第6章 习题课 二项式定理的综合应用（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修3（人教A版2019）

计数原理 习题课　二项式定理的综合应用 第六章 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 C 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 C 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 D 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 C 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 C 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 B 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 谢谢观看 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 学习目标 1.掌握二项式定理及其性质． 2．能够利用二项式定理解决两个多项式乘积的特定项问题. 3．能利用二项式定理解决整除(余数)问题． 综合应用一　两个二项式积的问题 [例1] (1)(2022·新高考Ⅰ卷)(1－)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答). (2)已知(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，则正实数a＝________． 答案：(1)－28　(2)　 (1)因为(1－)(x＋y)8＝(x＋y)8－(x＋y)8，所以(1－)(x＋y)8的展开式中含x2y6的项为Cx2y6－Cx3y5＝－28x2y6，(1－)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为－28. (2)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为Ca2，含x项的系数为Ca，由(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，可得－Ca2＋Ca＝0.因为a为正实数，所以15a＝6，所以a＝. 两个二项式乘积的展开式中特定项问题 (1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点． (2)找到构成展开式中特定项的组成部分． (3)分别求解再相加，求和即得． [练1] (2024·保定高二期中)在(1－x)5(2x＋1)的展开式中，含x3项的系数为(　　) A．25 B．－5 C．10 D．－25 因为(1－x)5的通项公式为Tk＋1＝C·(－x)k(k＝0，1，…，5)， 所以含x3的项为C(－x)3×1＋C(－x)2×2x＝10x3， 即含x3项的系数为10. 综合应用二　三项展开式问题 [例2] (1)(x－2y＋3z)6的展开式中x3y2z的系数为(　　) A.－60 B．240 C．－360 D．720 (2)(x－－1)4的展开式中，常数项为________． 答案：(1)D　(2)－5　 (1)展开式中的x3y2z项可以看成6个因式(x－2y＋3z)中，其中3个取x，剩下的3个因式中2个取(－2y)，最后一个取3z，即得到C·x3·C·(－2y)2(3z)＝720x3y2z. 所以展开式中x3y2z项的系数为720. 故选D. (2)∵(x－－1)4＝[－1＋(x－)]4， ∴Tk＋1＝C(－1)4－k(x－)k(k＝0，1，2，3，4)，当k＝0时，T1＝1；当k≠0时，(x－)k的展开式的通项公式为Cxk－r·(－)r＝(－1)rCxk－2r(r≤k，r∈N)，令k＝2r，可得或∴常数项为1＋C(－1)2·C(－1)1＋C(－1)0C(－1)2＝1－12＋6＝－5. 解决三项式问题常用的方法 (1)先把三项式中的某两项看作一项，然后利用二项式定理展开求解； (2)三项式可利用完全平方公式转化为二项式，然后用二项式定理求解； (3)三项式可通过分解因式转化为两个二项式的积的形式，然后用二项式定理求解； (4)三项式可看作几个因式相乘，利用排列组合去括号. [练2] (2024·邢台高二期末)(x＋2＋)3展开式中的常数项为(　　) A．6 B．15 C．20 D．28 因为(x＋2＋)3＝[]3＝， 所以展开式中的常数项即分子(x＋1)6展开式中x3的系数，即C＝20. [练3] (2024·苏州高二期中)(3x＋2y＋z)5展开式中xy3z项的系数为(　　) A．120 B．240 C．360 D．480 因为(3x＋2y＋z)5＝[(3x＋2y)＋z]5，所以通项公式为Tk＋1＝C(3x＋2y)5－k·zk， 令k＝1，所以T2＝C(3x＋2y)4z， 设二项式(3x＋2y)4的通项公式为T′k′＋1＝C·(3x)4－k′·(2y)k′， 令k′＝3，所以T′4＝C(3x)(2y)3＝96xy3， xy3z项的系数为C×96＝5×96＝480，故选D. 综合应用三　整除和余数问题 [例3] (1)今天是第一天星期一，则第230天是星期________. (2)5555＋1除以8的余数是________． 答案：(1)一　(2)0　 (1)因为230＝810＝(7＋1)10＝C·710·10＋C·79·11＋…＋C·71·19＋C·70·110，所以230除以7的余数为1，所以第230天是星期一． (2)因为5555＝(56－1)55＝C·5655－C·5654＋C·5653－…＋C·561－C·560，且展开式的前55项都能被8整除，所以展开式的前55项的和能被8整除，因为展开式的最后一项－C·560＝－1，所以5555除以8的余数是7，所以5555＋1除以8的余数就是8除以8的 余数，即余数为0. 解决整除、余数问题常用的方法 (1)利用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面(或前面)一、二项就可以了. (2)解决求余数问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式． [练4] 设a∈Z，且0≤a≤15，若492 024＋a能被15整除，则a＝________． 答案：14　 由题意，a∈Z，∵492 024＝(45＋4)2 024＝C×452 024×40＋C×452 023×41＋…＋C×45×42 023＋C×42 024，可知492 024被15除的余数与42 024被15除的余数相等，又∵42 024＝161 012＝(15＋1)1 012＝C×151 012＋C×151 011＋…＋C×15＋1，∴492 024被15除的余数为1，∵0≤a≤15，∴若492 024＋a能被15整除，则1＋a＝15，解得a＝14. 1．知识清单 (1)两个二项式积的问题． (2)三项展开式问题． (3)整除与余数问题． 2．方法归纳：分类讨论，方程思想． 3．常见误区：分类不当，重复或遗漏． ◎随堂演练 1．在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为(　　) A．30 B．20 C．15 D．10 因为(1＋x)6的展开式的第k＋1项为Tk＋1＝Cxk，所以x(1＋x)6的展开式中含x3的项为Cx3＝15x3，所以含x3项的系数为15. 2．使得二项式81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1能被5整除的最小自然数x为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 ∵81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1＝(3x＋1)4，∴上式能被5整除的最小自然数为3. 3．(2024·无锡高二期中)(x＋y—2)5展开式中x2y2的系数为(　　) A．60 B．－60 C．30 D．－30 (x＋y－2)5＝[x＋(y－2)]5，要找到展开式中含有x2y2的项，需从Cx2(y－2)3中找到含有x2y2的项，即Cx2Cy2(－2)1＝－60x2y2，故x2y2的系数为－60. 4．233除以9的余数是________． 答案：8　 233＝811＝(9－1)11＝C×911－C×910＋C×99－…＋C×9－C，因为除最后一项－1外，其余各项都能被9整除，所以余数为9－1＝8. $$