课时梯级训练(11) 二项式系数的性质（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修3（人教A版2019）

课时梯级训练(11)　二项式系数的性质 1．已知(1＋x)n的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(　　) A．29 B．210 C．211 D．212 A　解析：由题意得C＝C，由组合数性质得n＝10，由二项式系数的性质可得，奇数项的二项式系数和为2n－1＝29. 2．(2024·青岛高二期末)在(－)n(n∈N*)的展开式中，所有的二项式系数之和为32，则所有项系数和为(　　) A．32 B．－32 C．0 D．1 D　解析：依题意，C＋C＋…＋C＝2n＝32，解得n＝5，则二项式(－)5的所有项系数之和为(－)5＝1. 3．(2024·德州高二期末)已知a>0，二项式(x＋)6的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为(　　) A．36 B．30 C．15 D．10 C　解析：令x＝1，则可得所有项的系数和为(1＋a)6＝64且a>0，解得a＝1， ∵(x＋)6的展开式的通项公式为Tk＋1＝Cx6－k·()k＝Cx6－3k，k＝0，1，…，6， ∴当k＝2时，6－3k＝0，展开式中的常数项为C＝15. 4．(多选)关于(a－b)11的说法，正确的是(　　) A．展开式中的二项式系数之和为2 048 B．展开式中只有第6项的二项式系数最大 C．展开式中第6项和第7项的二项式系数最大 D．展开式中第6项的系数最小 ACD　解析：由二项式系数的性质知，(a－b)11的二项式系数之和为211＝2 048，故选项A正确；因为(a－b)11的展开式共有12项，中间两项的二项式系数最大，即第6项和第7项的二项式系数最大，故选项C正确，选项B错误；因为展开式中第6项的系数是负数，且绝对值最大，所以展开式中第6项的系数最小，故选项D正确．故选ACD. 5．(多选)关于(x＋)6展开式，下列结论正确的是(　　) A．展开式共6项 B．常数项为64 C．所有项的系数之和为729 D．所有项的二项式系数之和为64 CD　解析：(x＋)6展开式的总项数是7，A项不正确；(x＋)6展开式的常数项为Cx6－3()3＝160，B项不正确；令x＝1，得(x＋)6展开式的所有项的系数之和为36＝729，C项正确；由二项式系数的性质得(x＋)6展开式的所有项的二项式系数之和为26＝64，D项正确. 故选CD. 6．在(ax－)4的展开式中各项系数之和是16，则a＝______． 答案：－1或3　解析：由题意可得(a－1)4＝16，a－1＝±2，解得a＝－1或a＝3. 7．(1＋)n展开式中的各项系数的和大于8而小于32，则系数最大的项是________． 答案：6x　解析：因为8<C＋C＋…＋C<32，即8<2n<32，且n∈N*，所以n＝4.所以展开式共有5项，系数最大的项为T3＝C()2＝6x. 8．设(5x－)n展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，M－N＝240，则展开式中x的系数为____________． 答案：150　解析：由题意得M＝4n，N＝2n， 因为M－N＝240，所以4n－2n＝240. 因为n∈N*，解得2n＝16，所以n＝4， Tk＋1＝C(5x)4－k(－)k ＝(－1)k54－kCx4－k， 令4－k＝1，解得k＝2. 故展开式中x的系数为(－1)254－2C＝150. 9．(2024·大连高二期中)若(1＋x)6(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a11x11.求： (1)a1＋a2＋a3＋…＋a11； (2)a0＋a2＋a4＋…＋a10. 解：(1)令x＝0，可得a0＝1， 令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a11＝－26，① a1＋a2＋a3＋…＋a11＝－65. (2)令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋…－a11＝0，② ①②两式相加，可得a0＋a2＋a4＋…＋a10＝－32. 10．设(2x＋1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0－a1＋a2－a3＋a4的值为(　　) A．1 B．－1 C．81 D．－81 A　解析：根据题意，(2x＋1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，令x＝－1，可得[2×(－1)＋1]4＝a0－a1＋a2－a3＋a4＝1. 11．(多选)已知(x－1)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a5(x＋1)5，则(　　) A．a0＝－32 B．a2＝－80 C．a3＋4a4＝0 D．a0＋a1＋…＋a5＝1 ABC　解析：令x＝－1得(－1－1)5＝a0，即a0＝－32，故A项正确．令x＝0得(－1)5＝a0＋a1＋…＋a5，即a0＋a1＋…＋a5＝－1，故D项不正确．令x＋1＝y，则(x－1)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a5(x＋1)5就变为(y－2)5＝a0＋a1y＋a2y2＋…＋a5y5，根据二项式定理知，a2即二项式(y－2)5展开式中y2项的系数，Tk＋1＝Cy5－k(－2)k，故a2＝C·(－2)3＝－80，故B项正确．a4＝C·(－2)1＝－10，a3＝C(－2)2＝40，故C项正确．故选ABC. 12．已知(1＋x)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10，若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈Z)是一个单调递增数列，则k的最大值是________． 答案：6　解析：(1＋x)n展开式的各项的系数为其二项式系数，当n＝10时，展开式的中间项第6项的二项式系数最大，故k的最大值为6. 13．如图，在由二项式系数构成的“杨辉三角”中，第________行中从左至右数第14个数与第15个数的比为2∶3. 第0行 1 第1行 1　1 第2行 1　2　1 第3行 1　3　3　1 第4行 1　4　6　4　1 第5行 1　5　10　10　5　1 … … 答案：34　解析：由已知，得＝，化简得＝，解得n＝34. 14．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答． ①第5项的系数与第3项的系数之比是14∶3； ②第2项与倒数第3项的二项式系数之和为55； ③C－C＝10. 已知在(－)n的展开式中，________． (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中含x5的项． 解：Tk＋1＝C()n－k(－)k＝C(－1)kx， 方案一：选条件①， (1)∵＝， ∴×＝， ∴n2－5n－50＝0， 解得n＝10或n＝－5(舍去)， ∴展开式共有11项，其中二项式系数最大的项是第6项，T6＝C(－1)5x＝－252x. (2)由(1)知n＝10，Tk＋1＝C(－1)kx5－， 令5－k＝5，∴k＝0，∴T1＝x5, ∴展开式中含x5的项是第1项为x5. 方案二：选条件②， (1)由题可知C＋C＝C＋C＝＝55， 整理得n2＋n－110＝0，解得n＝10或n＝－11(舍去)，故展开式共有11项，其中二项式系数最大的项是第6项， T6＝C(－1)5x＝－252x. (2)同方案一(2). 方案三：选条件③， (1)∵C－C＝C－C＝C＝10，∴n＝10， ∴展开式共有11项，其中二项式系数最大的项是第6项，T6＝C(－1)5x＝－252x. (2)同方案一(2). 学科网（北京）股份有限公司 $$