8.3.2 独立性检验（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修3（人教A版2019）

成对数据的统计分析 8.3.2　独立性检验 第八章 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 C 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 C 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 D 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 C 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 谢谢观看 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 学习目标 1.了解随机变量χ2的意义． 2．通过对典型案例分析，了解独立性检验的基本思想和方法． 体育 文娱 合计 男生 210 230 440 女生 60 290 350 合计 270 520 790 如何判定“喜欢体育还是文娱与性别是否有联系”？ 知识点　独立性检验 某省大力推行素质教育，增加了高中生的课外活动时间，某校调查了学生的课外活动方式，结果整理成下表： a＋b＋c＋d 独立性检验 (1)定义：利用χ2的取值来推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称__________． (2)χ2＝，其中n＝_______________． 独立性检验 (3)应用独立性检验解决实际问题包括的主要环节 ①提出零假设H0：X和Y________，并给出在问题中的解释． ②根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2的值，并与临界值xα比较． ③根据检验规则得出推断结论． ④在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律． 相互独立 (1)χ2越小，独立性越强，相关性越弱；χ2越大，独立性越弱，相关性越强． (2)当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；当χ2＜xα时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立． [例1] (2024·聊城高二期末)某学校调查学生对神舟十六号的关注与性别是否有关，随机抽样调查了1 000名学生，进行独立性检验，计算得到χ2≈7.936，依据表中给出的χ2独立性检验中的小概率值和相应的临界值，作出下列判断，正确的是(　　) α 0.050 0.010 0.005 0.001 xα 3.841 6.635 7.879 10.828 ACD A.零假设H0：对神舟十六号的关注与性别独立 B．根据小概率值α＝0.005的独立性检验，可以认为对神舟十六号的关注与性别无关 C．根据小概率值α＝0.005的独立性检验，可以认为对神舟十六号的关注与性别不独立，此推断犯错误的概率不大于0.005 D．根据小概率值α＝0.001的独立性检验，可以认为对神舟十六号的关注与性别独立 因为χ2≈7.936，对于A选项，零假设H0：对神舟十六号的关注与性别独立，A项正确；对于B，C选项，因为χ2≈7.936＞7.879＝x0.005，根据小概率值α＝0.005的独立性检验，可以认为对神舟十六号的关注与性别不独立，此推断犯错误的概率不大于0.005，B项错误，C项正确；对于D选项，因为χ2≈7.936＜10.828＝x0.001，根据小概率值α＝0.001的独立性检验，可以认为对神舟十六号的关注与性别独立，D项正确．故选ACD. 根据所给的观测值，与所给的临界值表中的数据进行比较，即可得出结论． [练1] (2024·中山高二期末)某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持与不支持)的关系，运用2×2列联表进行独立性检验．经计算χ2＝6.058，则认为“学生性别与支持该活动有关系”的把握为(　　) α 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 xα 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 A．2.5% B．1% C．97.5% D．99% 因为χ2＝6.058，对照表格：5.024<6.058<6.635.因为1－0.025＝0.975＝97.5%，所以有97.5%的把握认为“学生性别与是否支持该活动有关系”，此推断犯错误的概率不大于0.025.故选C. [例2] (2024·焦作高二期中)近年来，直播带货逐渐兴起，成为乡村振兴的新动力，为了解甲、乙两个推销农产品的直播间的销售情况，统计了两个直播间一段时间内观众下单的相关数据，得到如下的表格： 下单的观众数 未下单的观众数 甲直播间 120 80 乙直播间 60 80 (1)分别估计甲、乙直播间的观众下单的概率； (2)是否在犯错误的概率不大于0.01的前提下认为两个直播间观众的下单意愿有差异？ 附：χ2＝. α 0.05 0.01 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 (1)根据表格中的数据得，估计甲直播间观众下单的概率为＝， 估计乙直播间观众下单的概率为＝. (2)根据题意，得到2×2的列联表： 直播间 观众数 合计 下单的观众数 未下单的观众数 甲直播间 120 80 200 乙直播间 60 80 140 合计 180 160 340 零假设为H0：两个直播间观众下单意愿没有差异． χ2＝＝≈9.714， 因为9.714>6.635＝x0.01，所以在犯错误的概率不大于0.01的前提下认为两个直播间观众下单意愿有差异． (1)利用χ2进行独立性检验的步骤 ①列表：列出2×2列联表． ②求值：计算出χ2的值． ③判断：与临界值xα比较，得出事件有关的可能性大小，作出判断． (2)此类题目规律性极强，解题比较格式化，填表、计算、分析、比较即可，要熟悉其计算流程． [练2] (2024·哈尔滨高二期中)为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学随机抽取了80名学生，按照性别和体育锻炼情况整理为如下2×2列联表： 性别 锻炼 合计 不经常 经常 男生 20 20 40 女生 24 16 40 合计 44 36 80 (1)依据α＝0.05的独立性检验，能否认为性别因素会影响学生锻炼的经常性； (2)若列联表中的所有样本观测数据都变为原来的10倍，再做第(1)问，得到的结论还一样吗？请说明理由． 附：①χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. ②临界值表 α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 (1)零假设为H0：性别与锻炼的经常性无关， 根据列联表中的数据，经计算得到 χ2＝＝≈0.808 1<3.841＝x0.05， 根据小概率值α＝0.05的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立， 因此可以认为H0成立，即不能认为性别因素会影响学生锻炼的经常性，此推断犯错误的概率不超过0.05. (2)由题意得χ2＝＝≈8.081>3.841＝x0.05， 根据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立， 因此可以认为性别因素会影响学生锻炼的经常性，此推断犯错误的概率不大于0.05， 得到的结论不一样． 综合应用　独立性检验的综合应用 [例3] (2024·全国甲卷)某工厂进行生产线智能化升级改造．升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下： 优级品 合格品 不合格品 总计 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 合计 96 52 2 150 (1)填写如下列联表： 优级品 非优级品 甲车间 乙车间 能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？ (2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5.设p为升级改造后抽取的n件产品的优级品率．如果p＞p＋1.65，则认为该工厂产品的优级品率提高了．根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？(≈12.247) 附：K2＝ (1)2×2列联表如下： 优级品 非优级品 总计 甲车间 26 24 50 乙车间 70 30 100 总计 96 54 150 K2＝＝4.687 5. 因为K2＝4.687 5＞3.841，所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异； 因为K2＝4.687 5＜6.635，所以没有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异． (2)由题意可知p＝＝0.64， 又p＋1.65＝0.5＋1.65×≈0.5＋1.65×≈0.57， 所以p＞p＋1.65，所以能认为生产线智能化升级改造后，该工厂的优级品率提高了． (1)独立性检验在实际中有着广泛的应用，是对实际生活中数据进行分析的一种方法，通过这种分析得出的结论对实际生活或者生产都有一定的指导作用． (2)近几年高考中较少单独考查独立性检验，经常与统计、概率等知识综合，频率分布表、频率分布直方图与独立性检验融合在一起是常见的考查形式，一般需要根据条件列出2×2列联表，计算χ2的值，从而解决问题． [练3] (2024·长沙高二期中)2024年两会期间民生问题一直是百姓最关心的热点，某调查组利用网站从参与调查者中随机选出200人，数据显示关注此问题的约占80%，并将这200人按年龄分组，第1组[15，25)，第2组[25，35)，第3组[35，45)，第4组[45，55)，第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示． (1)求a，并估计参与调查者的平均年龄； (2)把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，若选出的200人中不关注民生问题的中老年人有10人，得到如下2×2列联表．请将列联表补充完整填入答题卡，并回答：依据小概率值α＝0.050的独立性检验，能否认为是否关注民生与年龄有关？ 年龄 是否关注民生问题 合计 关注民生问题 不关注民生问题 青少年 中老年 10 合计 200 (3)将此样本频率视为总体的概率，从网站随机抽取4名青少年，记录4人中“不关注民生问题”的人数为Y，求随机变量Y＝2时的概率和随机变量Y的数学期望E(Y). 附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. α 0.050 0.010 0.005 0.001 xα 3.841 6.635 7.879 10.828 (1)∵0.010×10＋0.015×10＋0.030×10＋a×10＋0.010×10＝1， ∴a＝0.035， x＝0.01×10×20＋0.015×10×30＋0.035×10×40＋0.03×10×50＋0.010×10×60＝41.5， ∴估计参与调查者的平均年龄为41.5岁． (2)选出的200人中，各组的人数分别为 第1组：200×0.010×10＝20人， 第2组：200×0.015×10＝30人， 第3组：200×0.035×10＝70人， 第4组：200×0.030×10＝60人， 第5组：200×0.010×10＝20人， ∴青少年组有20＋30＋70＝120人，中老年组有200－120＝80人， ∵参与调查者中关注此问题的约占80%，∴不关心民生问题的人数有200×(1－80%)＝40， ∴选出的200人中不关注民生问题的青少年有30人， ∴2×2列联表如下： 年龄 是否关注民生问题 合计 关注民生问题 不关注民生问题 青少年 90 30 120 中老年 70 10 80 合计 160 40 200 零假设为H0：假设关注民生问题与年龄无关， χ2＝＝4.687 5>3.841， ∴根据独立性检验，可以认为零假设H0不成立， 即能依据小概率值α＝0.050的独立性检验，认为是否关注民生与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.050. (3)由题意，青少年“不关注民生问题”的频率为＝， 将频率视为概率，每个青少年“不关注民生问题”的概率为， 因为每次抽取的结果是相互独立的，所以Y～B(4，)， 所以P(Y＝k)＝C()k(1－)4－k，k＝0，1，2，3，4， 所以P(Y＝2)＝C()2(1－)4－2＝，E(Y)＝4×＝1. 1．知识清单 (1)2×2列联表． (2)独立性检验，χ2公式． 2．方法归纳：数形结合法． 3．常见误区：对独立性检验原理不理解，导致不会用χ2分析问题． ◎随堂演练 1．在一次独立性检验中，其把握性超过99%，则随机变量χ2的一个可能的值为(　　) A．6.635 B．5.024 C．7.897 D．3.841 若有99%把握，则χ2＞6.635，只有C满足条件． 2．为研究某两个分类变量是否有关系，根据调查数据计算得到χ2≈15.968，因为P(χ2≥10.828)＝0.001，则断定这两个分类变量有关系，那么这种判断犯错误的概率不超过(　　) A．0.1 B．0.05 C．0.01 D．0.001 根据χ2≈15.968，及P(χ2≥10.828)＝0.001，对照临界值得判断两个分类变量有关系，这种判断出错的可能性为0.001.故选D. 3．(2024·九江高二期末)假设有两个变量X和Y，它们的取值分别为和，其2×2列联表为 X Y y1 y2 x1 a b x2 c d 根据以下选项中的数据计算χ2的值，其中χ2最大的一组为(　　) A．a＝60，b＝50，c＝40，d＝30 B．a＝60，b＝40，c＝50，d＝30 C．a＝40，b＝30，c＝50，d＝60 D．a＝30，b＝40，c＝50，d＝60 对于A，χ＝＝， 对于B，χ＝＝， 对于C，χ＝＝， 对于D，χ＝＝， 显然χ最大，故C正确． 4．利用独立性检验来考虑两个分类变量X与Y是否有关系时，通过查阅下表来确定“X和Y有关系”的可信度．如果χ2 >5.024，那么在犯错误的概率不超过________的前提下认为“X和Y有关系”． α 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 答案：0.025　 因为χ2 >5.024，而在临界值表中对应于5.024的是0.025，所以可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“X和Y有关系”． $$