课时梯级训练(18) 二项分布（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修3（人教A版2019）

课时梯级训练(18)　二项分布 1．(2024·荆州高二阶段检测)足球点球大战中，每队派出5人进行点球，假设甲队每人点球破门的概率都是，乙队每人点球破门的概率都是，若甲队进4球的概率为P1，乙队进3球的概率为P2，则(　　) A．P1>P2 B．P1＝P2 C．P1<P2 D．P1，P2大小关系无法确定 A　解析：甲队进4球的概率为P1＝C×()4×＝≈0.396，乙队进3球的概率为P2＝C×()3×()2＝≈0.329，则P1>P2.故选A. 2．(2024·聊城高二阶段检测)口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，每次有放回地摸取一个球，定义数列{an}，当第n次摸取到的是红球时，an＝－1；当第n次摸取到的是白球时，an＝1，如果Sn为数列{an}的前n项和，那么S7＝3的概率为(　　) A．C×()2×()5 B．C×()2×()5 C．C×()2×()5 D．C×()2×()2 B　解析：由S7＝3知，在7次摸球中有2次摸取红球，5次摸取白球，每次摸红球的概率为，摸取白球的概率为，则S7＝3的概率为C×()2×()5，故选B. 3．在4次独立重复试验中，事件A发生的概率相同，若事件A至少发生1次的概率为，则事件A在1次试验中发生的概率为(　　) A． B． C． D． A　解析：设事件A在一次试验中发生的概率为p，由题意得1－Cp0(1－p)4＝，所以1－p＝，解得p＝. 4．(多选)(2024·南通高二期中)随机抛掷一枚质地均匀的硬币10次，则下列说法正确的是(　　) A．每次出现正面向上的概率为0.5 B．第一次出现正面向上的概率为0.5，第二次出现正面向上的概率为0.25 C．出现n次正面向上的概率为C×0.510 D．出现n次正面向上的概率为C×0.5n AC　解析：随机抛掷一枚质地均匀的硬币10次，对于选项A，每次出现正面向上的概率都是0.5，故A项正确；对于选项B，第一次出现正面向上的概率为0.5，第二次出现正面向上的概率为0.5，故B项错误；对于选项C、选项D，出现n次正面向上的概率为C×0.5n×0.510－n＝C0.510，故C项正确；D项错误．故选AC. 5．(2024·滨州高二期中)将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，恰好出现3次正面朝上的概率为________． 答案：　解析：设“正面向上”为事件A，则P(A)＝，则P()＝1－＝，所以恰好出现3次正面向上的概率为P＝C×()3×()7＝. 6．(2024·深圳高二期中)甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛，已知每局比赛甲胜的概率为，乙胜的概率为，各局比赛的胜负互不影响，现采取7局4胜制，则甲获胜且比赛局数恰好为5局的概率是________． 答案：　解析：由条件可知，第5局甲胜，前4局甲胜3局，所以甲获胜且比赛局数恰好为5局的概率P＝×C×()3×()＝. 7．某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后第2位)： (1)“5次预报中恰有2次准确”的概率； (2)“5次预报中至少有2次准确”的概率． 解：(1)记“预报一次准确”为事件A，则P(A)＝0.8，5次预报相当于5次独立重复试验，“恰有2次准确”的概率为P＝C×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05， 因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05. (2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率P＝C×0.25＋C×0.8×0.24＝0.006 72. 所以所求概率为1－P＝1－0.006 72≈0.99. 即“5次预报中至少有2次准确”的概率约为0.99. 8．(2024·唐山高二期中)某种植户对一块地上的n(n∈N*)个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立．如果每个坑内至少有两粒种子发芽，则不需要进行补种，否则需要补种． (1)求每个坑不需要补种的概率； (2)当n＝4时，用X表示要补种的坑的个数，求X的分布列． 解：(1)由题意可知每个坑里只有一粒种子或没有种子发芽需要补种，则每个坑要补种的概率P＝C×()3＋C××()2＝， 则每个坑不需要补种的概率为1－＝. (2)易知X的可能取值为0，1，2，3，4，且X～B(4，)， 因此P(X＝0)＝C()0()4＝， P(X＝1)＝C()1()3＝， P(X＝2)＝C()2()2＝， P(X＝3)＝C()3()1＝， P(X＝4)＝C()4＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 9．(2024·潍坊高二期中)某人寿保险公司规定，投保人没活过65岁时，保险公司要赔偿100万元．活过65岁时，保险公司不赔偿，但要给投保人一次性支付5万元．已知购买此种保险的每个投保人能活过65岁的概率都是0.9，随机抽取3个投保人，设其中活过65岁的人数为X，保险公司要赔偿给这三个人的总金额为Y万元，则P(Y<200)＝(　　) A．0.972 B．0.729 C．0.486 D．0.243 A　解析：依题意X～B(3，0.9)，因为3个投保人中，活过65岁的人数为X，所以没活过65岁的人数为3－X， 因此Y＝100(3－X)＋5X，即Y＝300－95X(X＝0，1，2，3)， 所以P(Y<200)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝C×0.92×(1－0.9)＋C×0.93＝0.972. 10．(多选)(2024·杭州高二期中)高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子．如此继续下去．直到滚到底板的一个格子内为止．现从入口放进一个白球，则(　　) A．小球从起点到第③个格子一共跳6次 B．小球从起点到第③个格子一共跳7次 C．小球落在第③个格子的概率为 D．小球落在第③个格子的概率为 BC　解析：从入口放进一个白球，则落在第③个格子的情况是下落过程中的7次碰撞中，5次向左，2次向右，而向左或向右的概率均为，则向右的次数服从二项分布，所以小球落在第③个格子的概率P＝C×()2×()5＝，故选BC. 11．张师傅驾车从公司开往火车站，途经4个交通岗，这4个交通岗将公司到火车站分成5个路段，每个路段的驾车时间都是3 min，遇到红灯要停留1 min.假设他在各个交通岗是否遇到红灯是相互独立的，并且遇到红灯的概率都是，则张师傅此行程时间不少于16 min的概率为________． 答案：　解析：如果不遇到红灯，全程需要15 min，否则至少需要16 min，所以张师傅此行程时间不少于16 min的概率P＝1－(1－)4＝. 12．箱中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小材质完全相同的 6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是________． 答案：　解析：由题意知首先求出摸一次中奖的概率，从6个球中摸出2个，共有C＝15种结果，两个球的号码之积是4的倍数，共有(1，4)，(3，4)，(2，4)，(2，6)，(4，5)，(4，6)，6种结果，所以摸一次中奖的概率是＝，4个人摸奖，相当于发生4次试验，且每一次发生的概率是，所以有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是C×()3×＝. 13．(2024·盐城高二期中)已知袋中有12个同型号零件，其中合格品有10个，次品有2个． (1)若检测员有放回地连续从该袋中取零件2次，每次取1个零件，求恰有1次取到正品的概率； (2)若检测员从该袋中一次性取2个零件，求在取出的2个零件中有次品的条件下，这2个零件都是次品的概率． 解：(1)从该袋中取零件1次，取到正品的概率为＝，设恰有1次取到正品为事件A， 则P(A)＝C××＝. (2)设2个零件中有次品，2个零件都是次品分别为事件M，N， 则P(M)＝＝，P(MN)＝＝， 所以P(N|M)＝＝， 即在取出的2个零件中有次品的条件下，这2个零件都是次品的概率为. 14．如图，在竖直平面内有一个“游戏滑道”，空白部分表示光滑滑道，黑色正方形表示障碍物，自上而下第一行有1个障碍物，第二行有2个障碍物，……，依此类推．一个半径适当的光滑均匀小球从入口A投入滑道，小球将自由下落．已知小球每次遇到正方形障碍物上顶点时，向左、右两边下落的概率都是.记小球遇到第n行第m个障碍物(从左至右)上顶点的概率为P(n，m). (1)求P(4，1)，P(4，2)的值，并猜想P(n，m)的表达式(不必证明)； (2)已知f(x)＝设小球遇到第6行第m个障碍物(从左至右)上顶点时，得到的分数为X＝f(m)，试求ξ的分布列． 解：(1)P(4，1)＝C()3＝， P(4，2)＝C()3＝. 猜想P(n，m)＝C()n－1. (2)X＝3，2，1，P(X＝3)＝P(6，1)＋P(6，6)＝， P(X＝2)＝P(6，2)＋P(6，5)＝， P(X＝1)＝P(6，3)＋P(6，4)＝. 故X的分布列为 X 3 2 1 P 学科网（北京）股份有限公司 $$