课时梯级训练(14) 全概率公式（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修3（人教A版2019）

课时梯级训练(14)　全概率公式 1. 一个口袋中装有2个白球和3个黑球，先摸出一个球后放回，再摸出一个球，则两次摸出的球都是白球的概率是(　　) A. B． C． D． D　解析：设A＝“第一次摸出的是白球”，B＝“第二次摸出的是白球”，则P(AB)＝×＝. 2．某个家庭有两个小孩，两个都是男孩的概率是(　　) A． B． C． D． C　解析：方法一　有两个小孩的家庭，其小孩性别构成的所有样本点有4个：{男，男}，{男，女}，{女，男}，{女，女}．设A＝“第一个是男孩”，B＝“第二个也是男孩”，所以P(AB)＝. 方法二　设A＝“第一个是男孩”，B＝“第二个也是男孩”， 则P(A)＝，P(B|A)＝， 故所求的概率为P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝. 3．5张卡片上分别标有数字1，2，3，4，5，每次从中任取一张，连取两次．若第一次取出的卡片不放回，则第二次取出的卡片上的数字大于第一次取出的数字的概率为(　　) A． B． C． D． B　解析：设A表示“第二次取出的卡片上的数字大于第一张卡片上的数字”，Bi表示“第一次取出的数字为i”，i＝1, 2, 3, 4, 5，则P(Bi)＝，P(A|Bi)＝，由全概率公式，得P(A)＝(Bi)P(A|Bi)＝×(1＋2＋3＋4)＝. 4．一批零件有100个，其中有10个不合格品，从中一个一个不放回取出，第三次才取出不合格品的概率为________. 答案：　解析：记Ai＝“第i次取出的是不合格品”，Bi＝“第i次取出的是合格品”，依题意：P(B1B2A3)＝P(B1)·P(B2|B1)·P(A3|B1B2)＝××＝. 5．某地成年人体重肥胖者(A1)占0.1，中等者(A2)占0.82，瘦小者(A3)占0.08，又肥胖者、中等者、瘦小者患高血压病的概率分别为0.2，0.1，0.05，则该地成年人患高血压的概率等于__________． 答案：0.106　解析：令B＝{某人患高血压}，Ai＝{某人体重的特征}(i＝1，2，3)，显然它们构成一完备事件组，且事件B只能与其中之一事件同时发生，故用全概率公式计算. P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋ P(A2)·P(B|A2)＋ P(A3)·P(B|A3)＝0.1×0.2＋0.82×0.1＋0.08×0.05＝0.106. 6．某保险公司把被保险人分为3类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”. 统计资料表明，这3类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15，0.3. 如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，那么一个被保险人在一年内出事故的概率为________． 答案：0.175　解析：设事件B1表示“谨慎的”被保险人，B2表示“一般的”被保险人，B3表示“冒失的”被保险人，则B1，B2，B3构成了Ω的一个划分，设事件A表示被保险人在一年内出事故，则由全概率公式得P(A)＝(Bi)·P(A|Bi)＝0.05×0.2＋0.15×0.5＋0.3×0.3＝0.175. 7．(2024·昆明高二月考)鲜花饼是以云南特有的食用玫瑰花入料的酥饼，是具有云南特色的云南经典点心代表，鲜花饼的保质期一般在三至四天．据统计，某超市一天鲜花饼卖出3箱的概率为，卖出2箱的概率为，卖出1箱的概率为，没有卖出的概率为，为了保证顾客能够买到新鲜的鲜花饼，该超市规定当天结束营业后检查货架上的存货，若卖出2箱及以上，则需补货至3箱，否则不补货．假设第一天该超市开始营业时货架上有3箱鲜花饼． (1)在第一天结束营业后货架上有2箱鲜花饼的条件下，求第二天结束营业时货架上有1箱存货的概率； (2)求第二天结束营业时货架上有1箱存货的概率． 解：(1)设事件A表示“第二天开始营业时货架上有3箱鲜花饼”，事件B表示“第二天开始营业时货架上有2箱鲜花饼”，事件C表示“第二天结束营业时货架上有1箱存货”， 因为第一天结束营业后货架上有2箱鲜花饼，所以第一天只卖出1箱，所以P(C|B)＝. (2)由题意知，P(A)＝＋＋＝，P(B)＝，P(C|A)＝， 由全概率公式得P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)·P(C|B)＝×＋×＝. 8．装有10件某产品(其中一等品5件，二等品3件，三等品2件)的箱子中丢失一件产品，但不知是几等品．今从箱中任取2件产品，结果都是一等品，则丢失的也是一等品的概率为(　　) A． B． C． D． C　解析：设事件A＝{从箱中任取2件都是一等品}，事件Bi＝{丢失的为i等品}(i＝1，2，3)，则P(A)＝P(B1)·P(A|B1)＋ P(B2)P(A|B2)＋ P(B3)·P(A|B3)＝×＋×＋×＝， 故所求的概率为P(B1|A)＝＝. 9．(2024·宿迁高二期末)人工智能领域让贝叶斯公式：P(A|B)＝站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001.某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有98%的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有4%的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为(　　) A．0.1% B．0.4% C．2.4% D．4% C　解析：设“视频是AI合成”为事件A，“鉴定结果为AI”为事件B， 则P(A)＝0.001，P()＝0.999，P(B|A)＝0.98，P(B|)＝0.04， 由贝叶斯公式得 P(A|B)＝ ＝≈0.024， 故选C. 10．某试卷只有1道选择题，但有6个答案，其中只有一个是正确的．考生不知道正确答案的概率为，不知道正确答案而猜对的概率为. 现已知某考生答对此题，则他猜对此题的概率为________． 答案：　解析：设A＝{不知道正确答案}，B＝{答对此题}，则P(A)＝，P()＝1－＝，P(B|A)＝. 所以P(A|B) ＝ ＝＝. 11．(2024·保定高二期中)在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3且外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择．现在已知甲选择了1号箱，若用Ai表示“i号箱有奖品(i＝1，2，3)”，用Bi表示“主持人打开i号箱子(i＝2，3)”，求P(A2|B3)的值． 解：若奖品在1号箱里，主持人可打开2，3号箱，则P(B3|A1)＝； 若奖品在2号箱里， 主持人只能打开3号箱，则P(B3|A2)＝1； 若奖品在3号箱里，主持人只能打开2号箱， 则P(B3|A3)＝0. 由全概率公式可得，P(B3)＝(Ai)· P(B3|Ai)＝(＋1＋0)＝，P(A2|B3)＝＝＝. 12．《伊索寓言》中有一则 “孩子与狼” 的故事，讲的是一个小孩每天到山上放羊，山里有狼出没. 第一天，他在山上喊“狼来了！狼来了！”，山下的村民闻声便去打狼，可到了山上，发现狼没有来；第二天也如此；第三天，狼真的来了，可无论小孩怎么喊叫，也没有人来救他，因为前两天他说了谎，人们不再相信他了. 试用贝叶斯公式来分析此寓言中村民对这个小孩的可信度是如何下降的． 解： 本题分两个方面，一是小孩，二是村民． 小孩有两种行为：一是说谎，二是不说谎；村民有两种行为：一是认为小孩可信，二是认为小孩不可信． 设A表示“小孩说谎”，B表示“小孩可信”． 不妨设过去村民对这个小孩的印象是P(B)＝0.8，P()＝0.2，用贝叶斯公式计算村民对这个小孩的可信程度的改变时要用到P(A|B)，P(A|)，即“可信的孩子说谎”的概率与“不可信的孩子说谎”的概率， 在此不妨设P(A|B)＝0.1，P(A|)＝0.5. 第一次村民上山打狼，发现狼没有来，即小孩说了谎，村民根据这个信息，将这个小孩的可信程度改变为 P(B|A)＝ ＝≈0.444. 这表明村民上了一次当后，对这个小孩的可信程度由原来的0.8调整为0.444，也就是将村民对这个小孩的最初印象P(B)＝0.8，P()＝0.2调整为P(B)＝0.444，P()＝0.556. 在这个基础上，我们再用贝叶斯公式计算P(B|A)，即这个小孩第二次说谎之后，村民认为他的可信程度改变为 P(B|A)＝≈0.138. 这表明村民经过两次上当后，对这个小孩的信任程度已经由最初的0.8下降到了0.138，如此低的可信度，村民听到第三次呼叫时，就不会上山去打狼了． 学科网（北京）股份有限公司 $$