7.2 离散型随机变量及其分布列（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修3（人教A版2019）

随机变量及其分布 7．2　离散型随机变量及其分布列 第七章 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 唯一 有限个 一一列举 大写英文字母 小写英文字母 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 C 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 pi 表格 图形 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 1－p p 两点 0－1 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 A 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 谢谢观看 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 学习目标 1.通过具体实例，了解离散型随机变量的概念． 2．理解离散型随机变量分布列的表示方法和性质，了解两点分布． 知识点一　离散型随机变量 离散型随机变量的概念 (1)随机变量概念：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有____的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量． (2)离散型随机变量：可能取值为______或可以________的随机变量，我们称为离散型随机变量. 通常用____________表示随机变量，用____________表示随机变量的取值． (1)“随机变量”是随样本点变化而变化的量，是将随机试验的结果数量化； (2)随机变量的取值对应某随机试验的某一次随机结果； (3)有些随机试验的结果不具有数量关系，但我们仍可以用数量表示它； (4)对随机变量的所有可能取值都要明确，不能重复也不能遗漏． [例1] (1)(2024·临沂高二联考)10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是(　　) A．取到产品的件数 B．取到正品的概率 C．取到次品的件数 D．取到次品的概率 (2)指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由． ①某超市5月份每天的销售额； ②江西九江市长江水位监测站所测水位在(0，29]这一范围内变化，该水位站所测水位X. (1)逐一考查所给的选项：A选项中取到产品的件数是一个常量而不是变量，B，D选项中的量也是一个定值，而C选项中取到次品的件数可能是0，1，2，是随机变量．故选C. (2)①某超市5月份每天销售额可以一一列出，故为离散型随机变量． ②不是离散型随机变量，水位在(0, 29]这一范围内变化，不能按次序一一列举． 判断离散型随机变量的方法 (1)明确随机试验的所有可能结果； (2)将随机试验的试验结果数量化； (3)确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是． [练1] 下列变量中是离散型随机变量的是________．(填序号) ①连续不断射击，首次命中目标需要的射击次数X； ②将一个骰子掷3次，3次出现的点数之和X； ③某工厂加工的某种钢管，外径与规定的外径尺寸之差X. 答案：①②　 判断一个变量是否为离散型随机变量，主要看变量的某些值的出现是不是确定的，并且变量的取值能否按一定顺序列举出来．③中X的取值为某一范围内的实数，无法列出，为连续型随机变量． [练2] 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果． (1)一袋中装有5个除编号外完全相同的球，编号为1，2，3，4，5，现从该袋内随机取出3个球，被取出的球的最大号码数X； (2)电台在每个整点都报时，报时所需时间为0.5分钟，某人随机打开收音机对时间，他所等待的时间X分钟． (1)X可取3，4，5. X＝3，表示取出的3个球的编号为1，2，3； X＝4，表示取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4； X＝5，表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3，5或2，4，5或3，4，5. (2)X的可能取值为区间[0，59.5]内任何一个值，每一个可能取值表示他所等待的时间． 知识点二　离散型随机变量的分布列 一瓶中装有5个除编号外完全相同的球，编号为1，2，3，4，5.从瓶中同时取3个，以X 表示取出的3个球中的最大编号数． 1．随机变量X的可能取值是什么？ 2．试求X取不同值的概率分别是什么？ 3．你能用表格表示X与P 的对应关系吗？ X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 1．离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率 P(X＝xi)＝____，i＝1，2，…，n 为X的概率分布列，简称分布列．离散型随机变量的分布列也可以用____表示，还可以用____表示． 2.两点分布 如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列如下表所示： X 0 1 P ________ _______ 我们称X服从____分布或______分布，并称p＝P(X＝1)为成功概率．实际上，X为在一次试验中成功(事件A发生)的次数(0或1). [例2] (2024·聊城高二期中)甲、乙两名同学进行羽毛球练习，规定当有一人比对方多胜2局或打满6局时终止．甲在每局比赛中获胜的概率为p(p>0.5)，前两局中甲和乙各胜一局的概率为. (1)求p的值； (2)设终止时比赛局数为X，求X的分布列． (1)由题意可得，甲在每局比赛中获胜的概率为p，则乙在每局比赛中获胜的概率为1－p，所以2p(1－p)＝，解得p＝或p＝，又p>0.5，所以p＝. (2)X的可能取值为2，4，6. 设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为()2＋()2＝， 该轮结束时比赛继续的概率为1－＝. 若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各胜一局，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响． P(X＝2)＝，P(X＝4)＝×＝，P(X＝6)＝()2＝， 故X的分布列如下： X 2 4 6 P 求离散型随机变量的分布列的步骤 (1)找出随机变量X的所有可能的取值xi(i＝1，2，…，n). (2)求出取每一个值的概率P(X＝xi)＝pi. (3)列出表格． [练3] 袋内有10个白球，5个红球，从中摸出2个球，记X＝求X的分布列． 由题设可知X服从两点分布P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝. 所以X的分布列为 X 0 1 P [练4] (2024·重庆渝北高二期中)已知袋中有6个不同的小球，红球、黄球、蓝球各2个(除颜色外完全相同)，现从中任取3个球． (1)求取出的球中红球数多于黄球数的概率； (2)设X表示取出的3个球中红色球的个数，求X的分布列． (1)设事件A“取出的球中红球数多于黄球数”， 若取出一个红球，则只需另取出两个蓝球，有CC种取法； 若取出两个红球，则从剩下的四个球中再取出一个球即可，故有CC种取法； 故P(A)＝＝. (2)依题意X的可能取值为0，1，2， 所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P ≥ 知识点三　离散型随机变量分布列的性质及应用 离散型随机变量分布列的性质 (1)pi__0，i＝1，2，…，n； (2)p1＋p2＋…＋pn＝__． 1 [例3] 设随机变量X的分布列P(X＝)＝ak(k＝1，2，3，4，5). (1)求常数a的值； (2)求P(X≥). (1)由题意，所给分布列为 X 1 P a 2a 3a 4a 5a 由分布列的性质得a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1， 解得a＝. (2)方法一　P(X≥)＝P(X＝)＋P(X＝)＋P(X＝1)＝＋＋＝. 方法二　P(X≥)＝1－P(X≤)＝1－(＋)＝. [变式探究] 若本例条件不变，求P(＜X＜). ∵＜X＜，∴X＝，，， ∴P(＜X＜) ＝P(X＝)＋P(X＝)＋P(X＝) ＝＋＋＝. 应用分布列的性质解题的关注点 (1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数． (2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式． 答案：0.5　 [练5] (2024·潍坊高二期中)离散型随机变量X的概率分布中部分数据丢失，丢失数据以x，y代替，其分布列如下： X 1 2 3 4 5 6 P 0.20 0.10 x 0.10 y 0.20 则P(<X<)等于________． 由分布列的性质可知随机变量的所有取值的概率和为1， 则P(<X<)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5)＝1－0.20－0.10－0.20＝0.5. 1．知识清单 (1)随机变量的概念、分类、离散型随机变量的概念． (2)离散型随机变量的分布列的概念、两点分布． (3)离散型随机变量的性质． 2．方法归纳：转化化归． 3．常见误区：随机变量的取值不明确导致分布列求解错误． ◎随堂演练 1．将一颗质地均匀的骰子掷两次，不能作为随机变量的是(　　) A．两次掷得的点数 B．两次掷得的点数之和 C．两次掷得的最大点数 D．第一次掷得的点数减去第二次掷得的点数差 两次掷得的点数的取值是一个数对，不是一个数． 答案：　　 2．若离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 2a 3a 5a 则a＝________，P(X≥1)＝________． 由2a＋3a＋5a＝1得a＝，所以P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝. 答案：0　0.55　 3．(2024·南京高二月考)随机变量Y的分布列如下， Y 1 2 3 4 5 6 P 0.2 x 0.35 0.1 0.15 0.2 则x＝________，P(Y≤3)＝________． 由分布列的性质得0.2＋x＋0.35＋0.1＋0.15＋0.2＝1，解得x＝0， 故P(Y≤3)＝P(Y＝1)＋P(Y＝2)＋P(Y＝3)＝0.2＋0＋0.35＝0.55. 4．在掷一枚图钉的随机试验中，令X＝若针尖向上的概率为，试写出随机变量X的分布列． 依题意，P(X＝1)＝，P(X＝0)＝1－＝. 故随机变量X的分布列为 X 0 1 P $$