7.3.1 离散型随机变量的均值（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修3（人教A版2019）

随机变量及其分布 7．3　离散型随机变量的数字特征 7．3.1　离散型随机变量的均值 第七章 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 B 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 C 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 A 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 谢谢观看 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 学习目标 1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，理解离散型随机变量的分布列，能计算简单离散型随机变量的均值． 2．掌握两点分布的均值． 3．会利用离散型随机变量的均值，解决一些相关的实际问题． 知识点一　离散型随机变量的均值 1．某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的3种糖果按3∶2∶1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？ 2．什么是权数？什么是加权平均？ 3．如果混合糖果中每一颗糖果的质量都相等，你能解释权数的实际含义吗？ 则称E(X)＝____________________＝为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望． x1p1＋x2p2＋…＋xnpn 1．定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示， X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 平均水平 2.意义：均值是随机变量可能取值关于取值概率的__________，它综合了随机变量的取值和取值的____，反映了随机变量取值的__________. 加权平均数 概率 （1）均值E（X）刻画的是X取值的“中心位置”，这是随机变量X的一个重要特征，它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平. 由定义可知离散型随机变量的均值与它的本身有相同的单位． （2）随机变量的均值是一个确定的数，而样本均值具有随机性． 3．两点分布的均值 一般地，如果随机变量服从两点分布，那么E(X)＝______． p [例1] (2024·邯郸高二期中)有5个型号和形状完全相同的纳米芯片，已知其中有两件是次品，现对产品随机地逐一检测． (1)求检测过程中两件次品不相邻的概率； (2)设检测完后两件次品中间相隔正品的个数为X，求X的分布列和数学期望． (1)设事件A表示“检测过程中两件次品不相邻”， 依题意即将5个芯片排列，其中两件次品不相邻的概率，P(A)＝＝. (2)依题意X的可能取值为0，1，2，3， 则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2) ＝＝， P(X＝3)＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1. 求离散型随机变量的均值的步骤 (1)确定取值：根据随机变量X的意义，写出X可能取得的全部值； (2)求概率：求X取每个值的概率； (3)写分布列：写出X的分布列； (4)求均值：由均值的定义求出E(X). 其中准确写出随机变量的分布列是求解此类问题的关键． [练1] 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知他命中的概率为0.8，则罚球一次得分X的均值是(　　) A．0.2 B．0.8 C．1 D．0 B 方法一　因为P(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2，所以E(X)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8. 方法二　由题意知，X服从两点分布，故E(X)＝0.8. [练2] (2024·汉中高二期末)某校举行围棋友谊赛，甲、乙两名同学进行冠亚军决赛，每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，规定：每一局比赛中胜方记1分，负方记0分，先得3分者获胜，比赛结束． (1)求进行3局比赛决出冠亚军的概率； (2)若甲以2∶1领先乙时，记X表示比赛结束时还需要进行的局数，求X的分布列及数学期望． (1)甲3局全胜的概率为P1＝××＝， 乙3局全胜的概率为P2＝××＝， 则进行3局比赛决出冠亚军的概率为P＝＋＝. (2)X的可能取值为1，2， P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＋×＝， 故X的分布列为 X 1 2 P 故E(X)＝1×＋2×＝. X －2 －1 0 1 2 P m 1.求m的值． 2．求E(X)的值． 3．若Y＝2X－3，求E(Y). 4．若Y＝aX＋b，根据3，E(X)与E(Y)之间有什么关系？ 知识点二　离散型随机变量均值的性质 已知随机变量X的分布列如下： E(aX＋b) aE(X)＋b 均值的性质 (1)若X为常数c，则E(X)＝c. (2)如果X为(离散型)随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是随机变量，且_____________＝P(X＝xi)，i＝1，2，3，…，n. E(Y)＝_____________＝_____________． P(Y＝aXi＋b) [例2] 已知随机变量X的分布列如下表： X －2 －1 0 1 2 P m 求E(X). 由随机变量分布列的性质， 得＋＋＋m＋＝1，解得m＝. 所以E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－. [变式探究1] 　本例条件不变，若Y＝2X－3, 求E(Y). 方法一　由E(aX＋b)＝aE(X)＋b，E(X)＝－，得E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×(－)－3＝－. 方法二　因为Y＝2X－3，所以Y的分布列如表： Y －7 －5 －3 －1 1 P 故E(Y)＝(－7)×＋(－5)×＋(－3)×＋(－1)×＋1×＝－. [变式探究2] 　本例条件不变，若Y＝aX＋3，且E(Y)＝－，求a的值． 因为Y＝aX＋3，E(Y)＝－，E(X)＝－， 所以E(Y)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－a＋3＝－. 解得a＝15. 与离散型随机变量性质有关问题的解题思路 若给出的随机变量Y与X的关系为Y＝aX＋b，a，b为常数，则一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b求E(Y). B [练3] 已知随机变量ξ的分布列为 X －1 0 1 P m 若Y＝aX＋3，E(Y)＝，则a＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 由分布列的性质得＋＋m＝1，所以m＝.所以E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－.所以E(Y)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－a＋3＝，得a＝2. 综合应用　离散型随机变量均值的综合应用 [例3] 某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘．由于下雨会影响药材品质，基地收益如下表所示： 周一 无雨 无雨 有雨 有雨 周二 无雨 有雨 无雨 有雨 收益 20万元 15万元 10万元 7.5万元 若基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务．无雨时收益为20万元；有雨时收益为10万元．额外聘请工人的成本为a万元．已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36. (1)若不额外聘请工人，写出基地收益X的分布列及基地的预期收益； (2)该基地是否应该外聘工人，请说明理由． (1)设下周一无雨的概率为p，由题意知，p2＝0.36，p＝0.6，基地收益X的所有可能取值为20，15，10，7.5， 则P(X＝20)＝0.36，P(X＝15)＝0.24，P(X＝10)＝0.24，P(X＝7.5)＝0.16， 所以基地收益X的分布列为 X 20 15 10 7.5 P 0.36 0.24 0.24 0.16 基地的预期收益E(X)＝20×0.36＋15×0.24＋10×0.24＋7.5×0.16＝14.4，所以基地的预期收益为14.4万元． (2)设基地额外聘请工人时的收益为Y万元，则其预期收益E(Y)＝20×0.6＋10×0.4－a＝16－a(万元)， E(Y)－E(X)＝1.6－a， 综上，当额外聘请工人的成本高于1.6万元时，不外聘工人；成本低于1.6万元时，外聘工人；成本恰为1.6万元时，是否外聘工人均可以． 利用均值解决实际问题的思路 解答此类题目时，首先应把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相应的数学期望，并根据期望的大小作出判断． [练4] (2024·滨州高二阶段检测)一渔船出海打渔，出海后，若不下雨，可获得3 000元收益；若下雨，将损失1 000元．根据预测知某天下雨的概率为0.6，则这天该渔船出海获得收益的期望是________． 答案：600　 预测知某天下雨的概率为0.6，则某天不下雨的概率为1－0.6＝0.4，故这天该渔船出海获得收益的期望是3 000×0.4＋(－1 000)×0.6＝600. 1．知识清单 (1)离散型随机变量的均值，两点分布的均值． (2)离散型随机变量均值的性质． (3)离散型随机变量均值的综合应用． 2．方法归纳：函数与方程、转化化归． 3．常见误区：不会应用均值对实际问题作出正确分析. 则数学期望E(Y)＝(　　) A． B． C．1 D．2 ◎随堂演练 1．(2024·张家口阶段检测)已知离散型随机变量Y的分布列如下： Y 0 1 2 P 由题意可得E(Y)＝0×＋1×＋2×＝.故选B. 2．(2024·台州高二期中)已知随机变量X的分布列如下表，若E(X)＝5，则a＝(　　) X 3 a P b A.4 B．5 C．6 D．7 由E(X)＝3×＋ab＝5且＋b＝1，故b＝，所以3×＋a＝5，即a＝6.故选C. 3．现有一个项目，对该项目每投资10万元，一年后利润是1.2万元，1.18万元，1.17万元的概率分别为，， .随机变量X表示对此项目投资10万元一年后的利润，则X的均值为(　　) A．1.18 B．3.55 C．1.23 D．2.38 因为X的所有可能取值为1.2，1.18，1.17，P(X＝1.2)＝，P(X＝1.18)＝，P(X＝1.17)＝，所以X的分布列为 X 1.2 1.18 1.17 P 则E(X)＝1.2× ＋1.18×＋1.17×＝1.18. 4．(2024·天水高二期中)已知离散型随机变量的概率分布如下表，则其数学期望E(5ξ＋3)＝ ________． ξ 1 3 5 P 0.5 m 0.2 答案：15　 由分布列的性质，可得0.5＋m＋0.2＝1，解得m＝0.3， 所以E(ξ)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4，则E(5ξ＋3)＝5×2.4＋3＝15. $$