课时梯级训练(10) 二项式定理（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修3（人教A版2019）

课时梯级训练(10)　二项式定理 1．设n为自然数，则C2n－C2n－1＋…＋(－1)kC2n－k＋…＋(－1)nC等于(　　) A．2n B．0 C．－1 D．1 D　解析：原式＝(2－1)n＝1. 2．(2x－)5的展开式中含x3的项的系数为(　　) A．80 B．－80 C．－40 D．48 B　解析：(2x－)5的展开式的通项公式为Tk＋1＝C(2x)5－k×(－)k＝(－1)k×25－k×C×x5－2k，令5－2k＝3，得k＝1.于是展开式中含x3的项的系数为(－1)×25－1×C＝－80. 3．使(3x＋)n(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 B　解析：Tk＋1＝C(3x)n－k()k＝C3n－kxn－k，当Tk＋1是常数项时，n－k＝0，当k＝2，n＝5时n最小． 4．(多选)(2024·抚州高二期中)若二项式(2x＋)n的展开式中含有常数项，则n的值可以是(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 AD　解析：(2x＋)n的展开式的通项公式为Tk＋1＝C2n－kxn－k(k＝0，1，…，n)， 由于(2x＋)n的展开式中含有常数项，则n－k＝0有解，即2n－3k＝0， 当n＝6，k＝4时，2n－3k＝0成立； 当n＝9，k＝6时，2n－3k＝0成立； 当n＝7时，不存在k∈N使得14－3k＝0； 当n＝8时，不存在k∈N使得16－3k＝0. 5．在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________． 答案：16　5　解析：该二项展开式的第k＋1项为Tk＋1＝C()9－kxk，当k＝0时，第1项为常数项，所以常数项为()9＝16；当k＝1，3，5，7，9时，展开式的项的系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数为5. 6．若(1－ax)8的展开式中第6项的系数为1 792，则实数a的值为________． 答案：－2　解析：因为T6＝T5＋1＝C(－ax)5＝C(－a)5x5＝C(－a)5x5，所以有C(－a)5＝－56a5＝1 792，所以a5＝－32，解得a＝－2. 7．已知m∈Z，二项式(m＋x)4的展开式中x2的系数比x3的系数大16，则m＝________． 答案：2　解析：由Cm2－Cm＝16，得3m2－2m－8＝0，解得m＝2或m＝－.因为m∈Z，所以m＝2. 8．若(1＋2x)6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x的取值范围是________． 答案：(，)　解析：由得解得＜x＜. 9．记(2x＋)n的展开式中第m项的系数为bm. (1)求bm的表达式； (2)若n＝6，求展开式中的常数项； (3)若b3＝2b4，求n. 解：(1)(2x＋)n的展开式中第m项为 C·(2x)n－m＋1·()m－1＝2n＋1－m·C·xn＋2－2m， 所以bm＝2n＋1－m·C. (2)当n＝6时，(2x＋)n的展开式的通项为 Tk＋1＝C·(2x)6－k·()k＝26－k·C·x6－2k. 依题意，6－2k＝0，得k＝3， 故展开式中的常数项为T4＝23·C＝160. (3)由(1)及已知b3＝2b4，得2n－2·C＝2·2n－3·C， 从而C＝C，解得n＝5. 10．(2024·昆明高二期中)已知(x－2)6＝a0＋a1·(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a6(x－1)6，则a3＝(　　) A．15 B．－15 C．20 D．－20 D　解析：∵(x－2)6＝[－1＋(x－1)]6＝a0＋a1·(x－1)＋a2·(x－1)2＋…＋a6(x－1)6， 则a3＝C(－1)3＝－20. 11．(2024·上海徐汇高二期中)二项式(x3＋)n的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为______． 答案：5　解析：由题意，在(x3＋)n中，展开式中含有非零常数项， 展开式的通项为Tk＋1＝C(x3)n－k()k＝Cx3n－5k， ∵展开式中含有非零常数项，∴当3n－5k＝0时， 解得n＝， ∴当k＝3时， n最小，为5. 12．设a≠0，n是大于1的自然数，(1＋)n的展开式为a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.若点Ai(i，ai)(i＝0，1，2)的位置如图所示，则a＝________． 答案：3　解析：由题意知A0(0, 1)，A1(1, 3)，A2(2, 4)，故a0＝1，a1＝3，a2＝4. 由(1＋)n的展开式的通项公式知Tk＋1＝C()k(k＝0，1，2，…，n).故＝3，＝4，解得a＝3. 13．已知(＋)n(n<15)的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列． (1)求n的值； (2)写出其展开式中的所有有理项． 解：(1)(＋)n(n<15)的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数分别是C，C，C. 依题意得C＋C＝2C， 即＋＝2·， 化简得90＋(n－9)(n－8)＝20(n－8)， 即n2－37n＋322＝0，解得n＝14或n＝23. 因为n<15，所以n＝14. (2)(＋)n的展开式的通项公式Tk＋1＝Cx·x＝C·x，令42－k＝r，则当且仅当r是6的倍数时展开式中的项为有理项，0≤k≤14. 所以展开式中的有理项共有3项： k＝0，T1＝Cx7＝x7；k＝6，T7＝Cx6＝3 003x6；k＝12，T13＝Cx5＝91x5. 学科网（北京）股份有限公司 $$