课时梯级训练(16) 离散型随机变量的均值（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修3（人教A版2019）

课时梯级训练(16)　离散型随机变量的均值 1．(2024·温州高二期中)李老师从课本上抄录一个随机变量X的分布列如下表： X 1 2 3 P ！ ？ ！ 现让小王同学计算X的数学期望，尽管“？”处的数值完全无法看清，且两个“！”处字迹模糊，但能断定这两个“！”处的数值相同，则E(X)＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 B　解析：设P(X＝1)＝P(X＝3)＝a，P(X＝2)＝b，则a＋b＋a＝1，即2a＋b＝1，所以E(X)＝1×a＋2×b＋3×a＝4a＋2b＝2(2a＋b)＝2.故选B. 2．(2024·三明高二阶段检测)已知随机变量X的分布列如下表所示： X 1 2 3 4 5 P 0.1 0.2 b 0.2 0.1 则E(2X－5)的值等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 A　解析：由题得0.1＋0.2＋b＋0.2＋0.1＝1，所以b＝0.4，所以E(X)＝1×0.1＋2×0.2＋3×0.4＋4×0.2＋5×0.1＝3，所以E(2X－5)＝2E(X)－5＝2×3－5＝1.故选A. 3．(2024·台州高二期末)在单项选择题中，每道题有4个选项，其中仅有一个选项是正确的，如果从四个选项中随机选一个，选对的概率为0.25.为了减少随机选择也得分的影响，某次考试单项选择题采用选错扣分的规则，选对得6分，选错扣a分．若随机选择时得分的均值为0分，则a的值为(　　) A.1 B．2 C．3 D．4 B　解析：选对得6分，选错扣a分(a>0)，则有0.25×6＋(1－0.25)(－a)＝0，解得a＝2. 故选B. 4．(多选)(2024·黄冈高二阶段检测)已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 0.3 m 0.1＋m 则(　　) A．m＝0.3 B．m＝0.4 C．E(X)＝2.1 D．E(X)＝2.6 AC　解析：由0.3＋m＋0.1＋m＝1，得m＝0.3，则E(X)＝1×0.3＋2×0.3＋3×0.4＝2.1. 故选AC. 5．(2024·三明高二期中)随机变量X的分布列如下表，则E(2X＋1)＝________． X 0 2 4 P 0.4 a 0.3 答案：4.6　解析：由0.4＋a＋0.3＝1，可得a＝0.3，则E(X)＝0×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝1.8，则E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝2×1.8＋1＝4.6. 6．掷一枚质地均匀的骰子，若将掷出的点数记为得分，则得分的均值为______． 答案：　解析：设得分为X，则X可能的取值为1，2，3，4，5，6，且P(X＝i)＝，其中i＝1，2，3，4，5，6，则得分的均值E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝. 7．(2024·临沂高二阶段检测)已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止．某考生一次发球成功的概率为p(0＜p＜1)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)＞1.75，则p的取值范围为__________． 答案：(0，)　解析：由题意知X的可能取值为1，2，3， P(X＝1)＝p， P(X＝2)＝p(1－p)， P(X＝3)＝(1－p)2， 所以E(X)＝p＋2p(1－p)＋3(1－p)2>1.75， 解得p>或p<. 因为p∈(0, 1)，所以p∈(0, ). 8．(2024·遵义高二期中)某班举行“党史知识”竞赛，共12个填空题，每题5分，满分60分．李明参加该竞赛，其中前9个题能答对，后3个题能答对的概率分别为，，. (1)求李明最终获得满分的概率； (2)设李明的最终得分为X，求X的分布列及均值． 解：(1)依题意李明最终获得满分的概率为××＝. (2)依题意前9个题得分为5×9＝45； 后3个题，得分可能是0，5，10，15， 所以X的可能取值为45，50，55，60， 所以P(X＝45)＝××＝，P(X＝50)＝××＋××＋××＝，P(X＝55)＝××＋××＋××＝，P(X＝60)＝××＝. 所以X的分布列为 X 45 50 55 60 P 所以E(X)＝45×＋50×＋55×＋60×＝. 9．(2024·黔东南高二月考)某卖场“618”促销期间，规定每位顾客购物总金额超过888元可免费参加一次抽奖活动，活动规则如下“在一个不透明的纸箱中放入9个大小材质完全相同的小球，其中3个小球上标有数字1，3个小球上标有数字2，3个小球上标有数字3.每位顾客从该纸箱中一次性取出3个球，若取到的3个球上标有的数字都一样，则获得一张80元的代金券；若取到的3个球上标有的数字都不一样，则获得一张40元的代金券；若是其他情况，则获得一张10元的代金券．然后将取出的3个小球放回纸箱，等待下一位顾客抽奖．” (1)记随机变量X为某位顾客在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求随机变量X的分布列和数学期望； (2)该卖场规定，若“618”期间在该卖场消费的顾客购物总金额不足888元，则可支付19.9元开通该卖场会员服务，获得一次抽奖机会，若您是该位顾客，从收益的角度考虑，您是否愿意开通会员参加这一次抽奖活动？请说明理由． 解：(1)由题意可知随机变量X的可能取值为10，40，80， 有P(X＝80)＝＝，P(X＝40)＝＝，P(X＝10)＝＝， 可得随机变量X的分布列为 X 10 40 80 P 则E(X)＝10×＋40×＋80×＝. (2)由于>19.9，故从收益的角度考虑，我愿意开通会员参加这一次抽奖活动． 10．(多选)(2024·永州高二期中)<P<1，随机变量X的分布列如下，则下列结论正确的有(　　) X 0 1 2 P P－P2 1－P P2 A.P(X＝2)的值最大 B．P(X＝0)<P(X＝1) C．E(X)随着概率的增大而减小 D．E(X)随着概率的增大而增大 BD　解析：由<P<1，取P＝，则P(X＝2)＝，P(X＝1)＝1－＝>，A错误； 因为<P<1，所以P－P2＝P(1－P)<1－P，即P(X＝0)<P(X＝1)，B正确； E(X)＝(1－P)＋2P2＝2(P－)2＋. 因为<P<1，所以E(X)随着P的增大而增大，C错误，D正确，故选BD. 11．学习强国新开通一项“争上游答题”栏目，其规则是比赛两局，首局胜利积3分，第二局胜利积2分，失败均积1分．某人每局比赛胜利的概率为，设他参加一次答题活动得分为X，则E(X)＝____________． 答案：　解析：依题意可知X的可能取值为2，3，4，5， P(X＝5)＝×＝， P(X＝4)＝×＝， P(X＝3)＝×＝， P(X＝2)＝×＝， 所以E(X)＝5×＋4×＋3×＋2×＝＝. 12．(2024·保定高二阶段检测)已知X的分布列 X －1 0 1 P 且Y＝aX＋3，E(Y)＝，则a＝________． 答案：4　解析：∵E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－，且Y＝aX＋3，∴E(Y)＝aE(X)＋3＝， 即－a＋3＝，解得a＝4. 13．(2024·武汉高二阶段检测)冰壶是冬季奥运会的比赛项目之一．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端(投掷线MN的左侧)有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线MN将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O的远近决定胜负．甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶的重心落在圆O中，得3分；冰壶的重心落在圆环A中，得2分；冰壶的重心落在圆环B中，得1分，其余情况均得0分．已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响．甲、乙得3分的概率分别为，；甲、乙得2分的概率分别为，；甲、乙得1分的概率分别为，. (1)求甲、乙两人所得分数相同的概率； (2)甲、乙各掷一次，设甲、乙两人所得的分数之和为X，求X的分布列和期望． 解：(1)由题意知甲得0分的概率为1－－－＝， 乙得0分的概率为1－－－＝， 所以甲、乙两人所得分数相同的概率为×＋×＋×＋×＝. (2)X可能取值为0，1，2，3，4，5，6， 则P(X＝0)＝×＝， P(X＝1)＝×＋×＝， P(X＝2)＝×＋×＋×＝， P(X＝3)＝×＋×＋×＋×＝， P(X＝4)＝×＋×＋×＝， P(X＝5)＝×＋×＝， P(X＝6)＝×＝， 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 6 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝. 14．(2024·抚顺高二期中)某校为激发学生对天文、航天、数字科技三类相关知识的兴趣，举行了一次知识竞赛(竞赛试题中天文、航天、数字科技三类相关知识题量占比分别为40%，40%，20%).某同学回答天文、航天、数字科技这三类问题中每个题的正确率分别为，，. (1)若该同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； (2)若该同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得2分，回答错误不得分，设该同学回答三题后的总得分为X分，求X的分布列及数学期望． 解：(1)设所选的题目为天文、航天、数字科技相关知识的题目分别为事件A1，A2，A3，所选的题目回答正确为事件B，则P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.4×＋0.4×＋0.2×＝， 所以该同学在该题库中任选一题作答，他回答正确的概率为. (2)X的可能取值为0，2，4，6， P(X＝0)＝(1－)×(1－)×(1－)＝， P(X＝2)＝×(1－)×(1－)＋(1－)××(1－)＋(1－)×(1－)×＝， P(X＝4)＝××(1－)＋(1－)××＋×(1－)×＝， P(X＝6)＝××＝. 则X的分布列为 X 0 2 4 6 P 所以E(X)＝0×＋2×＋4×＋6×＝3. 学科网（北京）股份有限公司 $$