课时梯级训练(17) 离散型随机变量的方差（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修3（人教A版2019）

课时梯级训练(17)　离散型随机变量的方差 1．(2024·青岛高二期末)已知随机变量X的分布列如下表所示，随机变量Y＝－3X＋1，则下列选项正确的为(　　) X 0 1 P 0.2 0.8 A.E(X)＝0.5 B．E(Y)＝1.4 C．D(X)＝0.52 D．D(Y)＝1.44 D　解析：由题意可得：随机变量X服从两点分布，其中E(X)＝0×0.2＋1×0.8＝0.8，D(X)＝(0－0.8)2×0.2＋(1－0.8)2×0.8＝0.16.又因为Y＝－3X＋1，所以E(Y)＝－3E(X)＋1＝－1.4，D(Y)＝9D(X)＝1.44，故A，B，C错误，D正确. 故选D. 2．(2024·辽阳高二期中)小明参加某射击比赛，射中得1分，未射中得－1分，已知他每次能射中的概率为，记小明射击2次的得分为X，则D(X)＝(　　) A． B． C． D． B　解析：由题意可知，X的取值可能为－2，0，2， 因为P(X＝2)＝×＝，P(X＝－2)＝×＝， P(X＝0)＝C××＝，所以E(X)＝×2＋(－2)×＋×0＝， 故D(X)＝(2－)2×＋(－2－)2×＋(0－)2×＝. 3．已知随机变量X服从两点分布，且P(X＝1)＝，则E(3X－2)和D(3X－2)分别为(　　) A．3，2 B．－1，2 C．－1，－ D．－1， B　解析：因为随机变量X服从两点分布，且P(X＝1)＝，所以P(X＝0)＝，可得E(X)＝0×＋1×＝，D(X)＝(0－)2×＋(1－)2×＝，所以E(3X－2)＝3E(X)－2＝3×－2＝－1，D(3X－2)＝32×D(X)＝9×＝2.故选B. 4．在同样条件下，用甲、乙两种方法测量某零件长度(单位：mm)，由大量结果得到的分布列如图，则下列说法正确的是(　　) 甲 X 48 49 50 51 52 P 0.1 0.1 0.6 0.1 0.1 乙 Y 48 49 50 51 52 P 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 A.甲方法测量的结果比乙测量的结果波动小 B．甲方法测量的结果比乙测量的结果波动大 C．甲方法测量的结果比乙测量的结果波动相当 D．无法比较甲乙结果的波动大小 A　解析：由已知得E(X)＝48×0.1＋49×0.1＋50×0.6＋51×0.1＋52×0.1＝50，E(Y)＝48×0.2＋49×0.2＋50×0.2＋51×0.2＋52×0.2＝50，所以D(X)＝(48－50)2×0.1＋(49－50)2×0.1＋(50－50)2×0.6＋(51－50)2×0.1＋(52－50)2×0.1＝1，D(Y)＝(48－50)2×0.2＋(49－50)2×0.2＋(50－50)2×0.2＋(51－50)2×0.2＋(52－50)2×0.2＝2，D(X)＜D(Y)，所以甲方法测量的结果比乙方法测量的结果波动小，故选A. 5．(多选)(2024·济南高二阶段检测)若随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝，则(　　) A．E(X)＝ B．E(2X＋3)＝3 C．D(X)＝ D．D(3X＋2)＝ AC　解析： 因为随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝，所以P(X＝1)＝，所以E(X)＝0×＋1×＝，D(X)＝×(0－)2＋×(1－)2＝，故AC选项正确．又E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝2×＋3＝，D(3X＋2)＝9D(X)＝9×＝，故BD选项错误．故选AC. 6．(2024·保定高二阶段检测)随机变量X的取值为0，1，2，若P(X＝0)＝，E(X)＝1，则D(X)＝________． 答案：　解析：P(X＝0)＝，则P(X＝1)＋P(X＝2)＝；E(X)＝P(X＝1)＋2P(X＝2)＝1， 故P(X＝1)＝，P(X＝2)＝. D(X)＝(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＝. 7．(2024·淄博高二期末)随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P n 则D(X)＝__________． 答案：　解析：由概率之和为1可得＋＋n＝1，解得n＝，故E(X)＝1×＋2×＋3×＝，D(X)＝×(1－)2＋×(2－)2＋×(3－)2＝. 8．(2024·德州高二月考)某网约车司机统计了自己一天中出车一次的总路程X(单位：km)的可能取值是20，22，24，26，28，30，它们出现的概率依次是0.1，0.2，0.3，0.1，t，2t. (1)求X的分布列，并求X的均值和方差； (2)若网约车计费细则如下：起步价为5元，行驶路程不超过3 km时，收费5元，行驶路程超过3 km时，则按每超出1 km(不足1 km也按1 km计程)收费3元计费．试计算此人一天中出车一次收入的均值和方差． 解：(1)由题意，得0.1＋0.2＋0.3＋0.1＋t＋2t＝1. ∴t＝0.1. ∴X的分布列为 X 20 22 24 26 28 30 P 0.1 0.2 0.3 0.1 0.1 0.2 ∴E(X)＝20×0.1＋22×0.2＋24×0.3＋26×0.1＋28×0.1＋30×0.2＝25， D(X)＝(－5)2×0.1＋(－3)2×0.2＋(－1)2×0.3＋12×0.1＋32×0.1＋52×0.2＝10.6. (2)设此人一天中出车一次的收入为Y元，则Y＝3(X－3)＋5＝3X－4(X>3，X∈N)， ∴E(Y)＝E(3X－4)＝3E(X)－4＝3×25－4＝71，D(Y)＝D(3X－4)＝32D(X)＝95.4. 故此人一天中出车一次收入的均值为71元，方差为95.4. 9．将数字1，2，3，4，5任意排成一列，如果数字k恰好在第k个位置上，则称有一个巧合． (1)求巧合数X的分布列； (2)求巧合数X的期望与方差． 解：(1)X可能的取值为0，1，2，3，5. 则P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， P(X＝5)＝. X的分布列如下表 X 0 1 2 3 5 P (2)E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋5×＝1， D(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＋(3－1)2×＋(5－1)2×＝1. 10．(2024·保定高二期中)设0<m<1，且随机变量X的分布列是 X 0 m 1 P 则D(X)的最小值为(　　) A．0 B． C． D． B　解析：由分布列得E(X)＝0×＋m×＋1×＝， 则D(X)＝(0－)2×＋(m－)2×＋(1－)2×＝(m－)2＋， 当m＝时，D(X)取得最小值. 11．(多选)已知A1，A2为两所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为，该同学一旦通过某所高校的考试，就不再参加其他高校的考试，设该同学通过考试的高校个数为随机变量X，则(　　) A．X的取值可能为0, 1 B．X服从两点分布 C．E(X)＝ D．D(X)＝ ABC　解析：由已知X的取值可能为0，1，且服从两点分布， ∵P(X＝0)＝×＝，P(X＝1)＝＋×＝，∴E(X)＝0×＋1×＝，D(X)＝(0－)2×＋(1－)2×＝.故D选项错误，其他选项正确． 12．若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1＜x2，又已知E(X)＝，D(X)＝，则x1＋x2的值为__________． 答案：3　解析：∵E(X)＝x1＋x2＝，∴x2＝4－2x1， 又D(X)＝(－x1)2×＋(－x2)2×＝，x1＜x2，∴∴x1＋x2＝3. 13．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表： 降水量X X<300 300≤ X<700 700≤ X<900 X≥900 工期延误 天数Y 0 2 6 10 历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9.求： (1)工期延误天数Y的均值与方差； (2)在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率． 解：(1)由已知条件和概率的加法公式有： P(X<300)＝0.3， P(300≤X<700)＝P(X<700)－P(X<300)＝0.7－0.3＝0.4， P(700≤X<900)＝P(X<900)－P(X<700)＝0.9－0.7＝0.2. P(X≥900)＝1－P(X<900)＝1－0.9＝0.1. 所以Y的分布列为 Y 0 2 6 10 P 0.3 0.4 0.2 0.1 所以E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3； D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8. 故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8. (2)由概率的加法公式，得 P(X≥300)＝1－P(X<300)＝0.7， 又P(300≤X<900)＝P(X<900)－P(X<300)＝0.9－0.3＝0.6. 由条件概率，得 P(Y≤6|X≥300)＝P(X<900|X≥300) ＝＝＝. 故在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率是. 14．A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2.根据市场分析，X1和X2的分布列分别为 X1 5% 10% P 0.8 0.2 X2 2% 8% 12% P 0.2 0.5 0.3 (1)在A，B两个项目上各投资100万元，Y1(单位：万元)和Y2(单位：万元)分别表示投资项目A和项目B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)； (2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目，(100－x)万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值． 解：(1)由题设可知Y1和Y2的分布列分别为 Y1 5 10 P 0.8 0.2 Y2 2 8 12 P 0.2 0.5 0.3 E(Y1)＝5×0.8＋10×0.2＝6，D(Y1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4； E(Y2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8， D(Y2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12. (2)f(x)＝D(·Y1)＋D(·Y2) ＝()2D(Y1)＋()2D(Y2) ＝[x2＋3(100－x)2] ＝(4x2－600x＋3×1002). 所以当x＝＝75时，f(x)＝3为最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$