7.1.1 条件概率（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修3（人教A版2019）

随机变量及其分布 7．1　条件概率与全概率公式 7．1.1　条件概率 第七章 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 学习目标 1.结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系，会利用乘法公式计算概率，能计算简单随机事件的条件概率． 2．利用条件概率公式解决一些简单的实际问题． 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 A B 事件A 事件B 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 P(B|A)＝P(B) P(AB)＝P(A)P(B|A) 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 B 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 C 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 A 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 1 P(B|A)＋P(C|A) 1－P(B|A) 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 C 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 B 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 D 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 A 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 谢谢观看 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 1．试求P(A)，P(B)，P(AB)； 2．任取一件产品，已知其质量合格(即B发生)，求它的长度也合格(即在B发生的条件下A发生)的概率； 3．在B发生的条件下A发生的概率与P(B)，P(AB)有怎样的关系？ 知识点一　条件概率 100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的质量合格，85件产品的长度和质量都合格．令A＝{产品的长度合格}，B＝{产品的质量合格}，AB＝{产品的长度和质量都合格}． 1．条件概率公式 条件 设A，B为两个随机事件，且P(A)>0 含义 在事件__发生的条件下，事件__发生的条件概率 记作 P(B|A) 读作 ________发生的条件下，________发生的概率 计算 公式 (1)缩小样本空间法：P(B|A)＝； (2)公式法：P(B|A)＝ 2.条件概率与事件相互独立性的关系 当P(A)>0时，当且仅当事件A与B相互独立时，有_____________，此时P(AB)＝P(A)·P(B). 3．乘法公式 对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则___________________． (1)“条件概率”是当试验结果的一部分信息已知(即在原随机试验的条件上，再加上某事件发生的附加条件)，求另一事件在此条件下发生的概率． (2)通常情况下，事件B在事件A已发生这个附加条件下发生的概率与没有这个附加条件发生的概率是不同的． [例1] 判断下列几种概率中哪些是条件概率： (1)某校高中三个年级各派一名男生和一名女生参加市里的中学生运动会，每人参加一个不同的项目，已知一名女生获得冠军，则该名女生是高一的概率； (2)掷一枚骰子，求掷出的点数为3的概率； (3)在一副扑克的52张(去掉两张王牌后)中任取1张，已知抽到梅花的条件下，抽到的是梅花5的概率． 由条件概率的定义知，(1)(3)为条件概率． 判断条件概率的关键点 判断是不是条件概率关键看一个事件的发生是否是在另一个事件发生的条件下进行的． [练1] 下面几种概率是条件概率的是(　　) A．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，各投篮一次都投中的概率 B．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率 C．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率 D．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是，则小明在一次上学中遇到红灯的概率 由条件概率的定义知B为条件概率． 角度一：定义法求条件概率 [例2] 现有6个节目准备参加比赛，其中有4个舞蹈节目，2个语言类节目．如果不放回地依次抽取2个节目，求： (1)第1次抽到舞蹈节目的概率； (2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率； (3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率． 设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB. (1)从6个节目中不放回地依次抽取2个，总的事件数为 n(Ω)＝A＝30， 根据分步乘法计数原理，得n(A)＝A×A＝20. 所以P(A)＝＝＝. (2)因为n(AB)＝A＝12， 所以P(AB)＝＝＝. (3)方法一　由(1)(2)可得在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为 P(B|A)＝＝＝. 方法二　因为n(AB)＝12，n(A)＝20， 所以P(B|A)＝＝＝. 用定义法求条件概率P(B|A)的步骤 (1)分析题意，弄清概率模型； (2)计算P(A)，P(AB)或计算n(Ω)，n(A)，n(AB)； (3)代入公式求P(B|A)＝＝＝. [练2] (2024·盐城高二期中)从装有4个红球、2个白球的袋子中，不放回地依次抽取两个小球，在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为(　　) A． B． C． D． 记事件A表示“第一次取到白球”，事件B表示“第二次取到白球”， 则P(A)＝＝，P(AB)＝×＝， 故在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率P(B|A)＝＝＝. [练3] (2024·齐齐哈尔高二期末)2024年4月4日是我国的传统节日“清明节”．这天，王华的妈妈煮了五个青团子，其中两个肉馅，三个豆沙馅，王华随机拿了两个青团子，若已知王华拿到的两个青团子为同一种馅，则这两个青团子都为肉馅的概率为(　　) A． B． C． D． 设事件A为“王华拿到的两个青团子为同一种馅”，事件AB为“两个青团子都为肉馅”，则事件A包含的基本事件的个数为n(A)＝1＋C＝4，事件AB包含的基本事件的个数为n(AB)＝1，所以P(B|A)＝＝，故选A. 角度二：缩小样本空间法求条件概率 [例3] 集合A＝{1，2，3，4，5，6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率． 将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记作(a，b)，甲抽到奇数的样本点有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)，共15个样本点， 在这15个样本点中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，6)，共9个样本点，所以所求概率P＝＝. [变式探究1] 在本例条件下，求乙抽到偶数的概率． 在甲抽到奇数的样本点中，乙抽到偶数的有(1，2)，(1，4)，(1，6)，(3，2)，(3，4)，(3，6)，(5，2)，(5，4)，(5，6)，共9个，所以所求概率P＝＝. [变式探究2] 若甲先取(放回)，乙后取，若事件A：“甲抽到的数大于4”；事件B：“甲、乙抽到的两数之和等于7”，求P(B|A). 甲抽到的数大于4的样本点有(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共12个，其中甲、乙抽到的两数之和等于7的样本点有(5，2)，(6，1)，共2个．所以P(B|A)＝＝. 利用缩小样本空间法求条件概率的方法 (1)缩：将原来样本空间Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为事件AB. (2)数：数出A中事件AB所包含的样本点． (3)算：利用P(B|A)＝求得结果． [练4] 在一个袋子中装有5个乒乓球，其中3个新的、2个旧的，每次取一个，不放回地取两次，则在第一次取到新球的条件下，第二次取到新球的概率为________. 答案：　 设第1次取到新球为事件A，第2次取到新球为事件B，则P(B|A)＝＝＝. 知识点二　条件概率的性质 条件概率的性质 设P(A)＞0，则： (1)P(Ω|A)＝__； (2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝_____________； (3)设和B互为对立事件，则P(|A)＝_________． [例4] 在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，不放回地从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件，第二个球是黄球或黑球的概率． 方法一(定义法)　设“摸出第一个球为红球”为事件A，“摸出第二个球为黄球”为事件B，“摸出第二个球为黑球”为事件C. 则P(A)＝，P(AB)＝＝， P(AC)＝＝. 所以P(B|A)＝＝， P(C|A)＝＝. 所以P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝. 所以所求的条件概率为. 方法二(直接法)　因为n(A)＝1×C＝9， n(B∪C|A)＝C＋C＝5， 所以P(B∪C|A)＝. 所以所求的条件概率为. 复杂条件概率问题的处理策略 对于比较复杂的事件，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)即得所求的复杂事件的概率． [练5] 已知男人中有5%患色盲，女人中有0.25%患色盲，从100个男人和100个女人中任选一人． (1)求此人患色盲的概率； (2)如果此人是色盲，求此人是男人的概率． 设“任选一人是男人”为事件A，“任选一人是女人”为事件B，“任选一人是色盲”为事件C. (1)此人患色盲的概率 P(C)＝P(AC)＋P(BC) ＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B) ＝×＋×＝. (2)P(A|C)＝＝＝. 1．知识清单 (1)条件概率． (2)求条件概率的两种方法：定义法、缩小样本空间法． (3)乘法公式． (4)条件概率的性质． 2．方法归纳：定义法、缩小样本空间法、正难则反． 3．常见误区：分不清“在谁的条件下”求“谁的概率”． ◎随堂演练 1．已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(AB)等于(　　) A． B． C． D． 因为P(B|A)＝，所以P(AB)＝P(B|A)P(A)＝×＝. 2．(2024·连云港高二期末)抛掷一颗质地均匀的骰子，样本空间Ω＝，事件A＝，事件B＝，则P(A|B)＝(　　) A． B． C． D． 由题知，A∩B＝，P(B)＝，P(AB)＝＝， P(A|B)＝＝＝. 3．(2024·烟台高二期中)某地摊集中点在销售旺季的某天接纳顾客量超过1万人次的概率是，连续两天顾客量超过1万人次的概率是，在该地摊集中点在销售旺季的某天接纳顾客量超过1万人次的条件下，随后一天接纳的顾客量超过1万人次概率是(　　) A． B． C． D． 设“某天接纳顾客量超过1万人次”为事件A，“随后一天接纳的顾客量超过1万人次” 为事件B，则P(A)＝，P(AB)＝，P(B)＝＝＝，故选D. 4．(2024·昆明高二期末)已知事件A，B，C满足A，B是互斥事件，且P(A∪B|C)＝，P(BC)＝，P(C)＝，则P(A|C)＝(　　) A． B． C． D． 由题意，P(B|C)＝＝，由A，B是互斥事件知，P(A∪B|C)＝P(A|C)＋P(B|C)，所以P(A|C)＝P(A∪B|C)－P(B|C)＝－＝，故选A. $$