课时梯级训练(12) 二项式定理的综合应用（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修3（人教A版2019）

课时梯级训练(12)二项式定理的综合应用 A组基础夯实 1.在1一(2x十1)的展开式中，含x项的系数为() A.-5B.-15C.-25D.25 B解析：因为(1-x=(-x5+5x+Cs(-x)3+…,所以在(1一x)(2x十1)的展开式中， 2 含x4项的系数为5一2C5=一15.故选B 2.心十y十)的展开式共() A.10项B.15项C.20项D.21项 B解析：x+y+z)4=[x+y)+z4=C4x+y+C4x+y)z+C4x+y)2z2+C4(x+y)z3+ C4z,由二项式定理可知，x+y展示式中共有n+1项，故+十y十的展开式共有5十4十 3十2+1=15项故选B 3.(x2+x一2)的展开式中含x3项的系数为() A.-160 B.-120 C.40 D.200 B解析：，(x2+x-2)5=(x+2)5·(x-1)5=5+104+40x3+80x2+80x+32)(5-5x4 +103-10x2+5x-1),∴.展开式中含x3项的系数为40×(-1)+80×5+80×(-10)十32×10 =-120 4.(2024浙江高二期中)已知(2+1)e-1)4=a0十ax+a2x2+ax3+a4+asx5,则41+ a4的值为() A.-5B.-7C.-9D.-13 C解析：显然-1)4=x4-4x3+6x2-4+1, 在(2x+1)x-1的展开式中，a1=2×1十1×(-4)=-2，a4=2×(-4)+1×1=-7, 故1十a4=一9 5.(x2+1x+2)(x>0)的展开式中的常数项为 答案：22解析：x2+1x+2)x>0)可化为(+1)10，因而T+1=C10(1r2)10- )10-2,令10-2k=0,得k=5, 故展开式中的常数项为C10·(12)=2)2 6.若2+1)(2x+1)9=a十a1x+2)+2(x+22++a1x+2,则a+a1十十…+am 的值为 答案：一2解析：令x=-1,则原式可化为[(-1)2+1][2×(-1)+1]9=-2=ao+1 (2-1)+…+a1·(2-1)11, 故a十a+a2+…十a1=-2 7.求(1十x十x2)1一x)10展开式中x4的系数， 解：(1+x+x2)1一x)10=(1一r1一x)9=(1一xr)(1-9x+Cx2-C3+),因此展开式 中4的系数为C9十9=135， 2 8.若n是正整数，则7+7m-1C十7严-2Cn十…十7Cn除以9的余数是多少？ -1 解：7m+7m-1Cn十7m-2Cn+…+7Cn =(7+1yr-Cn=8m-1=(9-1y-1 =C9(-1)0+C99-1(-1)1+…+C90(-1)-1, 当n为偶数时，余数为0：当n为奇数时，余数为7 故余数为0或7 B组综合提升 9.设a∈Z,且0≤a<13,若512018+a能被13整除，则a=() A.0B.1C.11D.12 D解析：由于51=52-1,512018=(52-1)2018=C2018522018-C2018522017+ 2017 C2o18521+1,又52÷13=4，所以只需13整除1十a,又0≤a<13,a∈Z,所以a=12 10.(2024南通高二月考)x+1x一2)展开式中的常数项为() A.70B.-70C.16D.64 A解析：+lx一2)=[x十1x)一2，该二项式的通项公式为T+1=Cx+1x)4-(-2) 当k=4时，常数项为C4(一2)4=16： 当k=0,1,2,3时，二项式十1x)4-*的通项公式为Tm+1=C4-k·x4-一m(1xm, 令4一k-m=m>4-k=2m, 当k=0时，m=2,当k=2时，m=1, 022 所以常数项为C4C4+C4(一2)2C2=54 综上，常数项为54+16=70 11.(2024长沙高二期中)今天是星期天，则137天后是( A,星期五 B.星期六 C.星期天 D.星期一 B解析：因为137=14-1)7=147+C7×146×(-1)++C?×14×(-1)6-1, 所以137除以7的余数为6，所以137天后是星期六. 12.在(1+x)(1+2yP(a∈N)的展开式中，记xy项的系数为m,m),若f01)十1,0) =6,则a的值为 答案：1解析：0,1)=C4·Ca21=2a,1,0)=C4·Ca=4,所以01)+1,0)=2a +4=6,解得a=1. 13,(1+2x一x2y展开式中各项系数的和为64，则(1十x+1x2y展开式中的常数项为 答案：76解析：因为(1十2x一x2y展开式中各项系数的和为64，则令x=1,得2=64， 解得n=6.(1+x十1x2)6表示6个因式1十x+1x2的乘积，在这6个因式中，有6个因式都选 1,可得常数项为1：有2个因式选x,有1个因式选x2,其余的3个因式都选1，可得常数 213 42 项为C8C4C3×13=60:有4个因式都选x,有2个因式都选1x2,可得常数项为CC2=15.故 展开式的常数项为60+15+1=76 C组创新应用 14,设a,b,m为整数(m0),若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余， 0 2 20 记为a=b(modm.若a=C20十C20×2+C20×22+…十+C2m×220,a=b(mod10),则b的值可以 是() A.2018 B.2019 C.2020 D.2021 0 D解析：因为a=C20+C20×2十C20×22+…+C0×220=(1十2)20=320=(80十1)户，它被 10除所得余数为1，又a=b(mod10),所以b的值可以是2021