第6章 提升课 分组、分配的问题（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修3（人教A版2019）

计数原理 提升课　分组、分配的问题 第六章 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 D 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 B 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 B 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 D 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 谢谢观看 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 学习目标 1.了解分组、分配问题的区别． 2．掌握分组、分配问题的解题策略． 综合应用一　分组、分配问题 角度一：分组问题 [例1] 已知有9本不同的书． (1)分成三堆，每堆3本，有多少种不同的分堆方法？ (2)分成三堆，一堆2本，一堆3本，一堆4本，有多少种不同的分堆方法？(用数字作答) (1)9本书平均分成3堆，则有＝280种不同的分堆方法． (2)从9本书中，先取2本作为一堆，再从剩下的7本中取3本作为一堆，最后4本作为一堆，则有CCC＝1 260种不同的分堆方法． 角度二：分配问题 [例2] (2024·钦州高二期中)将7名应届公费师范大学毕业生分配到3所中学任教．(最后结果用数字表示) (1)4个人分到甲学校，2个人分到乙学校，1个人分到丙学校，有多少种不同的分配方案？ (2)一所学校安排4个人，一所学校安排2个人，一所学校安排1个人，有多少种不同的分配方案？ (3)其中有两所学校都各安排3个人，另一所学校安排1个人，有多少种不同的分配方案？ (1)C×C×C＝105(种). (2)C×C×C×A＝630(种). (3)A＝420(种). “分组”与“分配”问题的解法 (1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种： ①完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成n组，最后必须除以n！； ②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！； ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象． (2)将n个不同元素按某些条件分配给不同的对象，称为分配问题． 分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配． [练1] (2024·杭州高二期中)由未来科学大奖联合中国科技馆共同策划推出的2023年全国科技馆联合行动“同上一堂科学课”——科学点燃青春：未来科学大奖获奖者对话青少年活动于2023年9月8日在全国各地以线上线下结合的方式举行．现有某市组织5名获奖者到当地三个不同的会场与学生进行对话活动，要求每个会场至多派两名获奖者，每名获奖者只去一个会场，则不同的派出方法有(　　) A．60种 B．90种 C．150种 D．180种 B 要求每个会场至多派两名获奖者，每名获奖者只去一个会场，则不同的派出方法有A＝90种． 综合应用二　相同元素的分配问题 [例3] 将6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子，求下列情形的放法种数： (1)每个盒子都不空； (2)恰有一个空盒子； (3)恰有两个空盒子． (1)先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板，然后在小球之间的5个空隙中任选3个空隙各插入一块隔板，故共有C＝10种放法． (2)方法一　恰有一个空盒子，第一步先选出一个盒子，有C种选法；第二步在小球之间的5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板．由分步乘法计数原理得，共有CC＝40种放法． 方法二　恰有一个空盒子，插板分两步进行：先在首尾两球外侧各放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插入一块隔板，如|○|○○○|○○|，有C种插法． 然后将剩下的一块隔板与任意一块并放形成空盒，如|○|○○○||○○|，有C种插法，故共有CC＝40种放法． (3)方法一　分两步完成：第一步任取2个盒子不放小球(取两个空盒子)有C种选法，第二步在6个小球之间的5个空隙中任选一个空档插一块隔板，有C种方法. 由分步乘法计数原理，共有CC＝30种放法． 方法二　恰有两个空盒子，插板分两步进行：先在首尾两球外侧各放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙插一块隔板，有C种插法，如|○○|○○○○|，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒，有两种情况，第一种，这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，如||○○||○○○○|，有C种插法；第二种，将两块板与前面三块板之一并放，如|○○|||○○○○|，有C种插法. 故共有C(C＋C)＝30种放法． 相同元素的分配策略 (1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”，每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法，隔板法专门解决相同元素的分配问题． (2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有C种方法，可描述为(n－1)个空中插入(m－1)块隔板． [练2] 将参加数学竞赛的20个名额分给9所学校，每所学校至少1个名额，则名额分配种数为(　　) A．C B．C C．C D．C 问题等价于将排成一行的20个相同元素分成9份的方法数，相当于在20个相同元素的19个间隔(除去两端)中插入8块隔板隔成9份，故共有C种方法，所以名额分配方式有C种．故选D. [练3] 用0～9十个数字排成三位数，允许数字重复，把个位、十位、百位的数字之和等于9的三位数称为“长久数”，则“长久数”一共有________个． 答案：45　 设a1，a2，a3对应个位到百位上的数字，则a3∈N*，ai∈N(i＝1，2)且a1＋a2＋a3＝9，相当于将9个表示1的球与2个表示0的球排成一排，，这11个数有10个空，用2个隔板隔开分为3组，左起第一组数的和作为a3，第二组数的和作为a2，第三组数的和作为a1，故“长久数”一共有C＝45个． 1．知识清单 (1)分组、分配问题． (2)相同元素的分配问题． 2．方法归纳：分组分配法、隔板法． 3．常见误区：混淆分组和分配． ◎随堂演练 1．把5个相同的小球分给3个小朋友，使每个小朋友都能分到小球的分法有(　　) A．4种 B．6种 C．21种 D．35种 利用隔板法：由题可知使每个小朋友都能分到小球的分法有C＝6种．故选B. 2．要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A，B，C三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则不同分法的种数为(　　) A．12 B．36 C．24 D．48 由题意，首先将甲、乙、丙、丁4名同学分成三组有C种分法，然后再将三组同学分配到A，B，C三个班级中有A种分法，所以不同分法的种数为CA＝36，故选B. 3．(2024·镇江高二月考)某学校派出4名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每位教师只去一所中学，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有(　　) A．90种 B．60种 C．48种 D．36种 由题意，先将4人分成3组，3组人数分别为1，1，2，即从4人中选2人一组，其余两人一人一组，共有C＝6种分法， 将3组分配到3所学校，共有A＝6种分法， 由分步乘法计数原理可得，共有6×6＝36种不同的分配方法． 4．(2024·临沂高二期中)从2男4女中安排3人到三个场馆做志愿者，每个场馆1人，且至少有1位男生入选，不同的安排方法有________种． 答案：96　 若选1男2女，则不同的安排方法有CCA＝72种； 若选2男1女，则不同的安排方法有CCA＝24种； 一共72＋24＝96种． $$