6.3.1 二项式定理（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修3（人教A版2019）

计数原理 6.3　二项式定理 6．3.1　二项式定理 第六章 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 B 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 D 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 A 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 谢谢观看 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 学习目标 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理． 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 知识点　二项式定理 用完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2的方法展开(a＋b)3，(a＋b)4， 1．上述两个等式的右侧有何特点？ 2．你能用组合的观点说明(a＋b)4是如何展开的吗？ 3．类比(a＋b)3，(a＋b)4的推导过程和组合的相关知识，你能得到(a＋b)n的展开式吗？ Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋C bn(n∈N*) 二项式定理及相关的概念 概念 (a＋b)n＝_________________________________________ __________称为二项式定理 二项式 系数 各项的系数C(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数 二项 式通项 Can－kbk叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即通项为展开式的第k＋1项：Tk＋1＝Can－kbk 二项 展开式 Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*) 备注 在二项式定理中，若设a＝1，b＝x，则得到公式：(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxk＋…＋Cxn 1．对二项展开式的理解 (1)各项的次数和都等于二项式的幂指数n. (2)字母a的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到为0，字母b的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为n. 2．对通项公式的两点说明 (1)通项公式Tk＋1＝Can－kbk是(a＋b)n的展开式中的第k＋1项，这里k＝0，1，…，n. (2)二项式(a＋b)n的第k＋1项Can－kbk和(b＋a)n的展开式的第k＋1项Cbn－kak是有区别的，应用二项式定理时，其中的a和b不能随便交换位置． [例1] (1)用二项式定理展开(2x－)5； (2)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1). (1)方法一　(2x－)5＝C(2x)5＋C(2x)4·(－)＋C(2x)3(－)2＋C(2x)2·(－)3＋C(2x)·(－)4＋C(－)5＝32x5－120x2＋－＋－. 方法二　(2x－)5＝＝·[C·(4x3)5·(－3)0＋C(4x3)4(－3)＋C(4x3)3·(－3)2＋C(4x3)2·(－3)3＋C(4x3)(－3)4＋C·(－3)5]＝32x5－120x2＋－＋－. (2)原式＝C(x－1)5＋C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2＋C(x－1)＋C(x－1)0－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1. 正用或逆用二项式定理解题的技巧 (1)展开二项式可以按照二项式定理进行．展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点． (2)对于较复杂的二项式，有时可考虑先化简再展开． (3)对于化简多个式子的和的问题，可以考虑二项式定理的逆用．这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数. [练1] (2024·宿州高二期中)－＋－…＋＝(　　) A．－ B． C．－ D． －＋－…＋＝(1－)10＝＝. [练2] (2024·温州高二月考)(1＋)5＋(1－)5＝______． 答案：82　 (＋1)5＝C10()5＋C11·()4＋C12·()3＋C13()2＋C14()1＋C15()0，(1－)5＝C10·(－)5＋C11·(－)4＋C12(－)3＋C13(－)2＋C14·(－)1＋C15(－)0， 可得两式和的结果为82. 综合应用　二项展开式通项公式的应用 角度一：二项式系数与项的系数 [例2] (1)求二项式(2－)6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数； (2)求(x－)9的展开式中x3的系数． (1)由已知得二项展开式的通项为Tk＋1＝C(2)6－k(－)k＝(－1)kC26－kx3－k，k＝0，1，2，…，6， 则T6＝－12x－. 故第6项的二项式系数为C＝6， 第6项的系数为(－1)C×2＝－12. (2)设展开式中的第k＋1项为含x3的项，则Tk＋1＝Cx9－k(－)k＝(－1)kCx9－2k，k＝0，1，2，…，9， 令9－2k＝3，解得k＝3， 则展开式中x3的系数为(－1)3×C＝－84. 即展开式中第四项含x3，其系数为－84. 二项式系数和项的系数的区别 (1)二项式系数都是组合数C(k∈{0，1，2，…，n})，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念． (2)第k＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C.例如，在(1＋2x)7的展开式中，第四项是T4＝C17－3(2x)3，其二项式系数是C＝35，而第四项的系数是C23＝280. 角度二：展开式中的特定项 [例3] (2024·南京高二期末)已知(3＋)n的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比为1∶3. (1)求n的值； (2)求展开式中所有的有理项． (1)因为(3＋)n的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比为1∶3， 所以＝，即＝，解得n＝7. (2)因为(3＋)7的展开式的第k＋1项为Tk＋1＝C(3)7－k()k＝C37－kx(k＝0，1，2，…，7)， 所以当∈Z时，k＝1，3，5，7， 所以(3＋)7的展开式中，有理项分别为 T2＝C36x2＝5 103x2，T4＝C34x－1＝2 835x－1， T6＝C32x－4＝189x－4，T8＝C30x－7＝x－7. 1．求二项展开式的特定项的常见题型 (1)求第k项，Tk＝Can－k＋1bk－1；(2)求含xk的项(或xpyq的项)；(3)求常数项；(4)求有理项． 2．求二项展开式的特定项的常用方法 (1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；(2)对于有理项，一般是先写出通项，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；(3)对于二项展开式中的整式项，其通项中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致． [练3] (2024·福州高二期中)(x＋)4的展开式中，常数项是(　　) A．81 B．32 C．24 D．8 C (x＋)4展开式的通项公式为Tk＋1＝Cx4－k·()k＝2kCx4－2k，k＝0，1，2，3，4. 令4－2k＝0，解得k＝2，则22C＝24，即展开式的常数项为24. D [练4] (2024·赤峰高三期中)在二项式(x＋)7的展开式中x的指数为整数的项的个数为(　　) A.1 B．2 C．3 D．4 该二项式展开为Tk＋1＝Cx()k＝C()kx，k＝0，1，2，3，4，5，6，7. 当k＝1，3，5，7时，x的指数为整数，共有4项． 1．知识清单 (1)二项式展开式的形成过程． (2)二项式定理的正用与逆用． (3)二项式通项公式的应用． 2．方法归纳：转化化归． 3．常见误区：二项式系数与系数的区别，Can－kbk是展开式的第k＋1项． ◎随堂演练 1．化简多项式(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1的结果是(　　) A．(2x＋2)5 B．2x5 C．(2x－1)5 D．32x5 原式＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5，故选D. 2．(2024·南开区高二期中)若(x＋a)5的二项式展开式中x2的系数为10，则a＝(　　) A．1 B．－1 C．±1 D．±2 由(x＋a)5的通项公式可知二项式展开式中x2的系数为Ca3， 则得Ca3＝10，解得a＝1. 3．(x3－)4的展开式中常数项是________． 答案：－4　 Tr＋1＝C(x3)4－r(－x－1)r＝(－1)rC·x12－4r，r＝0，1，2，3，4.令12－4r＝0，解得r＝3，所以常数项为C·(x3)1·(－)3＝－4. 4．(2024·黄浦区高二期中)在 (x＋y)20的展开式中，系数为有理数的项共有________项． 答案：6　 由题意知，(x＋y)20展开式的通项公式为Tk＋1＝Cx20－k(y)k＝3Cx20－kyk，k＝0，1，2，…，20. 当(0≤k≤20，k∈N)为整数时，3Cx20－kyk为有理项， 所以k＝0，4，8，12，16，20，即(x＋y)20展开式中系数为有理数的项共有6个． $$