课时梯级训练(20) 超几何分布（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修3（人教A版2019）

课时梯级训练(20)　超几何分布 1．下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是(　　) A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X B．从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为X C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球的总次数 B　解析：由超几何的定义可知，仅B项是超几何分布，故选B. 2．(2024·廊坊高二月考)学校要从8名候选人中选4名同学组成学生会．已知恰有3名候选人来自甲班，假设每名候选人都有相同的机会被选中，则甲班恰有2名同学被选中的概率为(　　) A． B． C． D． C　解析：从8名候选人中选4名同学，共有C＝70种选择，甲班有3名候选人，非甲班有5名候选人，故甲班恰有2名同学被选中的可能个数有CC＝30， 所以概率为＝，故选C. 3．(2024·泰州高二期末)口袋中有2个黑球，2个红球和1个白球，这些球除颜色外完全相同．任取两球，用随机变量X表示取到的黑球数，则P(X＝2)的值为(　　) A． B． C． D． B　解析：由题意可得，P(X＝2)＝＝.故选B. 4．有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这些零件中任取3个，那么至少有1个是一等品的概率是(　　) A． B． C． D．1－ D　解析：任取3个零件全部都是二等品的概率为，故至少有1个是一等品的概率为1－.故选D. 5．某县辖区内15个小镇中有9个小镇交通比较方便，有6个不太方便．现从中任意选取10个小镇，其中有X个小镇交通不太方便，下列概率中等于的是(　　) A．P(X＝4) B．P(X≤4) C．P(X＝6) D．P(X≤6) A　解析：X服从超几何分布，因为有6个小镇不太方便，所以从6个不方便小镇中取4个，P(X＝4)＝，故选A. 6．(2024·无锡太湖高级中学高二期中)现有10件商品，其中3件瑕疵品7件合格品，若从这10件商品中任取2件，则至少有一件瑕疵品的概率为________． 答案：　解析：从这10件商品中任取2件，则至少有一件瑕疵品的概率为＋＝. 7．(2024·厦门高二期中)从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，设取得的次品数为X，则P(X<1)＝________． 答案：　解析：由题意知X服从超几何分布， 则P(X＝0)＝＝， 所以P(X＜1)＝P(X＝0)＝. 8．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数． (1)求X的分布列； (2)求“所选3人中女生人数X≤1”的概率． 解：由题意知，X服从超几何分布， 则P(X＝k)＝，k＝0，1，2. (1)X可能取的值为0，1，2. 所以X的分布列为 X 0 1 2 P (2)由(1)知，“所选3人中女生人数X≤1”的概率为 P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝. 9．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛． (1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率； (2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列． 解：(1)由已知，得 P(A)＝＝， 所以事件A发生的概率为. (2)随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4， 其中P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4). 故P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝， 所以随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P 10．(多选)端午节，又称端阳节、龙舟节等，与春节、清明节、中秋节并称为中国四大传统节日．划龙舟与食粽是端午节的两大礼俗，这两大礼俗在中国自古传承，至今不辍．在一个袋中装有大小一样的6个豆沙粽，4个咸肉粽，现从中任取4个粽子，设取出的4个粽子中咸肉粽的个数为X，则下列结论正确的是(　　) A．P(X＝2)＝ B．随机变量X服从二项分布 C．随机变量X服从超几何分布 D．P(1<X<4)＝ ACD　解析：由题意知，随机变量X服从超几何分布，故B项错误，C项正确；P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(1<X<4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝，故AD项正确． 11．(2024·常州高二阶段检测)3月5日为“学雷锋纪念日”，某校将举行“弘扬雷锋精神做全面发展一代新人”知识竞赛，某班现从6名女生和3名男生中选出5名学生参赛，要求每人回答一个问题，答对得2分，答错得0分，已知6名女生中有2人不会答所有题目，只能得0分，其余4名女生回答每题可得2分，3名男生每人得2分的概率均为，现选择2名女生和3名男生，每人答一题，则该班所选队员得分之和为6分的概率为________． 答案：　解析：依题意设该班所选队员得分之和为6分记为事件A，则可分为下列三类：女生得0分男生得6分，设为事件A1；女生得2分男生得4分，设为事件A2；女生得4分男生得2分，设为事件A3，则 P(A1)＝×C()3＝， P(A2)＝×C()2()＝＝， P(A3)＝×C()()2＝＝， P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝. 12．(2024·无锡高二期末)一个袋中有形状、大小完全相同的100个小球，其中有n(2≤n≤92)个红球，其余为白球．从中一次性任取10个小球，将“恰好含有2个红球”的概率记为f(n)，则当n＝________时，f(n)取得最大值． 答案：20　解析：f(n)＝，f(n)取得最大值，也即是CC取最大， 所以 解得≤n≤，故n＝20. 13．(2024·北京海淀高二期中)研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等环境问题，减少碳排放具有深远的意义．中国明确提出节能减排的目标与各项措施，在公路交通运输领域，新能源汽车逐步取代燃油车是措施之一．中国某地区从2018年至2024年每年汽车总销量如图，每年新能源汽车销量占比如表．(注：汽车总销量指新能源汽车销量与非新能源汽车销量之和) 年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 新能源汽车销量占比 1.5% 2% 3% 5% 8% 9% 20% (1)从2018年至2024年中随机选取一年，求这一年该地区汽车总销量不小于5.5万辆的概率； (2)从2018年至2024年中随机选取两年，设X表示新能源汽车销量超过0.5万辆的年份的个数，求X的分布列和数学期望； (3)对该地区连续三年的新能源汽车销量做统计分析时，若第三年的新能源汽车销量大于前两年新能源汽车销量之和，则称第三年为“暴发年”．请写出该地区从2020年至2024年中“暴发年”的年份．(只需写出结论) 解：(1)在2018年到2024年这七年中，汽车总销量不小于5.5万辆的年份有2019，2020，2021，2022，2023，2024，共有6年，故从2018年至2024年中随机选取一年，则这一年该地区汽车总销量不小于5.5万辆的概率为. (2)从2018年至2024年中随机选取两年共有C＝21种选法，只有2023年和2024年这两年，新能源汽车销量超过了0.5万辆，其余5年的销量均未超过0.5万辆， 故X可取0，1，2， P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， X的分布列为 X 0 1 2 P 期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝. (3)从2018年到2024年这七年中，新能源汽车销量(单位：万辆)分别为0.061 5，0.112，0.168，0.275，0.456，0.540，1.16 ， 其中0.061 5＋0.112＝0.173 5＞0.168，0.112＋0.168＝0.280＞0.275，0.168＋0.275＝0.443＜0.456，0.275＋0.456＝0.731＞0.540，0.456＋0.540＝0.996＜1.16，故只有2022，2024这两年的销量大于前两年的销量之和，故“暴发年”的年份为2022，2024年． 14．现有来自甲、乙两班的学生共7名，从中任选2名都是甲班的概率为. (1)求7名学生中甲班的学生数； (2)设所选2名学生中甲班的学生数为ξ，求ξ≥1的概率． 解：(1)设甲班的学生人数为M(0＜M＜7)， 则＝＝， 即M2－M－6＝0，解得M＝3或M＝－2(舍去)， 所以7名学生中甲班的学生共有3人． (2)由题意可知，ξ服从超几何分布， 所以P(ξ≥1)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝＋＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$