7.3.2 离散型随机变量的方差（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修3（人教A版2019）

随机变量及其分布 7.3.2　离散型随机变量的方差 第七章 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 BCD 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 C 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 A 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 B 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 谢谢观看 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 学习目标 1.通过具体实例，理解取有限个值的离散型随机变量的方差概念． 2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题． X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn 知识点一　离散型随机变量的方差 1．定义 设离散型随机变量X的分布列如下表所示． σ(X) 我们称D(X)＝____________________________________________＝ ________________为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称_________为随机变量X的标准差，记作______． (x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn (xi－E(X))2pi 分散 2．意义 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的________，反映了随机变量取值的离散程度．方差或标准差越小，随机变量的取值越____；方差或标准差越大，随机变量的取值越____． 偏离程度 集中 [例1] (多选)下列说法正确的是(　　) A．离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定 B．若a是常数，则D(a)＝0 C．离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于均值的平均程度 D．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小 随机变量的方差越小，随机变量越稳定，所以A项错误，其余选项均正确． 对方差、标准差概念的说明 (1)随机变量X的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同的． (2)随机变量X的方差和标准差都反映了随机变量X取值的稳定与波动、集中与离散程度． (3)D(X)越小，随机变量X的取值就越稳定，波动就越小． (4)标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛． ABD [练1] (多选)下列说法中错误的是(　　) A．离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的概率的平均值 B．离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平 C．离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的平均水平 D．离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的概率的平均值 E(X)综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了X取值的平均水平，D(X)反映了X取值的离散程度，故选ABD. 2．三个性质 D(X＋b)＝______，D(aX)＝______，D(aX＋b)＝______． xpi－(E(X))2 D(X) a2D(X) 知识点二　离散型随机变量方差的计算 a2D(X) 1．一个结论 D(X)＝(xi－E(X))2pi＝_________________________． [例2] (2024·遵义高二月考)不透明袋中装有质地，大小相同的4个红球，m个白球，若从中不放回地取出2个球，在第一个取出的球是红球的前提下，第二个取出的球是白球的概率为. (1)求白球的个数m； (2)若有放回地取出两个球，记取出的红球个数为X，求E(X)，D(X). (1)由题意知，袋中装有质地，大小相同的4个红球，m个白球， 因为第一个取出的球是红球，第二个取出的球是白球的概率为， 可得＝，解得m＝5. (2)由题意，随机变量X可能为0，1，2， 则P(X＝0)＝×＝，P(X＝1)＝××2＝，P(X＝2)＝×＝， 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 则期望为E(X)＝0×＋1×＋2×＝， 方差为D(X)＝(0－)2×＋(1－)2×＋(2－)2×＝. 求离散型随机变量X的方差的步骤 (1)理解X的意义，写出X可能取的全部值； (2)求X取各个值的概率，写出分布列； (3)根据分布列，根据期望的定义求出E(X)； (4)根据公式计算方差． 注意：对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意方差性质的应用，如D(aξ＋b)＝a2D(ξ)，这样处理既避免了求随机变量η＝aξ＋b的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程． [练2] (2024·南充期中)随机抛掷一枚质地均匀的骰子，设向上一面的点数为X. (1)求X的分布列； (2)求E(X)和D(X). (1)由题意，X的可能取值为1，2，3，4，5，6，且各点向上的概率均为， ∴X的分布列为 X 1 2 3 4 5 6 P [练3] 已知随机变量X的分布列是 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.2 0.3 0.2 0.1 试求D(X)和D(2X－1). E(X)＝0×0.2＋1×0.2＋2×0.3＋3×0.2＋4×0.1＝1.8. 所以D(X)＝(0－1.8)2×0.2＋(1－1.8)2×0.2＋(2－1.8)2×0.3＋(3－1.8)2×0.2＋(4－1.8)2×0.1＝1.56. 对于D(2X－1)，可用两种方法求解． 方法一　2X－1的分布列如下表： 2X－1 －1 1 3 5 7 P 0.2 0.2 0.3 0.2 0.1 E(2X－1)＝2.6. D(2X－1)＝(－1－2.6)2×0.2＋(1－2.6)2×0.2＋(3－2.6)2×0.3＋(5－2.6)2×0.2＋(7－2.6)2×0.1＝6.24. 方法二　根据方差的性质D(aX＋b)＝a2D(X)可得，D(2X－1)＝4D(X)＝4×1.56＝6.24. 综合应用　离散型随机变量方差的应用 [例3] (2024·临沂高二期中)甲、乙两种品牌手表，它们的日走时误差分别为X和Y(单位：s)，其分布列分别如下． 甲品牌的日走时误差分布列 X －1 0 1 P 0.1 0.8 0.1 乙品牌的日走时误差分布列 Y －2 －1 0 1 2 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 (1)求E(X)和E(Y)； (2)求D(X)和D(Y)，并比较两种品牌手表的性能． (1)由已知可得，E(X)＝－1×0.1＋0×0.8＋1×0.1＝0，E(Y)＝－2×0.1－1×0.2＋0×0.4＋1×0.2＋2×0.1＝0. (2)由(1)知，E(X)＝0， 所以D(X)＝(－1－0)2×0.1＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.1＝0.2. 又E(Y)＝0， 所以D(Y)＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2. 所以E(X)＝E(Y)，D(X)＜D(Y)， 所以两品牌手表的误差平均水平相当，但是甲品牌的手表走时更稳定． 利用均值和方差解决实际问题的步骤 (1)比较均值．离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高． (2)在均值相等的情况下计算方差．方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定． (3)下结论．依据方差的几何意义做出结论． [练4] (2024·南京月考)为选拔奥运会射击选手，对甲、乙两名射击选手进行选拔测试．已知甲、乙两名射击选手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X，Y，甲、乙两名射击选手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2. (1)求X，Y的分布列； (2)求X，Y的数学期望与方差，以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人． Y 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 (1)依题意，0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1. ∵乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2， ∴乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2， ∴X的分布列为 X 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 Y的分布列为 (2)由(1)可得 E(X)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2， E(Y)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7， D(X)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96， D(Y)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21， 由于E(X)>E(Y)，说明甲平均射中的环数比乙高， 又因为D(X)<D(Y)，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定， 所以，甲比乙的技术好，故应选拔甲射击选手参加奥运会． 1．知识清单 (1)离散型随机变量的方差． (2)离散型随机变量方差的计算． (3)离散型随机变量方差的应用． 2．方法归纳：公式法． 3．常见误区：方差公式套用错误． ◎随堂演练 1．(2024·商洛高二期末)若随机变量X满足P(X＝2)＝0.4，P(X＝7)＝0.6，则(　　) A．E(X)＝4.6 B．E(X)＝4 C．D(X)＝6 D．D(X)＝6.4 E(X)＝2×0.4＋7×0.6＝5，D(X)＝(2－5)2×0.4＋(7－5)2×0.6＝6.故选C. 2．(2024·遵义高二期中)若随机变量X满足D(X)＝0.6，则D(3X＋2)＝(　　) A．5.4 B．2 C．1.8 D．7.4 因为D(X)＝0.6，所以D(3X＋2)＝32×D(X)＝9×0.6＝5.4. 故选A. 3．(2024·合肥高二期中)随机变量X的取值为1，2，3，若P(X＝1)＝，E(X)＝2，则D(X)＝(　　) A． B． C． D． 由题知，P(X＝2)＋P(X＝3)＝1－P(X＝1)＝， 又E(X)＝P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＝2， 所以2P(X＝2)＋3P(X＝3)＝，解得P(X＝2)＝，P(X＝3)＝， 所以D(X)＝(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝. 4．若D(X)＝1，则D(X－D(X))＝________． 答案：1　 D(X－D(X))＝D(X－1)＝D(X)＝1. $$