6.3.1 二项式定理（分层作业，5基础+能力&3拓展提升题型）高二数学人教A版选择性必修第三册

6.3 二项式定理 6.3.1 二项式定理 题型一 求二项展开式 1．（24-25高二下·北京通州·期中）二项式的展开式为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·江1．（2025高二·全国·专题练习）若（a，b为有理数），则（    ） A．44 B．32 C．28 D．52 3．（24-25高二下·贵州贵阳·月考）化简，其结果等于（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·广东深圳·开学考试）的值为 ． 题型二 二项展开式的特定项问题 1．（2026·云南大理·二模）二项式的展开式的第四项为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·广东汕头·期末）的展开式的中间一项是（    ） A．20 B． C． D． 3．（25-26高三上·湖北襄阳·期末）在的展开式中存在常数项，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（24 -25高二下·江苏连云港·期末）若的展开式中第4项是常数项，则n的值为（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 5．（25-26高三上·广东·月考）若的展开式中第4项为160，则 . 6．（2025高二·全国·专题练习）已知二项式. (1)求展开式的第4项； (2)求展开式中的有理项； (3)求展开式中的常数项. 题型三 二项展开式项的系数（二项式系数）问题 1.（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）在的展开式中，含的项的二项式系数为（   ） A．6 B．16 C．24 D．216 2．（25-26高三上·北京·月考）在的展开式中，的系数为（    ）． A． B．8 C． D．48 3．（2025·湖南长沙·三模）二项式的展开式中第5项的系数为（    ） A．252 B．-252 C．210 D．-210 4．（25-26高三上·浙江绍兴·期末）已知的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等，则 . 5．（25-26高三上·河南漯河·期末）的展开式中的系数为720，则 . 6．（2026·湖南常德·一模）的展开式中含的项的系数是80，则实数的值为 . 题型四 三项展开式问题 ·．（25-26高三上·四川成都·月考）在的展开式中，的系数为（    ） A．15 B．45 C．60 D．90 2．（2026高三·全国·专题练习）的展开式中的系数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 3．（25-26高三上·辽宁沈阳·期中）的展开式中，的系数为 .（用数值作答） 4．（2025高二·全国·专题练习）（1）在的展开式中，含的项为 ． （2）在的展开式中，的系数为 ． 题型五 因式之积的展开式问题 1．（24-25高三下·福建厦门·期末）的展开式中的系数为（   ） A．－60 B．－80 C．100 D．120 2．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C．3 D．8 3．（2026·安徽淮北·一模）代数式的展开式中的系数为 ． 4．（25-26高三上·河北衡水·期末）的展开式中的系数为 . 1·．(多选)（25-26高二上·江西宜春·期末）的展开式中的有理项有（  ） A．1 B． C． D． 2．（2025·江苏南通·模拟预测）已知的展开式中的系数为0，则a的值为（    ） A． B．160 C． D．960 3.（2026·高二·湖南长沙·开学考试）已知的展开式中的系数为12，则实数的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 4．（25-26高三上·天津和平·月考）若的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则该二项式的展开式中常数项为（   ） A．90 B．-90 C．180 D．-180 5．（2025高三上·广东深圳·专题练习）一组数据按照从小到大的顺序排列为0，2，4，5，6，8，记这组数据的上四分位数为，则二项式展开式的有理项共（    ）项 A．3 B．4 C．5 D．6 6．（2025高三·全国·专题练习）设复数（是虚数单位），则（    ） A．0 B． C． D． 7．（25-26高三上·陕西西安·期末）已知的展开式中，的系数记为，则 . 8．（25-26高三上·江苏苏州·月考）若展开式中的系数为，则 . 9．（24-25高二下·河北沧州·期末）已知在展开式中含的项的系数为51，则正实数a的值为 ． 10．（25-26高三上·河南郑州·期中）在的展开式中按的升幂排列的第3项是 ． 11．（24-25高二下·甘肃兰州·期中）若在关于的展开式中，常数项为4，则的系数是 . 12．（25-26高二·全国·假期作业）已知在的展开式中，第项的二项式系数与第项的二项式系数的比是. (1)求； (2)求展开式中所有的有理项. 13．（2025高三·全国·专题练习）求证：． 题型一 整除和余数问题 1．（25-26高三上·内蒙古赤峰·期末）已知等比数列中，，若将除以7所得余数记为，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．5 2．（2026·江苏镇江·模拟预测）若能被7整除，则的一个值可能为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 3．（25-26高二上·辽宁大连·期末）《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学著作，书中的“中国剩余定理”对同余除法进行了深入的研究．现给出一个同余问题：如果和除以所得的余数相同，那么称和对模同余，记为（mod）．若，（mod），则值可以是（       ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 题型二 近似计算问题 1．（24-25高二下·安徽·期中）的小数点后第三位数字为（ ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）的第一位小数为，第二位小数为，第三位小数为，则分别为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·山东临沂·期中）二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿提出．二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数，，当比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得：，并且的值越小，所得结果就越接近真实数据．用这个方法计算的近似值，可以这样操作：．用这样的方法，估计的近似值约为（    ） A．2.015 B．2.023 C．2.031 D．2.083 题型三 求二项展开式项的系数的最值 1．（24-25高二下·江苏南通·月考）已知的展开式中，第3项与第5项的二项式系数相等， (1)求； (2)求展开式的常数项； (3)求展开式中系数最大的项． 2．（25-26高二·全国·课后作业）在的展开式中， （1）求系数的绝对值最大的项； （2）求二项式系数最大的项； （3）求系数最大的项； （4）求系数最小的项． 8 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3 二项式定理 6.3.1 二项式定理 题型一 求二项展开式 1．（24-25高二下·北京通州·期中）二项式的展开式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】二项式， . 故选：B 2．（2026·江1．（2025高二·全国·专题练习）若（a，b为有理数），则（    ） A．44 B．32 C．28 D．52 【答案】A 【解析】利用二项式定理展开，得 ， ，， 即， 故选：． 3．（24-25高二下·贵州贵阳·月考）化简，其结果等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设． 根据组合数的性质，则． 由二项式定理可知， 即． 那么， 因为，所以． 即，则． 故选：A． 4．（24-25高三上·广东深圳·开学考试）的值为 ． 【答案】0 【解析】． 题型二 二项展开式的特定项问题 1．（2026·云南大理·二模）二项式的展开式的第四项为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】二项式的通项为， 则． 故选：A. 2．（25-26高三上·广东汕头·期末）的展开式的中间一项是（    ） A．20 B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意展开共有7项，中间一项是第4项， 所以. 故选：B 3．（25-26高三上·湖北襄阳·期末）在的展开式中存在常数项，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】由二项式的展开式的通项， 令，得，因为，所以的最小值为. 故选：B. 4．（24 -25高二下·江苏连云港·期末）若的展开式中第4项是常数项，则n的值为（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【解析】展开式的通项为， 令可得为常数项，可得，可得， 故选：C. 5．（25-26高三上·广东·月考）若的展开式中第4项为160，则 . 【答案】 【解析】的展开式中第4项为， 所以，解得. 6．（2025高二·全国·专题练习）已知二项式. (1)求展开式的第4项； (2)求展开式中的有理项； (3)求展开式中的常数项. 【解析】（1）的二项展开式通项是： ， 当时，展开式的第4项为. （2）由（1）知 的二项展开式通项是， 有理项是使变量的指数为整数的项，故只需，且， 解得，因此有理项分别为： ， ， ， . （3）由（1）知 的二项展开式通项是， 常数项即为变量的指数为0的项，令，解得， 因此常数项为. 题型三 二项展开式项的系数（二项式系数）问题 1.（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）在的展开式中，含的项的二项式系数为（   ） A．6 B．16 C．24 D．216 【答案】A 【解析】由题可知：的项的二项式系数为， 故选：A． 2．（25-26高三上·北京·月考）在的展开式中，的系数为（    ）． A． B．8 C． D．48 【答案】A 【解析】的展开式的通项公式为， 令，解得， ， 的系数为，故A正确． 故选：A． 3．（2025·湖南长沙·三模）二项式的展开式中第5项的系数为（    ） A．252 B．-252 C．210 D．-210 【答案】C 【解析】二项式展开式的通项公式， 当时，第5项系数为210． 故选：C. 4．（25-26高三上·浙江绍兴·期末）已知的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等，则 . 【答案】6 【解析】由题得，所以， 故答案为：. 5．（25-26高三上·河南漯河·期末）的展开式中的系数为720，则 . 【答案】2 【解析】二项式展开式的通项公式为， 所以当时，展开式中的系数为. 6．（2026·湖南常德·一模）的展开式中含的项的系数是80，则实数的值为 . 【答案】1 【解析】展开式的通项公式， 令，得，依题意有，解得. 题型四 三项展开式问题 1．（25-26高三上·四川成都·月考）在的展开式中，的系数为（    ） A．15 B．45 C．60 D．90 【答案】B 【解析】的展开式为 ， 所以二项式展开式中含项为， 二项式展开式中含项的系数为45. 故选：B 2．（2026高三·全国·专题练习）的展开式中的系数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【解析】的通项公式， 令，则，所以的系数为 故选：B 3．（25-26高三上·辽宁沈阳·期中）的展开式中，的系数为 .（用数值作答） 【答案】 【解析】由于表示5个因式的乘积， 故其中有2个因式取，2个因式取，剩余的一个因式取，可得含的项， 故展开式中含的项为，其系数为. 4．（2025高二·全国·专题练习）（1）在的展开式中，含的项为 ． （2）在的展开式中，的系数为 ． 【答案】 30 【解析】（1）解法1：， 二项式的通项为， 令，则，可求得含的项为. 解法2：， 则通项为， 令，即时，可求得含的项为． 解法3：表示4个相乘，每个相乘时有三种选择， 选x或或． 设选a个， b个，则选的有个，其中， 相乘后x的次数为， 由，解得或， 即在4个相乘时，选2个x、2个，或选3个x、1个， 故含的项为． （2）解法1：，含的项为， 其中，中含的项为，所以的系数为． 解法2：为5个相乘，每个相乘时有三种选择， 选或x或y． 设选a个，选b个，则选y的有个，其中， 根据次数关系可知，解得， 即选的有2个，选的有1个，则选y的有2个，所以的系数为． 题型五 因式之积的展开式问题 1．（24-25高三下·福建厦门·期末）的展开式中的系数为（   ） A．－60 B．－80 C．100 D．120 【答案】A 【解析】若中选取，则在的展开式中选取含的项，即，二者相乘得； 若中选取，则在的展开式中选取含的项，即，二者相乘得， 故的展开式中的系数为20－80＝－60, 故选： A． 2．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C．3 D．8 【答案】B 【解析】因为含的项是由的6项中取5个x，取1个常数，所以的系数为.故选：B． 3．（2026·安徽淮北·一模）代数式的展开式中的系数为 ． 【答案】 【解析】第一步， 中的和的展开式的常数项相乘为的展开式中的项， 即； 第二步， 中的和的展开式的的项相乘为的展开式中的项， 即； 则的展开式中的项为，系数为. 4．（25-26高三上·河北衡水·期末）的展开式中的系数为 . 【答案】 【解析】， 其中的通项为， 当 时，，乘以 ，得到的系数为5； 当 时，，乘以 ，得到的系数为 ； 所以的展开式中的系数为 . 1．(多选)（25-26高二上·江西宜春·期末）的展开式中的有理项有（  ） A．1 B． C． D． 【答案】ABD 【解析】的展开式通项为， 由可得， 所以展开式中的有理项有：． 故选：ABD． 2．（2025·江苏南通·模拟预测）已知的展开式中的系数为0，则a的值为（    ） A． B．160 C． D．960 【答案】B 【解析】的展开式中的项为 的展开式中的项为 因此的展开式中的系数为，故， 故选：B 3.（2026·高二·湖南长沙·开学考试）已知的展开式中的系数为12，则实数的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【解析】因为， 由的展开式通项为，含的项包含了和两项， 所以含的项为， 所以，可得. 故选：D. 4．（25-26高三上·天津和平·月考）若的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则该二项式的展开式中常数项为（   ） A．90 B．-90 C．180 D．-180 【答案】C 【解析】由题意可知，二项式的展开式中一共有11项，所以， 设展开式第项为常数项，则， ， ， 该二项式的展开式中常数项为， 故选：C. 5．（2025高三上·广东深圳·专题练习）一组数据按照从小到大的顺序排列为0，2，4，5，6，8，记这组数据的上四分位数为，则二项式展开式的有理项共（    ）项 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】“0，2，4，5，6，8”，这组数据共有6个数，所以， 所以这组数据的上四分位数为第5个数，即6. 二项式展开式的通项为：. 当分别取时，是整数，为有理项，所以共有4项. 它们分别是： 故选：B. 6．（2025高三·全国·专题练习）设复数（是虚数单位），则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【解析】由， 则 ． 故选：A. 7．（25-26高三上·陕西西安·期末）已知的展开式中，的系数记为，则 . 【答案】 【解析】由题可得： 故答案为： 8．（25-26高三上·江苏苏州·月考）若展开式中的系数为，则 . 【答案】 【解析】由题意可得，，展开式的通项公式为，所以含的项的系数为，则，即，解得. 故答案为：. 9．（24-25高二下·河北沧州·期末）已知在展开式中含的项的系数为51，则正实数a的值为 ． 【答案】1 【解析】由展开式中， 所以， 解得或（舍）． 故答案为： 10．（25-26高三上·河南郑州·期中）在的展开式中按的升幂排列的第3项是 ． 【答案】 【解析】易知，展开式中有常数项、一次项、二次项等，由题知，所求的项为项， 又的二项展开式的通项公式为， 的二项展开式的通项公式为， 故所求为. 11．（24-25高二下·甘肃兰州·期中）若在关于的展开式中，常数项为4，则的系数是 . 【答案】 【解析】， 其中展开式的通项为， 令，可得， 所以的常数项为， 令，可得，的的系数为， 令，可得，的的系数为， 所以的的系数为. 12．（25-26高二·全国·假期作业）已知在的展开式中，第项的二项式系数与第项的二项式系数的比是. (1)求； (2)求展开式中所有的有理项. 【解析】（1）依题意有，即， 整理可得，解得或（不合题意，舍去），所以的值为. （2）展开式通项为， 由题意得，则， 所以第项、第项与第项为有理项，它们分别为，，. 13．（2025高三·全国·专题练习）求证：． 【解析】设①， 把①式倒序排列得， 由，得②， ①②得， 所以，得证. 题型一 整除和余数问题 1．（25-26高三上·内蒙古赤峰·期末）已知等比数列中，，若将除以7所得余数记为，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【解析】由等比数列，所以，即， 所以， 由二项式定理可知的展开式中不含有7因子的只有最后一项， 所以除以7的余数为1，则除以7的余数为2， 即， 故选：B． 2．（2026·江苏镇江·模拟预测）若能被7整除，则的一个值可能为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】A 【解析】 ， 因为， 所以能被7整除， ， 所以能被7整除， 因此要想能被7整除，只需能被7整除. A：，，显然符合能被7整除； B：，，显然不符合能被7整除； C：，，显然不符合能被7整除； D：，，显然不符合能被7整除； 故选：A 3．（25-26高二上·辽宁大连·期末）《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学著作，书中的“中国剩余定理”对同余除法进行了深入的研究．现给出一个同余问题：如果和除以所得的余数相同，那么称和对模同余，记为（mod）．若，（mod），则值可以是（       ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】C 【解析】 因能被整除， 故除以余数为， 所以除以余数为， 因为，所以，，， 又（mod），所以值可以是. 故选：C. 题型二 近似计算问题 1．（24-25高二下·安徽·期中）的小数点后第三位数字为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为 ， 因此，的小数点后第三位数字为. 故选：A. 2．（2025高三·全国·专题练习）的第一位小数为，第二位小数为，第三位小数为，则分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 故分别为. 故选：A. 3．（24-25高二下·山东临沂·期中）二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿提出．二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数，，当比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得：，并且的值越小，所得结果就越接近真实数据．用这个方法计算的近似值，可以这样操作：．用这样的方法，估计的近似值约为（    ） A．2.015 B．2.023 C．2.031 D．2.083 【答案】C 【解析】． 题型三 求二项展开式项的系数的最值 1．（24-25高二下·江苏南通·月考）已知的展开式中，第3项与第5项的二项式系数相等， (1)求； (2)求展开式的常数项； (3)求展开式中系数最大的项． 【解析】（1）因为第3项与第5项的二项式系数相等，所以，解得. （2）由已知得， 其展开式的通项为，令，解得， 则展开式的常数项为. （3）由已知得展开式的通项为， 则第项的系数为，设第项的系数最大， 则，解得， 因为是整数，所以， 此时系数最大的项为. 2．（25-26高二·全国·课后作业）在的展开式中， （1）求系数的绝对值最大的项； （2）求二项式系数最大的项； （3）求系数最大的项； （4）求系数最小的项． 【解析】由二项式定理可得的展开式的通项为． （1）设第项系数的绝对值最大． 则∴解得． 故系数绝对值最大的项是第6项和第7项． （2）二项式系数最大的项为中间项，即为第5项， 所以． （3）由（1）知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负数，第7项的系数为正数，则系数最大的项为． （4）由（1）知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负数，第7项的系数为正数，系数最小的项为． 【点睛】易错警示：（1）求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当为偶数时，中间一项的二项式系数最大． （2）求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得． 8 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $