课时梯级训练(21) 超几何分布的综合问题（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修3（人教A版2019）

课时梯级训练(21)　超几何分布的综合问题 1．(2024·宿迁高二阶段检测)一个盒子里装有大小相同的4个黑球和3个白球，从中不放回地取出3个球，用X表示取出白球的个数，则E(X)等于(　　) A． B． C． D． B　解析：依题意，P(X＝k)＝，k∈N，k≤3，X服从超几何分布，所以白球个数的数学期望是E(X)＝＝.故选B. 2．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其中次品数为X，已知P(X＝1)＝，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为(　　) A．10% B．20% C．30% D．40% B　解析：设10件产品中有x件次品，则P(X＝1)＝＝＝，解得x＝2或x＝8.∵次品率不超过40%， ∴x＝2，∴次品率为×100%＝20%. 3．(2024·南京高二阶段检测)孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个数学问题之一，2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，可以直观的描述为：存在无穷多个素数p，使得p＋2是素数．素数对(p, p＋2)称为孪生素数对．从8个数对(3, 5)，(5, 7)，(7, 9)，(9, 11)，(11，13)，(13, 15)，(15, 17)，(17, 19)中任取3个，设取出的孪生素数对的个数为X，则E(X)＝(　　) A． B． C． D．3 C　解析：由题知8个数对中有(3, 5)，(5, 7)，(11，13)，(17，19)，共4对孪生素数对，所以X的可能取值为0, 1，2，3， 故P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝，故选C. 4．生产方提供50箱的一批产品，其中有2箱不合格产品．采购方接收该批产品的准则是从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品，则该批产品被接收的概率为________．(结果用最简分数表示) 答案：　解析：以50箱为一批产品，从中随机抽取5箱，用X表示“5箱中不合格产品的箱数”，则X服从超几何分布，其中N＝50，M＝2，n＝5，所以该批产品被接收的概率为P(X≤1)＝1－＝. 5．(2024·漳州高二期末)从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为X，则E(5X＋2)＝__________． 答案：4　解析：依题意得，X可能的取值为0，1，2，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，于是E(X)＝×0＋×1＋×2＝，故E(5X＋2)＝5E(X)＋2＝4. 6．如果一个数含有正偶数个数字8，就称它为“优选数”(如188，38 888等)，否则就称它为“非优选数”，从由数字0，1，2，…，9，共10个数字组成的四位数中任意抽取10个数，随机变量X表示抽到的“优选数”的个数，则E(X)＝________． 答案：　解析：当四位数中含有两个8时，若8不在首位共有C×8×9＝216个，若8在首位，共有C×9×9＝243个；当四位数中含有四个8时，只有一种结果，所以从由数字0，1，2，…，9，组成的四位数中，“优选数”共有460个，X可能取的值为0，1，2，…，9，10，已知随机变量X服从超几何分布，故E(X)＝＝＝. 7．(2024·枣庄高二阶段检测)为营造浓厚的全国文明城市创建氛围，积极响应创建全国文明城市号召，提高对创城行动的责任感和参与度，学校号召师生利用周末参与创城志愿活动. 高二(1)班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动． (1)求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率； (2)记参加活动的女生人数为X，求X的分布列及期望E(X)和方差D(X). 解：(1)设“有女生参加活动”为事件A，“恰有一名女生参加活动”为事件B. 则P(AB)＝＝，P(A)＝＝， 所以P(B|A)＝＝＝. (2)依题意知X服从超几何分布， 且P(X＝k)＝(k＝0，1，2)， P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P E(X)＝0×＋1×＋2×＝， D(X)＝×(0－)2＋×(1－)2＋×(2－)2＝. 8．已知盒中装有n(n>1)个红球和3个黄球，从中任取2个球(取到每个球是等可能的)，随机变量X表示取到黄球的个数，且X的分布列为 X 0 1 2 P a b 则E(X)＝________． 答案：1　解析：由题意知：P(X＝0)＝＝，解得n＝3或n＝－ (舍去)；由n＝3，知a＝P(X＝1)＝＝，b＝P(X＝2)＝＝，所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝1. 9．(2024·合肥高二月考)某公司有日生产件数为95的“生产能手”3人，有日生产件数为55的“菜鸟”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和X的方差为________． 答案：576　解析：由题意，可得X的可能取值为190，150，110， 且P(X＝190)＝＝，P(X＝150)＝＝，P(X＝110)＝＝， 则E(X)＝190×＋150×＋110×＝158， 所以方差D(X)＝322×＋(－8)2×＋(－48)2×＝576. 10．(2024·盐城高二期中)为推动党史学习教育工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党委决定在教师党员中开展“学党史”知识竞赛．甲老师从装有6个不同问题的纸盒中依次不放回地抽取4个问题作答．已知这6个问题中，甲能正确回答其中的4个问题，且甲老师对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的． (1)求甲老师答对2个问题的概率； (2)若测试过程中答对1个问题得2分，答错得0分，设随机变量X表示甲的得分，求E(X)，D(X). 解：(1)设甲老师答对2个问题为事件B，则P(B)＝＝＝. 所以甲老师答对2个问题的概率为. (2)设甲老师得分数为X，则X的可能取值为4，6，8, P(X＝4)＝＝＝，P(X＝6)＝＝，P(X＝8)＝＝， 则E(X)＝4×＋6×＋8×＝＝， D(X)＝×(4－)2＋×(6－)2＋×(8－)2＝. 11．为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“＋”表示未服药者． (1)从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率； (2)从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记X为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求X的分布列和数学期望E(X)； (3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．(只需写出结论) 解：(1)由题图知，在服药的50名患者中，指标y的值小于60的有15人， 所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y的值小于60的概率P＝＝0.3. (2)由题图知，A，B，C，D四人中，指标x的值大于1.7的有2人：A和C. 所以X的所有可能取值为0，1，2. P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 故X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝1. (3)在这100名患者中，服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差． 学科网（北京）股份有限公司 $$