7.5 正态分布（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修3（人教A版2019）

随机变量及其分布 7．5　正态分布 第七章 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 A 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 C 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 D 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 A 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 C 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 谢谢观看 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 学习目标 1.利用实际问题的频率分布直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，了解正态分布的均值、方差及其含义． 2．了解变量落在区间[μ－σ， μ＋σ]，[μ－2σ， μ＋2σ]，[μ－3σ， μ＋3σ]内的概率大小． 3．会用正态分布去解决实际问题． 知识点一　正态曲线及其特征 设X表示某产品的寿命(单位：h). 人们对该产品有如下的了解：寿命小于500 h的概率为0.71，寿命在500 h～800 h的概率为0.22，寿命在800 h～1 000 h的概率为0.07，由此我们可以画出下图． 1．这个图形能告诉我们产品寿命在200 h～400 h的概率是多少吗？ 2．若将组距缩小，改为如图所示，这样可以了解到更多信息，若将组距无限细分，会是什么形状？ 3．正态分布描述的随机变量X是离散型的吗？ 4．你能写出正态密度函数的表达式吗？能从函数的角度分析它的图象特征吗？ e－ 正态密度函数 正态曲线 N(μ，σ2) μ σ2 正态分布 (1)正态曲线：对于给定函数f(x)＝____________________，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数．我们称f(x)为____________，称它的图象为正态密度曲线，简称________. (2)正态分布与标准正态分布：若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～_________．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． (3)正态分布的均值和方差：若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝__，D(X)＝____． 1 单峰 x＝μ (4)正态曲线的特征 ①正态曲线在x轴的____； ②正态曲线与x轴之间的区域的面积为__； ③曲线是____的，它关于直线_____对称； ④曲线在x＝μ处达到峰值； ⑤当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴； ⑥μ决定正态曲线的位置：当参数σ取固定值时，正态曲线的位置由μ确定，如图(Ⅰ)所示； 上方 瘦高 集中 矮胖 分散 ⑦σ决定正态曲线的“胖瘦”：当σ较小时，峰值高，曲线“____”，表示随机变量X的分布比较____；当σ较大时，峰值低，曲线“____”，表示随机变量X的分布比较____，如图(Ⅱ)所示． 图(Ⅰ)　　　　　　　图(Ⅱ) (5)正态分布的几何意义 若X～N(μ， σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的____，而P(a≤X≤b)为区域B的____． 面积 面积 [例1] (1)设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1>0)和N(μ2，σ)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有(　　) A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2 C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2 (2)如图所示是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的均值和方差． (1)根据正态曲线的特征：对称轴方程x＝μ，σ表示正态曲线的形状．由图可得μ1＜μ2，σ1＜σ2，选A. (2)从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值为，所以μ＝20，＝，所以σ＝. 于是f(x)＝·e－，x∈(－∞，＋∞)，总体随机变量的均值是μ＝20，方差是σ2＝()2＝2. 正态曲线的两大明显特征 (1)对称轴方程x＝μ； (2)最值. 这两点把握好了，参数μ，σ便确定了，代入即可求出相应的解析式． [练1] 已知三个正态分布密度函数φi(x)＝e－(x∈R，i＝1，2，3)的图象如图所示，则(　　) A．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3 B．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3 C．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3 D．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3 D 因为正态曲线关于x＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边，所以y＝φ1(x)的均值比y＝φ2(x)和y＝φ3(x)的均值小，且y＝φ2(x)和y＝φ3(x)的均值相等，只能从A，D两个答案中选一个，σ越小图象越瘦长，得到y＝φ2(x)的σ比y＝φ3(x)的σ要小． 0.682 7 0.954 5 0.997 3 知识点二　正态分布的性质及应用 正态变量在三个特殊区间内取值的概率 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈_____________， P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈_____________， P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈_____________． 尽管正态变量的取值范围是(－∞， ＋∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.002 7，通常认为这种情况几乎不可能发生. 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值． [例2] (1)(多选)(2024·新课标 Ⅰ 卷)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口．为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值x＝2.1，样本方差s2＝0.01.已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8，0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(x，s2)，则(若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(Z＜μ＋σ)≈0.841 3)(　　) A．P(X＞2)＞0.2 B．P(X＞2)＜0.5 C．P(Y＞2)＞0.5 D．P(Y＞2)＜0.8 BC (2)在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1，4)，求正态总体X在(－1，1)内取值的概率． (1)由题意可知，X～N(1.8，0.12)，所以P(X＞2)＜P(X＞1.8)＝0.5，P(X＜1.9)≈0.841 3，所以P(X＞2)＜P(X≥1.9)＝1－P(X＜1.9)≈1－0.841 3＝0.158 7＜0.2，所以A错误，B正确．因为Y～N(2.1，0.12)，所以P(Y＜2.2)≈0.841 3，P(Y＞2)＞P(Y＞2.1)＝0.5，所以P(2＜Y＜2.1)＝P(2.1＜Y＜2.2)＝P(Y＜2.2)－P(Y≤2.1)≈0.841 3－0.5＝0.341 3，所以P(Y＞2)＝P(2＜Y＜2.1)＋P(Y≥2.1)≈0.341 3＋0.5＝0.841 3＞0.8，所以C正确，D错误. 综上，选BC. (2)由题意得μ＝1，σ＝2， 所以P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)≈0.682 7. 又因为正态曲线关于x＝1对称， 所以P(－1＜X＜1)＝P(1＜X＜3) ＝P(－1＜X＜3)≈0.341 35. [变式探究] 本例(2)中已知条件不变，试求P(X≥5). 因为P(X≥5)＝P(X≤－3)， 所以P(X≥5)＝[1－P(－3<X≤5)] ＝[1－P(1－4<X≤1＋4)] ＝[1－P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)] ≈(1－0.954 5)＝0.022 75. 利用正态分布求概率的两个方法 (1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间上概率相等．如： ①P(X<a)＝1－P(X≥a)； ②P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a). (2)“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ， μ＋σ]，[μ－2σ， μ＋2σ]，[μ－3σ， μ＋3σ]内的概率分别是0.682 7，0.954 5，0.997 3求解. [练2] (2024·保定高二期中)下列说法正确的是(　　) A．若随机变量X～N(12，σ2)，Y＝3X＋1，则E(Y)＝36 B．若随机变量X～N(0，1)，f(x)＝P(X≤x)，其中x>0，则P(|X|≤x)＝1－2f(x) C．若随机变量X～N(5，σ2)，则σ越小，P(4.5<X<5.5)越大 D．若随机变量X～N(2，σ2)，且P(X>6)＝0.4，则P(－2<X<2)＝0.2 C 因为Y＝3X＋1，则E(Y)＝3E(X)＋1＝37，故A错误； P(|X|≤x)＝P(－x≤X≤x)＝1－2[1－f(x)]＝2f(x)－1，故B错误； 因为X～N(5，σ2)，所以σ越小，X的概率曲线越集中于对称轴X＝5处， P(4.5<X<5.5)＝P(5－0.5<X<5＋0.5)，所以P(4.5<X<5.5)越大，故C正确； 根据正态分布的对称性可知P(－2<X<2)＝－P(X>6)＝0.1，故D错误． [练3] (2024·北京海淀高二期中)某年级共200人参加物理测试，满分100分(参考数据：P(μ－δ<ξ<μ＋δ)≈0.682 7，P(μ－2δ<ξ<μ＋2δ)＝0.954 5，P(μ－3δ<ξ<μ＋3δ)＝0.997 3)，学生的抽测结果X服从正态分布N(70，102)，其中60分为及格线，80分为良好线，90分为优秀线，则抽测结果在及格线以上的学生人数大约为(　　) A．137 B．168 C．191 D．195 B 因为X服从正态分布N(70，102)，所以ξ＝70，δ＝10， 所以抽测结果在及格线以上的学生人数所占比例为 ＋＝＋＝0.84， 所以抽测结果在及格线以上的学生人数大约为200×0.84＝168. 综合应用　正态分布的应用 [例3] (2024·武汉高二阶段检测)某市质监部门严把食品质量关，根据质量管理考核指标对本地的1 000家食品生产企业进行考核，通过随机抽样抽取其中的100家，统计其考核成绩(单位：分)，并制成如图频率分布直方图． (1)估计抽样中考核成绩在80分以上的企业共有多少家，并求中位数a(精确到0.01)； (2)若该市食品生产企业的考核成绩X服从正态分布N(μ， σ2)，其中μ近似为100家食品生产企业考核成绩的平均数，σ2近似为样本方差s2，经计算得＝84.80，s2＝27.68，利用该正态分布，估计该1 000家食品生产企业质量管理考核成绩高于95.32分的有多少家？(精确到1) 附：参考数据：≈5.26；若X～N(μ， σ2)， 则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7， P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5， P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. (1)由频率分布直方图得， 考核成绩位于(80, 100]的频率为1－(0.01＋0.03)×4＝0.84， 考核成绩位于(80, 100]的企业共有100×0.84＝84家， ∵0.04＋0.12＋0.28＝0.44<0.5， 0．04＋0.12＋0.28＋0.36＝0.8>0.5， ∴a∈[84, 88)， ∴0.04＋0.12＋0.28＋0.09×(a－84)＝0.5， 解得中位数a≈84.67. (2)由题意得μ＝＝84.80，σ2＝27.68， X～N(84.80, 27.68)，μ＋2σ≈84.80＋2×5.26＝95.32， ∴P(X>μ＋2σ)＝＝0.022 75， ∴1 000×0.022 75＝22.75， 估计该1 000家食品生产企业质量管理考核成绩高于95.32分的有22家． 解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在[μ－σ， μ＋σ]，[μ－2σ， μ＋2σ]，[μ－3σ， μ＋3σ]三个区间内的概率．在此过程中用到归纳思想和数形结合思想． [练4] (2024·武汉高二阶段检测)据统计，在某次联考中，考生数学单科分数X服从正态分布N(90, 202)，考生共50 000人，估计数学单科分数在130～150分的学生人数约为(附：若随机变量Y服从正态分布N(μ， σ2)， 则P(μ－σ≤Y≤μ＋σ)≈0.682 7， P(μ－2σ≤Y≤μ＋2σ)≈0.954 5， P(μ－3σ≤Y≤μ＋3σ)≈0.997 3)(　　) A．1 070 B．2 140 C．4 280 D．6 795 A 由题设P(130＜X≤150)＝P(μ＋2σ＜Y≤μ＋3σ)＝[P(μ－3σ≤Y≤μ＋3σ)－P(μ－2σ≤Y≤μ＋2σ)]＝×(0.997 3－0.954 5)＝0.021 4，所以数学单科分数在130～150分的学生人数约为0.021 4×50 000＝1 070人．故选A. 1．知识清单 (1)正态曲线及其特征． (2)正态分布的性质及应用． (3)正态分布的应用． 2．方法归纳：转化化归，数形结合． 3．常见误区：概率区间转化不等价． ◎随堂演练 1．正态曲线关于y轴对称，当且仅当它所对应的正态总体的均值为(　　) A．1 B．－1 C．0 D．不确定 因为X＝μ为其对称轴，所以μ＝0. 2．设随机变量X～N(1，22)，则D(X)＝(　　) A．4 B．2 C． D．1 因为X～N(1，22)，所以D(X)＝4，所以D(X)＝D(X)＝1. 3．(2024·常州高二期中)如图是三个正态分布X～N(0，0.64)，Y～N(0，1)，Z～N(0，4)的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号分别依次为(　　) A．①②③ B．③②① C．②③① D．①③② 由题意，得σ(X)＝0.8，σ(Y)＝1，σ(Z)＝2， 因为当σ较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，且σ(X)<σ(Y)<σ(Z)， 所以三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号分别依次为①，②，③. 4．(2024·滨州高二期中)某班级有50名学生，期中考试数学成绩服从正态分布N(100，σ2)，已知P(X>110)＝0.2，则数学成绩及格(90分以上)的学生人数约为(　　) A．30 B．35 C．40 D．45 考试数学成绩服从正态分布N(100，σ2)， 由对称性可知，P(X>110)＝P(X<90)＝0.2，则P(X>90)＝1－0.2＝0.8， 则数学成绩及格(90分以上)的学生人数约为50×0.8＝40. $$