课时梯级训练(9) 分组、分配的问题（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修3（人教A版2019）

课时梯级训练(9)　分组、分配的问题 1．某高校举行一场智能机器人大赛．该高校理学院获得8个参赛名额．已知理学院共有4个班，每个班至少要有一个参赛名额，则该理学院参赛名额的分配方法共有(　　) A．20种 B．21种 C．28种 D．35种 D　解析：将8个参赛名额看成8个元素，之间会产生7个空隙，则分配方法数共有C＝35种．故选D. 2．现有红色、黄色、蓝色、黑色小球各一个，放入编号为1，2，3的三个抽屉中，则恰好有1个抽屉为空的不同放法有(　　) A．24种 B．42种 C．60种 D．84种 B　解析：第一步，先从三个抽屉中选择一个空抽屉有C种；第二步，将四个小球分为2＋2或3＋1两组，共有＋C种放法；第三步，将两组小球放入不同编号的抽屉中，共有A种放法．因此恰好有1个抽屉为空的不同放法有C(＋C)A＝42种. 故选B. 3．(2024·重庆渝北高二期中)将4个不同的小球放入编号为A，B，C的三个盒子中，每个小球只能放入一个盒子，每个盒子至少放一个小球，若A盒子中只放一个小球，则不同的放法数为(　　) A．18 B．24 C．48 D．72 B　解析：第一步：给A盒子中只放一个小球有4种放法； 第二步：给剩下的3个球分成两组有C种方法； 第三步：给分成两组的球排列到B，C两个盒子中有A种方法； 根据分步乘法计数原理可知，满足题意的不同的放法数为4×C×A＝24，故选B. 4．6本不同的书，分成三份，一份4本，另外两份每份1本，共有________种不同的分配方式． 答案：15　解析：由题意，共有＝15种不同的分配方式． 5．现有6个三好学生名额，计划分到三个班级，则有__________种分法． 答案：28　解析：将6个三好学生名额分到三个班级，有3种类型：第一种是只有一个班分到名额，有3种情况；第二种是恰有两个班分到名额，有CC＝15种情况；第三种是三个班都分到了名额，有C＝10种情况，一共有3＋15＋10＝28种分法． 6．某校社团召开学生会议，要将11个学生代表名额，分配到高二年级的6个班级中，若高二(一)班至少3个名额，其余5个班每班至少1个名额，共有________种不同的分法．(用数字作答) 答案：56　解析：先给高二(一)班2个名额，还有9个名额分到6个班级去，每班至少1个名额，使用隔板法，有9个相同元素共8个空(不含两端)，插入5个板，共有C＝56种插法，即有56种不同的分法． 7．(2024·盐城高二期中)某校将12名优秀团员名额分配给4个不同的班级，要求每个班级至少一个，则不同的分配方案有________种． 答案：165　解析：将12名优秀团员名额分配给4个不同的班级，要求每个班级至少一个， 应用隔板法，12名团员成排的11个空用3个隔板分成四组(非空)，则不同的分配方案有C＝＝165种． 8．按照下列要求，分别求有多少种不同的放法？ (1)6个不同的小球放入4个不同的盒子； (2)6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球； (3)6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球． 解：(1)每个小球都有4种方法，根据分步乘法计数原理共有46＝4 096种不同放法． (2)分两类： 第1类，6个小球分3，1，1，1放入盒中； 第2类，6个小球分2，2，1，1放入盒中， 共有CCA＋·A＝1 560种不同放法． (3)方法一　按3，1，1，1放入有C种放法，按2，2，1，1放入有C种放法，根据分类加法计数原理，共有C＋C＝10种不同放法． 方法二(挡板法)　在6个球之间的5个空中插入3个挡板，将6个球分成4份，共有C＝10种不同放法． 9．若5名女生和2名男生去两地参加志愿者活动，两地均要求既要有女生又要有男生，则不同的分配方案有(　　) A．30种 B．40种 C．60种 D．80种 C　解析：将2名男生安排到两地有2种方法．若其中一地有1名女生，则有CC种安排方法，若一地有2名女生，则有CC种安排方法，则不同的分配方案有2(CC＋CC)＝60种．故选C. 10．(2024·安徽六安高二期中)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班级，每个班级至少分到一名学生，则不同的分法种数为(　　) A．112 B．81 C．72 D．36 D　解析：由题意，不同的分法种数为C×A＝36. 11．将编号为1，2，3，4，5，6的6个小球全部放入编号为1，2，3，4，5，6的6个盒子里，每个盒内放一个球，恰好有2个小球的编号与盒子的编号相同，则不同的放法种数为(　　) A．180 B．135 C．90 D．45 B　解析：根据题意，有且只有2个盒子的编号与放入的小球编号相同，在六个盒子中任选2个，放入与其编号相同的小球，有C＝15种选法，剩下的4个盒子的编号与放入的小球编号不相同，假设这4个盒子的编号为3，4，5，6，则3号小球可以放进4，5，6号盒子，有3种选法，剩下的3个小球放进剩下的3个盒子，有3种选法，则每个盒内放一个球，恰好有2个小球的编号与盒子的编号相同，不同的放法种数为15×3×3＝135. 12．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________．(用数字作答) 答案：336　解析：当每个台阶上各站1人时有CA种站法；当两个人站在同一个台阶上时有CCC种站法．因此不同的站法种数为CA＋CCC＝336. 学科网（北京）股份有限公司 $$