【变式3-1】（2025·高二·山东烟台·期中）下列关于独立性检验的说法正确的是（　　） A．独立性检验是对两个变量是否具有线性相关关系的一种检验 B．独立性检验可以确定两个变量之间是否具有某种关系 C．利用独立性检验推断吸烟与患肺病的关联中，根据小概率值的独立性检验，认为吸烟与患肺病有关系时，则我们可以说在个吸烟的人中，有人患肺病 D．对于独立性检验，随机变量的值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大 【变式3-2】（2025·高三·广东东莞·阶段练习）根据分类变量与的观测数据，计算得到.依据的独立性检验，结论为（    ） A．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过 B．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过 C．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过 D．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过 题型四：由进行独立性检验 【典例4-1】（2025·高二·全国·课时练习）利用独立性检验来考察两个分类变量和是否有关系时，通过查列联表计算得，那么认为与有关系，这个结论错误的可能性不超过（    ） 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A．0.001 B．0.005 C．0.01 D．0.05 【典例4-2】（2025·高二·江西九江·期末）假设有两个变量和，它们的取值分别为和，其列联表为（    ） 根据以下选项中的数据计算的值，其中最大的一组为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 解决独立性检验问题的基本步骤 (1)根据已知的数据作出列联表． (2)求的值． (3)判断可能性：与临界值比较，得出事件有关的可能性大小． 【变式4-1】（2025·高二·全国·课时练习）为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠．在照射后14天的结果如下表所示： 电离辐 射剂量 存活情况 死亡 存活 总计 第一种剂量 14 11 25 第二种剂量 6 19 25 总计 20 30 50 由表中数据算得：χ2＝ ，说明两种电离辐射剂量对小白鼠的致死作用 ．（填“相同”或“不相同”） 【变式4-2】（2025·高二·江苏·课时练习）考察棉花种子是否经过处理跟得病之间的关系，得如表所示的数据： 种子处理 种子未处理 合计 得病 不得病 合计 根据以上数据得χ2的值是 （精确到）． 题型五：独立性检验与概率统计的综合应用 【典例5-1】（2025·河南郑州·二模）近年来，儿童近视问题日益严重，已成为影响儿童健康的重要问题之一，教育部提出了一系列措施，旨在通过学校、家庭和社会的共同努力，减少儿童近视的发生率．多项研究表明，每天增加户外活动时间可以显著降低儿童近视的发生率．为研究近视是否与户外活动时长有关，某学校数学兴趣小组采用简单随机抽样的方法调查了六年级的100名学生，其中有55名同学的户外活动时间超过2小时；100名同学中近视的学生有60人，这60人中每天户外活动时间不足2小时的有35人． (1)根据所给数据，得到成对样本数据的分类统计结果，完成以下列联表，依据小概率值的独立性检验，分析学生患近视与户外活动时间长短是否有关． 近视人数 未近视人数 合计 户外活动时间不足2小时 35 户外活动时间超过2小时 55 合计 60 (2)用频率估计概率，从已经近视的学生中采用随机抽样的方式选出1名学生，利用“物理十药物”治疗方案对该学生进行治疗．已知“物理+药物”治疗方案的治愈数据如下：在已近视的学生中，对每天户外活动时间超过2小时的学生的治愈率为，对每天户外活动时间不足2小时治愈率为，求近视学生被治愈的概率． 参考公式与数据：，其中． 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【典例5-2】（2025·陕西·模拟预测）某生产工厂生产优质钢索，现需要通过不同场次进行钢索检索抽查．现从机器内随机选取了40组（各20组），记录了他们不同米数，并将数据整理如下表： 米数组别 0～20 21～50 51～80 81～100 A 1 2 3 8 6 B 0 3 7 8 2 米数超过被系统评定为“优质”，否则被系统评定为“备选”． (1)利用样本估计总体的思想，试估计工厂中米数超过的概率； (2)根据题意完成下面的列联表，并据此判断能否有的把握认为“评定类型”与“组别”有关？ 优质 备选 总计 A B 总计 附：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【方法技巧与总结】 （1）解答此类题目的关键在于正确利用计算的值，再用它与临界值的大小作比较来判断假设检验是否成立，从而使问题得到解决． 【变式5-1】（2025·贵州铜仁·模拟预测）近日，一部名为“体彩公益金助力‘村’赛出乡村振兴新气象”的视频在网络上广泛传播，引起了大众的热烈反响.这部视频以贵州省黔东南苗族侗族自治州台江县台盘村为肯景，生动展现了台盘村从一个默默无闻的小村庄到因“村”而声名鹊起的历程，揭示了体育精神与乡村振兴的紧密联系.现有一支“村”球队，其中球员甲是其主力队员，经统计该球队在某个赛季的所有比赛中，球员甲是否上场时该球队的胜负情况如下表. 甲球员是否上场 球队的胜负情况 合计 胜 负 上场 1 未上场 8 合计 5 42 (1)完成列联表，并依据的独立性检验，能否认为球队的胜负与球员甲的出场有关联； (2)由于队员的不同，球员甲主打的位置会进行调整，且球员甲每场比赛只主打前锋､中锋､后卫中的一个位置根据以往的数据统计，球员甲上场时，担任的角色为前锋､中锋､后卫的概率分别为，相应球队赢球的概率分别为. （i）当球员甲上场参加比赛时，判断球员甲主打哪个位置球队赢球的概率更大，并说明理由； （ii）当球员甲上场参加比赛时，在球队赢了该场比赛的条件下，求甲是前锋的概率. 附：. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【变式5-2】（2025·青海海东·二模）某餐馆2024年12月份共有800个线上外卖订单，其中好评订单有600个，其余均为非好评订单.为了提升菜品品质，增加营业额，该餐馆在2025年1月份更换了厨师，更换厨师后该餐馆2025年1月份共有2000个线上外卖订单，其中好评订单有1600个，其余均为非好评订单. (1)根据统计数据，完成下列表格，并依据小概率值的独立性检验，分析该餐馆订单的好评率是否与更换厨师有关联. 好评 非好评 合计 更换厨师前 更换厨师后 合计 (2)现从更换厨师前的订单中按好评和非好评，按比例用分层随机抽样法抽取8个订单进行电话回访，再从这8个订单中随机抽取3个订单发放新品品尝券并让顾客评价，记抽取的3个订单中好评的订单个数为，求的分布列和数学期望. (3)用样本频率估计总体概率，现从更换厨师后所有订单中随机抽取100个订单，记其中好评的订单个数为，求使事件“”的概率最大时的值. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【变式5-3】（2025·山东菏泽·一模）在春节联欢晚会上进行了机器人团体舞蹈表演，某机构随机抽取了100名观众进行问卷调查，得到了如下数据： 喜欢 不喜欢 男性 40 10 女性 20 30 (1)依据的独立性检验，试分析对机器人表演节目的喜欢是否与性别有关联？ (2)从这100名样本观众中任选1名，设事件“选到的观众是男性”，事件“选到的观众喜欢机器人团体舞蹈表演节目”，比较和的大小，并解释其意义. ，. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【变式5-4】（2025·高三·浙江杭州·阶段练习）为了了解高中学生语文与数学成绩之间的联系，从某学校获取了名学生的成绩样本，并将他们的数学和语文成绩整理如表： 单位：人 数学成绩 语文成绩 不优秀 优秀 不优秀 优秀 (1)依据的独立性检验，能否认为学生的数学成绩与语文成绩有关联？ (2)以频率估计概率、从全市高中所有数学不优秀的学生中随机抽取5人，设其中恰有位学生的语文成绩优秀，求随机变量的分布列以及数学期望． 附： 【变式5-5】（2025·河北保定·一模）某工厂为了解员工绩效分数达标情况与员工性别的关系，随机对该厂男、女各30名员工的绩效分数达标情况进行调查，整理得到如下列联表： 单位：人 性别 绩效分数达标情况 合计 未达标 达标 男 20 10 30 女 5 25 30 合计 25 35 60 (1)经计算，所调查的男员工绩效分数的平均数为26；女员工绩效分数的平均数为34，求这60人绩效分数的平均数. (2)根据上表数据，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断绩效分数达标情况与性别有关联？ (3)该厂为激励员工，规定每月绩效分数的第一名奖励1千元，其他名次无奖励.甲为该厂员工，他在工厂开工的第一个月赢得奖励的概率为，从第二个月开始，若上个月没有赢得奖励，则这个月赢得奖励的概率为；若上个月赢得奖励，则这个月仍赢得奖励的概率为，求甲在前两个月所得奖金总额X（单位：千元）的分布列和数学期望. 附： 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 参考公式：，其中. 1．（2024高三·北京·专题练习）年月日太原地铁号线开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况，为了了解市民对地铁号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构．并制作出如下等高堆积条形图： 根据图中信息，下列结论不一定正确的是（ ） A．样本中男性比女性更关注地铁号线开通 B．样本中多数女性是岁及以上 C．样本中岁以下的男性人数比岁及以上的女性人数多 D．样本中岁及以上的人对地铁号线的开通关注度更高 2．（23-24高二下·福建漳州·期中）为加强素质教育，使学生各方面全面发展，某学校对学生文化课与体育课的成绩进行了调查统计，结果如下：附：，其中. 体育课不及格 体育课及格 合计 文化课及格 57 221 278 文化课不及格 16 43 59 合计 73 264 337 在对体育课成绩与文化课成绩进行独立性检验时，根据以上数据可得到的值为（    ） A．38.214 B．1.255 C．0.0037 D．2.058 3．（23-24高二下·陕西咸阳·期末）下列说法正确的是（    ） A．若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于1 B．若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于0 C．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05 D．若随机变量，满足，则 4．（23-24高二下·山东枣庄·期末）学校开设了游泳选修课.某教练为了解学生对游泳运动的喜好和性别是否有关，在全校学生中选取了男、女生各人进行调查，并绘制如下图所示的等高堆积条形图.则（    ） 参考公式及数据：，其中. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 A．参与调查的女生中喜欢游泳运动的人数比不喜欢游泳运动的人数多 B．全校学生中喜欢游泳运动的男生人数比喜欢游泳运动的女生人数多 C．若，依据的独立性检验，可以认为游泳运动的喜好和性别有关 D．若，依据的独立性检验，可以认为游泳运动的喜好和性别有关 5．（23-24高二下·黑龙江双鸭山·阶段练习）下列说法错误的是（ ） A．线性相关系数时，两变量正相关 B．在回归直线方程中，当解释变量x每增加个单位时，响应变量平均增加个单位 C．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值就越接近于1 D．对分类变量与，随机变量的观测值越大，则判断“与有关系”的把握程度越大 6．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）某校团委对“学生性别和喜欢某视频是否有关”做了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的一半，男生喜欢该视频的人数占男生人数的，女生喜欢该视频的人数占女生人数的，若依据小概率值的独立性检验，认为喜欢该视频和性别有关，则男生至少有（    ） 附： 0.050 0.010 3.841 6.635 . A．12人 B．6人 C．10人 D．18人 7．（23-24高二下·吉林长春·期中）2020年2月，全国掀起了“停课不停学”的热潮，各地教师通过网络直播､微课推送等多种方式来指导学生线上学习.为了调查学生对网络课程的热爱程度，研究人员随机调查了相同数量的男､女学生，发现有80%的男生喜欢网络课程，有40%的女生不喜欢网络课程，在犯错误的概率大于0.001且不超过0.01的前提下认为是否喜欢网络课程与性别有关，则被调查的男､女学生总数量可能为（ ） 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 A．130 B．190 C．240 D．250 8．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）针对2025年第九届亚冬会在哈尔滨举办，校团委对“是否喜欢冰雪运动与学生性别的关系”进行了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生中喜欢冰雪运动的人数占男生人数的，女生中喜欢冰雪运动的人数占女生人数的，若依据的独立性检验，认为是否喜欢冰雪运动与学生性别有关，则被调查的学生中男生的人数不可能是（     ） 附:. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A．48 B．54 C．60 D．66 9．（22-23高一下·江苏苏州·期末）为了解喜爱足球是否与性别有关，随机抽取了若干人进行调查，抽取女性人数是男性的2倍，男性喜爱足球的人数占男性人数的，女性喜爱足球的人数占女性人数的，若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论，则被调查的男性至少有（    ）人 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 5.635 7.879 10.828 A．11 B．12 C．13 D．14 10．（多选题）（24-25高三上·四川·期中）为了研究某校高三年级学生的性别和身高是否低于的关联性，研究小组从该校高三学生中获取容量为500的有放回简单随机样本，由样本数据整理得到如下列联表： 单位：人 性别 身高 合计 低于 不低于 女 140 60 200 男 120 180 300 合计 260 240 500 附：，其中． α 小组成员甲用该列联表中的数据进行独立性检验，小组成员乙将该列联表中的所有数据都缩小为原来的后再进行独立性检验，则下列说法正确的是（   ） A．依据的独立性检验，小组成员甲可以认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联 B．依据的独立性检验，小组成员甲不能认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联 C．小组成员甲、乙计算出的值相同，依据的独立性检验，他们得出的结论也相同 D．小组成员甲、乙计算出的值不同，依据的独立性检验，他们得出的结论也不同 11．（多选题）（23-24高二下·吉林白山·期末）暑假结束后，为了解假期中学生锻炼身体情况，学生处对所有在校学生做问卷调查，并随机抽取了180人的调查问卷，其中男生比女生少20人，并将调查结果绘制得到等高堆积条形图．已知，其中，，在被调查者中，下列说法正确的是（    ） A．男生中不经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人数多 B．男生中经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人多8人 C．经常锻炼者中男生的频率是不经常锻炼者中男生的频率的1.6倍左右 D．在犯错误的概率不大于0.01的条件下，可以认为假期是否经常锻炼与性别有关 12．（24-25高三下·安徽淮南·开学考试）针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的 ，女生追星的人数占女生人数的 ，若根据的独立性检验，认为中学生追星与性别有关，则男生至少有 人. 附： ， 其中， . 13．（24-25高三·上海·随堂练习）随着工业化以及城市车辆的增加，城市的空气污染越来越严重，空气质量指数API一直居高不下，对人体的呼吸系统造成了的严重的影响．现调查了某市500名居民的工作场所和呼吸系统健康状况，得到列联表如下，则 ．（结果精确到0.001） 室外工作 室内工作 总计 有呼吸系统疾病 150 无呼吸系统疾病 100 总计 200 14．（24-25高二下·江西抚州·阶段练习）为了解消费者购买新能源汽车意向与年龄是否具有相关性，某汽车公司通过问卷调查对200名消费者进行调查．数据显示200名消费者中，青年人共有125人，且中老年中愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的2倍：青年中愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的4倍． (1)完善列联表，请根据小概率值的独立性检验，分析消费者对新能源车和燃油车的意向购买与年龄是否有关； 年龄段 购车意向 合计 愿意购买新能源车 愿意购买燃油车 青年 中老年 合计 (2)采用分层随机抽样从愿意购买新能源车的消费者中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中青年人数的分布列和期望． 附：，． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 15．（24-25高二下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表： 一周参加体育锻炼次数 0 1 2 3 4 5 6 7 合计 男生人数 3 2 2 5 6 5 4 3 30 女生人数 9 2 3 6 4 3 2 1 30 合计 12 4 5 11 10 8 6 4 60 (1)若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．请完成以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系； 不经常锻炼 经常锻炼 合计 男生 女生 合计 (2)若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题．以样本频率估计概率，在全校抽取3名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为，求分布列和； (3)若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望． 附： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 16．（24-25高二下·江西宜春·阶段练习）随着互联网发展，网络已成为人们日常学习、工作和生活不可或缺的部分，互联网在带给人们生活便捷与高效工作的同时，网络犯罪也日益增多，为了防范网络犯罪与网络诈骗，学校举办“网络安全宣传倡议”活动.某学校从全体学生中随机抽取了400人对“网络安全宣传倡议”的了解情况进行问卷调查，统计结果如下表所示： (1)根据所提供的数据，完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关？ 男 女 合计 了解 150 240 不了解 90 合计 参考公式：，． 参考数据： 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 (2)对了解“网络安全宣传倡议”的人按性别用比例分配的分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记为抽取的3人中女生的人数，求的分布列和数学期望. 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 9.2　独立性检验 课程标准 学习目标 （1）能用自己的语言解释列联表的构成，并能利用列联表进行简单的统计分析. （2）能举例说明独立性检验的基本步骤，并能用独立性检验方法解决简单的实际问题. （1）掌握分类变量和列联表的概念，并会依据列联表判断两个分类变量是否独立. （2）理解统计量χ2的意义和独立性检验的基本思想． 知识点01 独立性检验 1、分类变量 这里所说的变量和值不一定是具体的数值，例如：性别变量，其取值为男和女两种 我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量，分类变量的取值可以用实数表示． 2、2×2列联表 在实践中，由于保存原始数据的成本较高，人们经常按研究问题的需要，将数据分类统计，并做成表格加以保存，我们将这类数据统计表称为2×2列联表，2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数． 一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为 合计 a b c d 合计 3、等高堆积条形图 等高条形图和表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高条形图展示列联表数据的频率特征，依据频率稳定于概率的原理，我们可以推断结果． 4、临界值 统计量也可以用来作相关性的度量．越小说明变量之间越独立，越大说明变量之间越相关 ．忽略的实际分布与该近似分布的误差后，对于任何小概率值，可以找到相应的正实数，使得成立．我们称为的临界值，这个临界值就可作为判断大小的标准． 5、独立性检验 基于小概率值的检验规则是： 当时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过； 当时，我们没有充分证据推断H0不成立 ，可以认为X和Y独立． 这种利用的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验（test of independence）． 下表给出了χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值 0．1 0．05 0．01 0．005 0．001 2．706 3．841 6．635 7．879 10．828 6、应用独立性检验解决实际问题的大致步骤 （1）提出零假设：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释； （2）根据抽样数据整理出2×2列联表，计算的值，并与临界值比较； （3）根据检验规则得出推断结论； （4）在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律． 【即学即练1】（2025·高二·福建福州·期末）为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下列联表： 药物 疾病 合计 未患病 患病 服用 a 50 未服用 50 合计 80 20 100 若在本次考察中得出“在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为药物有效”的结论，则a的最小值为 ．（其中且）（参考数据：，） 附：， α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】46 【解析】由题意可得， 整理得， 所以或， 解得或， 又因为且， 所以， 所以a的最小值为46. 故答案为：46. 题型一：用2×2列联表分析两分类变量间的关系 【典例1-1】（2025·高二·天津河北·期末）下面是一个2×2列联表，其中a、b处的值分别为 、 ． 总计 a 21 73 2 25 27 总计 b 46 100 【答案】 52 54 【解析】根据2×2列联表的定义可知，，解得， 故答案为：52，54. 【典例1-2】（2025·高三·安徽淮南·开学考试）针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的 ，女生追星的人数占女生人数的 ，若根据的独立性检验，认为中学生追星与性别有关，则男生至少有 人. 附： ， 其中， . 【答案】30 【解析】设男生人数为x，由题意得列联表如下； 喜欢追星 不喜欢追星 合计 男生 x 女生 合计 计算 解得 又， 所以 ， 即根据 的独立性检验，认为中学生追星与性别有关，所以男生至少有30人. 故答案为：30. 【方法技巧与总结】 （1）作2×2列联表时，关键是对涉及的变量分清类别．计算时要准确无误． （2）利用2×2列联表分析两个分类变量间的关系时，首先要根据题中数据获得2×2列联表，然后根据频率特征，即将与与的值相比，直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，但方法较粗劣． 【变式1-1】（2025·高三·上海·阶段练习）已知某独立性检验中，由，计算出，若将列联表中的数据分别变成，计算出的，则是的多少倍 . 【答案】4 【解析】因为， 所以. 故答案为：4. 【变式1-2】（2025·高三·山东济宁·阶段练习）某传媒公司针对“社交电商用户是否存在性别差异”进行调查，共调查了个人，得到下侧列联表.已知，若根据的独立性检验认为“社交电商用户存在性别差异”，则的最小值为 . 是社交电商用户 不是社交电商用户 合计 男性 女性 合计 参考公式：，其中. 【答案】3 【解析】由题设，零假设社交电商用户与性别无关， 而， 则， 所以根据的独立性检验认为是不是社交电商用户与性别有关，则的最小值3. 故答案为：3 【变式1-3】（2025·高三·湖南·阶段练习）某传媒公司针对“社交电商用户是否存在性别差异”进行调查，共调查了个人，得到如下列联表： 是社交电商用户 不是社交电商用户 合计 男性 女性 合计 已知，若根据的独立性检验认为“社交电商用户存在性别差异”，则的最小值为 . 【答案】3 【解析】， 所以根据的独立性检验认为是不是社交电商用户与性别有关，则的最小值为3. 故答案为：3. 题型二：用等高堆积条形图分析两分类变量间的关系 【典例2-1】（2025·高二·重庆·期末）如图是学校高二1､2班本期中考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图，如果再从两个班中各随机抽6名学生的期中考试数学成绩统计，那么（    ） A．两个班6名学生的数学成绩优秀率可能相等 B．1班6名学生的数学成绩优秀率一定高于2班 C．2班6名学生中数学成绩不优秀的一定多于优秀的 D．“两班学生的数学成绩优秀率存在差异”判断一定正确 【答案】A 【解析】原图是学校高二1､2班本期中期考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图， 从两个班随机抽取的6名学生的期中考试数学成绩优秀率无法确定哪个班的比较高，2班6名学生数学成绩不优秀的和优秀的人数也不能确定，故A正确，BC错误； 两个班期中考试数学成绩的优秀率均在0.5左右，并不能直接确定“两班学生的数学成绩优秀率存在差异”，故D错误； 故选：A. 【典例2-2】（2025·高二·河北张家口·阶段练习）观察下图的等高条形图，其中最有把握认为两个分类变量，之间没有关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解析】根据题意，在等高的条形图中，当，所占比例相差越大时，越有把握认为两个分类变量，之间有关系， 由选项可得：B选项中，，所占比例相差无几，所以最有把握认为两个分类变量，之间没有关系， 故选：B 【变式2-1】（2025·吉林长春·三模）观察下列各图，其中两个分类变量x，y之间关系最强的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】观察等高条形图发现与相差很大，就判断两个分类变量之量关系最强． 故选：D 【变式2-2】（2025·高二·广东深圳·期中）观察下面各等高堆积条形图，其中两个分类变量、相关关系最强的是 . 【答案】乙 【解析】等高条形图中有两个高度相同的矩形，每个矩形都有两个颜色，观察下方颜色区域的高度，如果高度差越大，则两个分类变量关系越强，观察四个选项可知，B选项中带颜色区域的高度差最大，两个分类变量、相关关系最强; 故答案为：乙 【变式2-3】（2025·高二·山东临沂·期中）某校为研究该校学生性别与体育锻炼的经常性之间的联系，随机抽取100名学生（其中男生60名，女生40名），并绘制得到如图所示的等高堆积条形图，则这100名学生中经常锻炼的人数为 ． 【答案】68 【解析】由等高堆积条形图进行数据分析，这100名学生中经常锻炼的人数为：. 故答案为：68 【变式2-4】（2025·高二·全国·课后作业）在等高条形图中，下列哪两个比值相差越大，要推断的论述成立的可能性就越大（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【解析】由等高条形图可知与的值相差越大，|ad－bc|就越大，相关性就越强． 故选：C 题型三：对独立性检验的理解 【典例3-1】（2025·高三·四川绵阳·开学考试）为研究高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，运用列联表进行检验，经计算，参考下表，则认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过（    ） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，结合表格可知，所以认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过0.010. 故选：B． 【典例3-2】（2025·高二·山东滨州·期末）针对时下的“短视频热”，某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生､女生人数均为人，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的.零假设为：喜欢短视频和性别相互独立.若依据的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，则的最小值为（ ） 附：，附表： 0.05 0.01 3.841 6.635 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【解析】根据题意，不妨设， 于是， 由于依据的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立， 根据表格可知，解得，于是最小值为. 故选：C 【方法技巧与总结】 　的实质就是两个变量相关的概率为． 【变式3-1】（2025·高二·山东烟台·期中）下列关于独立性检验的说法正确的是（　　） A．独立性检验是对两个变量是否具有线性相关关系的一种检验 B．独立性检验可以确定两个变量之间是否具有某种关系 C．利用独立性检验推断吸烟与患肺病的关联中，根据小概率值的独立性检验，认为吸烟与患肺病有关系时，则我们可以说在个吸烟的人中，有人患肺病 D．对于独立性检验，随机变量的值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大 【答案】D 【解析】对于A，独立性检验是通过卡方计算来判断两个变量存在关联的可能性的一种方法，并非检验二者是否是线性相关，故错误； 对于B，独立性检验并不能确定两个变量相关，故错误； 对于C，是指“抽烟”和“患肺病”存在关联的可能性，并非抽烟人中患肺病的发病率，故错误； 对于D，根据卡方计算的定义可知该选项正确； 故选:D. 【变式3-2】（2025·高三·广东东莞·阶段练习）根据分类变量与的观测数据，计算得到.依据的独立性检验，结论为（    ） A．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过 B．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过 C．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过 D．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过 【答案】B 【解析】因为时，所以， 所以变量与不独立，且这个结论犯错误的概率不超过. 故选:B. 题型四：由进行独立性检验 【典例4-1】（2025·高二·全国·课时练习）利用独立性检验来考察两个分类变量和是否有关系时，通过查列联表计算得，那么认为与有关系，这个结论错误的可能性不超过（    ） 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A．0.001 B．0.005 C．0.01 D．0.05 【答案】D 【解析】由，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为与有关系. 故选：D. 【典例4-2】（2025·高二·江西九江·期末）假设有两个变量和，它们的取值分别为和，其列联表为（    ） 根据以下选项中的数据计算的值，其中最大的一组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，， 对于B，， 对于C，， 对于D，， 显然最大，故C正确. 故选：C. 【方法技巧与总结】 解决独立性检验问题的基本步骤 (1)根据已知的数据作出列联表． (2)求的值． (3)判断可能性：与临界值比较，得出事件有关的可能性大小． 【变式4-1】（2025·高二·全国·课时练习）为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠．在照射后14天的结果如下表所示： 电离辐 射剂量 存活情况 死亡 存活 总计 第一种剂量 14 11 25 第二种剂量 6 19 25 总计 20 30 50 由表中数据算得：χ2＝ ，说明两种电离辐射剂量对小白鼠的致死作用 ．（填“相同”或“不相同”） 【答案】 5.333 不相同 【解析】由列联表中数据，计算得， 所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为小白鼠的死亡与使用的电离辐射剂量有关， 即两种电离辐射剂量对小白鼠的致死作用不相同． 故答案为：5.333；不相同 【变式4-2】（2025·高二·江苏·课时练习）考察棉花种子是否经过处理跟得病之间的关系，得如表所示的数据： 种子处理 种子未处理 合计 得病 不得病 合计 根据以上数据得χ2的值是 （精确到）． 【答案】 【解析】依题意 . 故答案为： 题型五：独立性检验与概率统计的综合应用 【典例5-1】（2025·河南郑州·二模）近年来，儿童近视问题日益严重，已成为影响儿童健康的重要问题之一，教育部提出了一系列措施，旨在通过学校、家庭和社会的共同努力，减少儿童近视的发生率．多项研究表明，每天增加户外活动时间可以显著降低儿童近视的发生率．为研究近视是否与户外活动时长有关，某学校数学兴趣小组采用简单随机抽样的方法调查了六年级的100名学生，其中有55名同学的户外活动时间超过2小时；100名同学中近视的学生有60人，这60人中每天户外活动时间不足2小时的有35人． (1)根据所给数据，得到成对样本数据的分类统计结果，完成以下列联表，依据小概率值的独立性检验，分析学生患近视与户外活动时间长短是否有关． 近视人数 未近视人数 合计 户外活动时间不足2小时 35 户外活动时间超过2小时 55 合计 60 (2)用频率估计概率，从已经近视的学生中采用随机抽样的方式选出1名学生，利用“物理十药物”治疗方案对该学生进行治疗．已知“物理+药物”治疗方案的治愈数据如下：在已近视的学生中，对每天户外活动时间超过2小时的学生的治愈率为，对每天户外活动时间不足2小时治愈率为，求近视学生被治愈的概率． 参考公式与数据：，其中． 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【解析】（1）列联表如下： 近视人数 未近视人数 合计 户外活动时间不足2小时 35 10 45 户外活动时间超过2小时 25 30 55 合计 60 40 100 零假设为：学生患近视与户外活动时间长短无关． 根据列联表中的数据，经计算得到 ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为学生患近视与户外活动时间长短有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005． （2）设事件“使用“物理+药物”治疗方案并且治愈”，事件“该近视同学每天户外活动时间超过2小时”，“该近视同学每天户外活动时间不足2小时”，则 ，，且，， 则， 所以该近视学生使用“物理+药物”治疗方案被治愈的概率为． 【典例5-2】（2025·陕西·模拟预测）某生产工厂生产优质钢索，现需要通过不同场次进行钢索检索抽查．现从机器内随机选取了40组（各20组），记录了他们不同米数，并将数据整理如下表： 米数组别 0～20 21～50 51～80 81～100 A 1 2 3 8 6 B 0 3 7 8 2 米数超过被系统评定为“优质”，否则被系统评定为“备选”． (1)利用样本估计总体的思想，试估计工厂中米数超过的概率； (2)根据题意完成下面的列联表，并据此判断能否有的把握认为“评定类型”与“组别”有关？ 优质 备选 总计 A B 总计 附：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【解析】（1）由题可得，样本米数超过的频率为， 根据样本估计总体的思想，估计工厂中米数超过的概率为. （2）根据题意，列联表完成如下， 优质 备选 总计 A 14 6 20 B 10 10 20 总计 24 16 40 零假设：“评定类型”与“组别”无关， 则， 所以零假设成立，即“评定类型”与“组别”无关， 所以没有的把握认为“评定类型”与“组别”有关. 【方法技巧与总结】 （1）解答此类题目的关键在于正确利用计算的值，再用它与临界值的大小作比较来判断假设检验是否成立，从而使问题得到解决． 【变式5-1】（2025·贵州铜仁·模拟预测）近日，一部名为“体彩公益金助力‘村’赛出乡村振兴新气象”的视频在网络上广泛传播，引起了大众的热烈反响.这部视频以贵州省黔东南苗族侗族自治州台江县台盘村为肯景，生动展现了台盘村从一个默默无闻的小村庄到因“村”而声名鹊起的历程，揭示了体育精神与乡村振兴的紧密联系.现有一支“村”球队，其中球员甲是其主力队员，经统计该球队在某个赛季的所有比赛中，球员甲是否上场时该球队的胜负情况如下表. 甲球员是否上场 球队的胜负情况 合计 胜 负 上场 1 未上场 8 合计 5 42 (1)完成列联表，并依据的独立性检验，能否认为球队的胜负与球员甲的出场有关联； (2)由于队员的不同，球员甲主打的位置会进行调整，且球员甲每场比赛只主打前锋､中锋､后卫中的一个位置根据以往的数据统计，球员甲上场时，担任的角色为前锋､中锋､后卫的概率分别为，相应球队赢球的概率分别为. （i）当球员甲上场参加比赛时，判断球员甲主打哪个位置球队赢球的概率更大，并说明理由； （ii）当球员甲上场参加比赛时，在球队赢了该场比赛的条件下，求甲是前锋的概率. 附：. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【解析】（1）根据题意，可得的列联表： 甲球员是否上场 球队的胜负情况 合计 胜 负 上场 29 1 30 未上场 8 4 12 合计 37 5 42 零假设：球队的胜负与球员甲的上场无关 此时， 注意到，依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为球队的胜负与球员甲的上场有关联，由此推断犯错误的概率不大于0.01. （2）（i）设事件A：甲球员上场打前锋；事件：甲球员上场打中锋； 事件：甲球员上场打后卫，事件球队赢球， 则， ， 所以当球员甲上场主打前锋参加比赛时，球队赢球的概率： ， 当球员甲上场主打中锋参加比赛时，球队赢球的概率： ， 当球员甲上场主打后卫参加比赛时，球队赢球的概率： ， 因为， 所以球员甲上场主打后卫参加比赛时，球队赢球的概率最大； （ii）由（i）知当球员甲上场参加比赛时，球队赢球的概率 ， 当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下， 球员甲是前锋的概率为. 【变式5-2】（2025·青海海东·二模）某餐馆2024年12月份共有800个线上外卖订单，其中好评订单有600个，其余均为非好评订单.为了提升菜品品质，增加营业额，该餐馆在2025年1月份更换了厨师，更换厨师后该餐馆2025年1月份共有2000个线上外卖订单，其中好评订单有1600个，其余均为非好评订单. (1)根据统计数据，完成下列表格，并依据小概率值的独立性检验，分析该餐馆订单的好评率是否与更换厨师有关联. 好评 非好评 合计 更换厨师前 更换厨师后 合计 (2)现从更换厨师前的订单中按好评和非好评，按比例用分层随机抽样法抽取8个订单进行电话回访，再从这8个订单中随机抽取3个订单发放新品品尝券并让顾客评价，记抽取的3个订单中好评的订单个数为，求的分布列和数学期望. (3)用样本频率估计总体概率，现从更换厨师后所有订单中随机抽取100个订单，记其中好评的订单个数为，求使事件“”的概率最大时的值. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【解析】（1）列联表如下： 好评 非好评 合计 更换厨师前 600 200 800 更换厨师后 1600 400 2000 合计 2200 600 2800 零假设为餐馆订单的好评率与更换厨师无关联， 根据列联表中数据，经计算得到， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为该餐馆订单的好评率与更换厨师有关联，此推断犯错误的概率不大于. （2）依题意，用分层随机抽样法抽取的8个订单中，好评订单有个，非好评有2个， 而从这8个订单中随机抽取3个，其中好评的订单个数的可能值有， 则， 所以的分布列为： 1 2 3 数学期望. （3）依题意，更换厨师后好评率为， 从更换厨师后所有订单中随机抽取100个订单，则， 于是， 由， 由，解得，而，则当时，单调递增； 由，解得，则当时，单调递减， 所以使事件“”的概率最大时的值为80. 【变式5-3】（2025·山东菏泽·一模）在春节联欢晚会上进行了机器人团体舞蹈表演，某机构随机抽取了100名观众进行问卷调查，得到了如下数据： 喜欢 不喜欢 男性 40 10 女性 20 30 (1)依据的独立性检验，试分析对机器人表演节目的喜欢是否与性别有关联？ (2)从这100名样本观众中任选1名，设事件“选到的观众是男性”，事件“选到的观众喜欢机器人团体舞蹈表演节目”，比较和的大小，并解释其意义. ，. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【解析】（1）零假设对机器人表演节目的喜欢与性别无关.         根据列联表中的数据得， 依据的独立性检验，可以推断不成立，即对机器人表演节目的喜欢与性别有关联. （2）依题意得，，    ，    则         意义：该样本中男性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢的概率比女性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢概率大； 或者男性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢的人数比女性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢多等等 【变式5-4】（2025·高三·浙江杭州·阶段练习）为了了解高中学生语文与数学成绩之间的联系，从某学校获取了名学生的成绩样本，并将他们的数学和语文成绩整理如表： 单位：人 数学成绩 语文成绩 不优秀 优秀 不优秀 优秀 (1)依据的独立性检验，能否认为学生的数学成绩与语文成绩有关联？ (2)以频率估计概率、从全市高中所有数学不优秀的学生中随机抽取5人，设其中恰有位学生的语文成绩优秀，求随机变量的分布列以及数学期望． 附： 【解析】（1）零假设为：学生的数学成绩与语文无关， 由题， 所以依据的独立性检验，推断零假设不成立，即认为学生的数学成绩与语文成绩有关联，此推断犯错误的概率不大于. （2）由题意可知数学不优秀的学生中语文成绩优秀的概率为， 随机变量的取值有，由已知， 则，， ，， ，， 所以随机变量的分布列为 所以随机变量的数学期望. 【变式5-5】（2025·河北保定·一模）某工厂为了解员工绩效分数达标情况与员工性别的关系，随机对该厂男、女各30名员工的绩效分数达标情况进行调查，整理得到如下列联表： 单位：人 性别 绩效分数达标情况 合计 未达标 达标 男 20 10 30 女 5 25 30 合计 25 35 60 (1)经计算，所调查的男员工绩效分数的平均数为26；女员工绩效分数的平均数为34，求这60人绩效分数的平均数. (2)根据上表数据，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断绩效分数达标情况与性别有关联？ (3)该厂为激励员工，规定每月绩效分数的第一名奖励1千元，其他名次无奖励.甲为该厂员工，他在工厂开工的第一个月赢得奖励的概率为，从第二个月开始，若上个月没有赢得奖励，则这个月赢得奖励的概率为；若上个月赢得奖励，则这个月仍赢得奖励的概率为，求甲在前两个月所得奖金总额X（单位：千元）的分布列和数学期望. 附： 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 参考公式：，其中. 【解析】（1）由题意可知，. （2）零假设为：绩效分数达标情况与性别无关. ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为绩效分数达标情况与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001. （3）由题意知可能的取值为， 则； ， 所以甲在前两个月所得奖金总额的分布列为 0 1 2 数学期望. 1．（2024高三·北京·专题练习）年月日太原地铁号线开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况，为了了解市民对地铁号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构．并制作出如下等高堆积条形图： 根据图中信息，下列结论不一定正确的是（ ） A．样本中男性比女性更关注地铁号线开通 B．样本中多数女性是岁及以上 C．样本中岁以下的男性人数比岁及以上的女性人数多 D．样本中岁及以上的人对地铁号线的开通关注度更高 【答案】C 【解析】设等高条形图对应列联表如下： 岁及以上 岁以下 总计 男性 女性 总计 根据第个等高条形图可知，岁及以上男性比岁及以上女性多，即； 岁以下男性比岁以下女性多，即． 根据第个等高条形图可知，男性中岁及以上的比岁以下的多，即； 女性中岁及以上的比岁以下的多，即， 对于A，男性人数为，女性人数为， 因为，所以，所以A正确； 对于B，岁及以上女性人数为，岁以下女性人数为， 因为，所以B正确； 对于C，岁以下男性人数为，岁及以上女性人数为， 无法从图中直接判断与的大小关系，所以C不一定正确； 对于D，岁及以上的人数为，岁以下的人数为， 因为，所以，所以D正确． 故选：C. 2．（23-24高二下·福建漳州·期中）为加强素质教育，使学生各方面全面发展，某学校对学生文化课与体育课的成绩进行了调查统计，结果如下：附：，其中. 体育课不及格 体育课及格 合计 文化课及格 57 221 278 文化课不及格 16 43 59 合计 73 264 337 在对体育课成绩与文化课成绩进行独立性检验时，根据以上数据可得到的值为（    ） A．38.214 B．1.255 C．0.0037 D．2.058 【答案】B 【解析】， 故选：B 3．（23-24高二下·陕西咸阳·期末）下列说法正确的是（    ） A．若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于1 B．若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于0 C．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05 D．若随机变量，满足，则 【答案】C 【解析】对于选项AB：若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，故AB错误； 对于选项C：因为， 根据独立性检验可知：与有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05，故C正确； 对于选项D：因为，所以，故D错误； 故选：C. 4．（23-24高二下·山东枣庄·期末）学校开设了游泳选修课.某教练为了解学生对游泳运动的喜好和性别是否有关，在全校学生中选取了男、女生各人进行调查，并绘制如下图所示的等高堆积条形图.则（    ） 参考公式及数据：，其中. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 A．参与调查的女生中喜欢游泳运动的人数比不喜欢游泳运动的人数多 B．全校学生中喜欢游泳运动的男生人数比喜欢游泳运动的女生人数多 C．若，依据的独立性检验，可以认为游泳运动的喜好和性别有关 D．若，依据的独立性检验，可以认为游泳运动的喜好和性别有关 【答案】D 【解析】对于A，由等高堆积条形图可知，参与调查的女生中喜欢游泳运动的人数比不喜欢游泳运动的人数少，故A错误； 对于B，全校学生中男生和女生人数比不确定，故不能确定全校学生中喜欢游泳运动的男生人数比喜欢游泳运动的女生人数多，故B错误； 对于C，结合等高堆积条形图可得： 性别 游泳 合计 喜欢 不喜欢 男生 0.6n 0.4n n 女生 0.4n 0.6n n 合计 n n 2n 故， 若，则， 故依据的独立性检验，不可以认为游泳运动的喜好和性别有关，故C错误； 对于D，若，则， 依据的独立性检验，可以认为游泳运动的喜好和性别有关，故D正确. 故选：D 5．（23-24高二下·黑龙江双鸭山·阶段练习）下列说法错误的是（ ） A．线性相关系数时，两变量正相关 B．在回归直线方程中，当解释变量x每增加个单位时，响应变量平均增加个单位 C．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值就越接近于1 D．对分类变量与，随机变量的观测值越大，则判断“与有关系”的把握程度越大 【答案】C 【解析】对于A，线性相关系数为正时，变量为正相关关系，故A正确； 对于B，在回归直线方程中，当时，，故B正确； 对于C，两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值就越接近于，故C错误； 对于D，随机变量的观测值越大，变量间的关系把握程度越大，故D正确. 故选：C. 6．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）某校团委对“学生性别和喜欢某视频是否有关”做了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的一半，男生喜欢该视频的人数占男生人数的，女生喜欢该视频的人数占女生人数的，若依据小概率值的独立性检验，认为喜欢该视频和性别有关，则男生至少有（    ） 附： 0.050 0.010 3.841 6.635 . A．12人 B．6人 C．10人 D．18人 【答案】A 【解析】设被调查的男生人数为，则被调查的女生人数为，则列联表为 性别 付某视频的态度 合 喜欢 不喜欢 计 男生 女生 合计 根据小概率值的独立性检验， 认为喜欢某视频和性别有关，则， 即， 则， 又均为整数， 所以男生至少有12人. 故选：A. 7．（23-24高二下·吉林长春·期中）2020年2月，全国掀起了“停课不停学”的热潮，各地教师通过网络直播､微课推送等多种方式来指导学生线上学习.为了调查学生对网络课程的热爱程度，研究人员随机调查了相同数量的男､女学生，发现有80%的男生喜欢网络课程，有40%的女生不喜欢网络课程，在犯错误的概率大于0.001且不超过0.01的前提下认为是否喜欢网络课程与性别有关，则被调查的男､女学生总数量可能为（ ） 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 A．130 B．190 C．240 D．250 【答案】B 【解析】依题意，设男、女学生的人数都为，则男、女学生的总人数为，可得列联表如下， 喜欢网络课程 不喜欢网络课程 总计 男生 女生 总计 故， 由题意可得， 所以，结合选项可知，只有B符合题意. 故选：B. 8．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）针对2025年第九届亚冬会在哈尔滨举办，校团委对“是否喜欢冰雪运动与学生性别的关系”进行了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生中喜欢冰雪运动的人数占男生人数的，女生中喜欢冰雪运动的人数占女生人数的，若依据的独立性检验，认为是否喜欢冰雪运动与学生性别有关，则被调查的学生中男生的人数不可能是（     ） 附:. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A．48 B．54 C．60 D．66 【答案】A 【解析】设男生人数为，因为被调查的男、女生人数相同， 所以女生人数也为，根据题意列出列联表： 男生 女生 合计 喜欢冰雪运动 不喜欢冰雪运动 合计 则， 因为依据的独立性检验，认为是否喜欢冰雪运动与学生性别有关， 所以，即，解得，又， 所以B、C、D正确，A错误. 故选：A 9．（22-23高一下·江苏苏州·期末）为了解喜爱足球是否与性别有关，随机抽取了若干人进行调查，抽取女性人数是男性的2倍，男性喜爱足球的人数占男性人数的，女性喜爱足球的人数占女性人数的，若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论，则被调查的男性至少有（    ）人 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 5.635 7.879 10.828 A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【解析】设男性人数为，依题意，得列联表如下： 喜爱足球 不喜爱足球 合计 男性 女性 合计 则的观测值为， 因为本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论， 于是，即，解得，而，因此 故选：B 10．（多选题）（24-25高三上·四川·期中）为了研究某校高三年级学生的性别和身高是否低于的关联性，研究小组从该校高三学生中获取容量为500的有放回简单随机样本，由样本数据整理得到如下列联表： 单位：人 性别 身高 合计 低于 不低于 女 140 60 200 男 120 180 300 合计 260 240 500 附：，其中． α 小组成员甲用该列联表中的数据进行独立性检验，小组成员乙将该列联表中的所有数据都缩小为原来的后再进行独立性检验，则下列说法正确的是（   ） A．依据的独立性检验，小组成员甲可以认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联 B．依据的独立性检验，小组成员甲不能认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联 C．小组成员甲、乙计算出的值相同，依据的独立性检验，他们得出的结论也相同 D．小组成员甲、乙计算出的值不同，依据的独立性检验，他们得出的结论也不同 【答案】AD 【解析】由题设，零假设该中学高三年级学生的性别与身高没有关联， 对于成员甲有， 对于成员乙有， 依据的独立性检验，小组成员甲可认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联； 依据的独立性检验，小组成员乙不能认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联； 小组成员甲、乙计算出的值不同，他们得出的结论也不同. 故选：AD 11．（多选题）（23-24高二下·吉林白山·期末）暑假结束后，为了解假期中学生锻炼身体情况，学生处对所有在校学生做问卷调查，并随机抽取了180人的调查问卷，其中男生比女生少20人，并将调查结果绘制得到等高堆积条形图．已知，其中，，在被调查者中，下列说法正确的是（    ） A．男生中不经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人数多 B．男生中经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人多8人 C．经常锻炼者中男生的频率是不经常锻炼者中男生的频率的1.6倍左右 D．在犯错误的概率不大于0.01的条件下，可以认为假期是否经常锻炼与性别有关 【答案】BCD 【解析】设男生人数为，则女生人数为， 由题得， 解得，即在被调查者中，男､女生人数为80，100，可得到如下列联表， 性别 锻炼情况 合计 经常锻炼 不经常锻炼 男 48 32 80 女 40 60 100 合计 88 92 180 由表可知，A显然错误， 男生中经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人数多B正确； 在经常锻炼者中是男生的频率为，在不经常锻炼者中是男生的频率为C正确； 零假设：假期是否经常锻炼与性别无关， 则，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为假期是否经常锻炼与性别有关，此推断犯错误概率不大于0.01，D正确， 故选：BCD． 12．（24-25高三下·安徽淮南·开学考试）针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的 ，女生追星的人数占女生人数的 ，若根据的独立性检验，认为中学生追星与性别有关，则男生至少有 人. 附： ， 其中， . 【答案】30 【解析】设男生人数为x，由题意得列联表如下； 喜欢追星 不喜欢追星 合计 男生 x 女生 合计 计算 解得 又， 所以 ， 即根据 的独立性检验，认为中学生追星与性别有关，所以男生至少有30人. 故答案为：30. 13．（24-25高三·上海·随堂练习）随着工业化以及城市车辆的增加，城市的空气污染越来越严重，空气质量指数API一直居高不下，对人体的呼吸系统造成了的严重的影响．现调查了某市500名居民的工作场所和呼吸系统健康状况，得到列联表如下，则 ．（结果精确到0.001） 室外工作 室内工作 总计 有呼吸系统疾病 150 无呼吸系统疾病 100 总计 200 【答案】3.968 【解析】补全列联表 室外工作 室内工作 总计 有呼吸系统疾病 150 200 350 无呼吸系统疾病 50 100 150 总计 200 300 500 . 故答案为：3.968. 14．（24-25高二下·江西抚州·阶段练习）为了解消费者购买新能源汽车意向与年龄是否具有相关性，某汽车公司通过问卷调查对200名消费者进行调查．数据显示200名消费者中，青年人共有125人，且中老年中愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的2倍：青年中愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的4倍． (1)完善列联表，请根据小概率值的独立性检验，分析消费者对新能源车和燃油车的意向购买与年龄是否有关； 年龄段 购车意向 合计 愿意购买新能源车 愿意购买燃油车 青年 中老年 合计 (2)采用分层随机抽样从愿意购买新能源车的消费者中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中青年人数的分布列和期望． 附：，． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【解析】（1） 年龄段 购车意向 合计 愿意购买新能源车 愿意购买燃油车 青年 100 25 125 中老年 50 25 75 合计 150 50 200 零假设：费者对新能源车和燃油车的意向购买与年龄无关， 因， 则根据小概率值的独立性检验，消费者对新能源车和燃油车的意向购买与年龄有关. （2）愿意购买新能源车的消费者中，青年与中老年的人数之比为， 所以采用分层随机抽样抽取的6人中，4人是青年，2人是中老年， 记抽取的2人中，青年的人数为，则的可能取值为0，1，2， ，， ， 所以的分布列如下： 0 1 2 . 15．（24-25高二下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表： 一周参加体育锻炼次数 0 1 2 3 4 5 6 7 合计 男生人数 3 2 2 5 6 5 4 3 30 女生人数 9 2 3 6 4 3 2 1 30 合计 12 4 5 11 10 8 6 4 60 (1)若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．请完成以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系； 不经常锻炼 经常锻炼 合计 男生 女生 合计 (2)若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题．以样本频率估计概率，在全校抽取3名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为，求分布列和； (3)若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望． 附： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【解析】（1）根据统计表格数据可得列联表如下： 性别 锻炼 合计 不经常 经常 男生 7 23 30 女生 14 16 30 合计 21 39 60 零假设为：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关； 根据列联表的数据计算可得， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1. （2）因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故近似服从二项分布， 易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率 即可得，， ，， ，， 故所求分布列为 0 1 2 3 故． （3）易知10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生， 所以的所有可能取值为，且服从超几何分布： ，， ， 故所求分布列为 0 1 2 3 可得. 16．（24-25高二下·江西宜春·阶段练习）随着互联网发展，网络已成为人们日常学习、工作和生活不可或缺的部分，互联网在带给人们生活便捷与高效工作的同时，网络犯罪也日益增多，为了防范网络犯罪与网络诈骗，学校举办“网络安全宣传倡议”活动.某学校从全体学生中随机抽取了400人对“网络安全宣传倡议”的了解情况进行问卷调查，统计结果如下表所示： (1)根据所提供的数据，完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关？ 男 女 合计 了解 150 240 不了解 90 合计 参考公式：，． 参考数据： 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 (2)对了解“网络安全宣传倡议”的人按性别用比例分配的分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记为抽取的3人中女生的人数，求的分布列和数学期望. 【解析】（1）根据题意，得到列联表为： 男 女 合计 了解 150 90 240 不了解 70 90 160 合计 220 180 400 零假设为：对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别无关联. 根据列联表中数据，可以求得： ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关. （2）（2）从男生中抽取：（人）， 从女生中抽取：（人）. 的所有可能取值为，，，， ， ， 的分布列为： 所以.. 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$