6.2.4 组合数（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修3（人教A版2019）

计数原理 6.2.4　组合数 第六章 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 所有不同组合的个数 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 证 明 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 证 明 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 B C 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 A 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 A 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 C 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 B 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 谢谢观看 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 学习目标 1.掌握组合数定义并能推导组合数公式． 2．了解组合数的性质． 3．能运用组合数公式进行计算． 知识点一　组合数及组合数公式 从1，3，5，7中任取两个进行除法运算， 1．可以得到多少个不同的商？ 2．如何用分步乘法计数原理求商的个数？ 3．你能得出计算C的公式吗？ 组合数及组合数公式 组合数定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的__________________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数 符号 C 组合数 公式 乘积式 C＝ 阶乘式 C＝ 备注 规定：C＝1 [例1] (1)计算C－C·A； (2)证明：C＝C. (1)原式＝C－A＝－7×6×5＝210－210＝0. (2)C＝·＝＝C. [变式探究] 将本例(2)题改为求证：C＝C. 因为右边＝· ＝＝C＝左边， 所以左边＝右边，所以原等式成立． 组合数公式的两种形式的适用范围 组合数公式的乘积式主要适用于含具体数字的组合数的计算，阶乘式主要适用于含字母的组合数的有关变形及证明． [练1] (2024·南京高二期中)5C－8C＝(　　) A．C B．C C．0 D．C B 5C－8C＝5×－8×＝－＝＝＝C. 知识点二　组合数的性质 1．试用两种方法求：从a，b，c，d，e 5人中选出3人参加数学竞赛，2人参加英语竞赛，共有多少种选法？你有什么发现？你能得到什么结论吗？ 2．从含有队长的10名排球队员中选出6人参加比赛，共有多少种选法？ 3．在问题2中，若队长必须参加，有多少种选法？若队长不能参加有多少种选法？ 4．通过问题2，3，你得到什么结论？你能推广到一般结论吗？ 组合数的性质 (1)性质1：C＝； (2)性质2：C＝C＋C. (1)性质1反映了组合数的对称性．若m>，通常不直接计算C，而改为计算C，这样可以减少计算量． (2)①性质2的特点是左端下标为n＋1，右端下标都为n，相差1；左端的上标与右端上标的一个一样，右端的另一个上标比它们少1. ②体现了“含”与“不含”的分类思想． [例2] (1)若C＝C，则x＝(　　) A．－1　　　　　　 B．4 C．－1或4 D．1或5 (2)计算C＋C＋C＋…＋C的值为(　　) A．C B．C C．C－1 D．C－1 (1)由C＝C，得x－2＝2x－1或x－2＋2x－1＝9，解得x＝－1(不合题意，舍去)或x＝4. (2)C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C－C＝C＋C＋…＋C－1＝…＝C＋C－1＝C－1，故选C. 用组合数性质解题的思路 (1)性质1常用于简化组合数的计数； (2)性质2常用于组合式的化简，正用可将一个组合数化为两个组合数，反用则“合二为一”． [练2] 化简：C－C＋C＝________． 答案：0　 原式＝(C＋C)－C＝C－C＝0. [练3] 已知C－C＝C，求n的值． 根据题意，C－C＝C，变形可得， C＝C＋C， 由组合数的性质，可得C＝C，故8＋7＝n＋1，解得n＝14. 综合应用　组合数在实际问题中的应用 [例3] 现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名． (1)现要从中选2名去参加会议有多少种不同的选法？ (2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有多少种不同的选法？ (3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？ (1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C＝＝45. (2)可把问题分两类情况： 第1类，选出的2名是男教师有C种方法； 第2类，选出的2名是女教师有C种方法． 根据分类加法计数原理，共有C＋C＝21种不同选法． (3)从6名男教师中选2名的选法有C种，从4名女教师中选2名的选法有C种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法为C×C＝90种． 解答简单的组合问题的思路 (1)确定这件事是组合问题； (2)分析这件事是否需分类或分步完成； (3)结合两个计数原理利用组合数公式求出结果． [练4] 已知一个口袋里装有除颜色外完全相同的7个白球和1个红球，从中任取5个球． (1)共有多少种不同的取法？ (2)其中恰有1个红球，共有多少种不同的取法？ (3)其中不含红球，共有多少种不同的取法？ (1)从一个口袋里的8个球中任取5个球，不同取法的种数是C＝C＝＝56. (2)从口袋里的8个球中任取5个球，其中恰有1个红球，可以分两步完成： 第一步，从7个白球中任取4个白球，有C种取法； 第二步，把1个红球取出，有C种取法． 故不同取法的种数是CC＝C＝C＝35. (3)从口袋里任取5个球，其中不含红球，只需从7个白球中任取5个白球即可， 不同取法的种数是C＝C＝21. (3)从口袋里任取5个球，其中不含红球，只需从7个白球中任取5个白球即可， 不同取法的种数是C＝C＝21. 1．知识清单 (1)组合数与组合数公式． (2)组合数的两个性质． (3)组合数在实际问题中的应用． 2．方法归纳：分类讨论、直接法、间接法． 3．常见误区：不注意组合数中m与n的限制条件；计算中不能运用组合数性质． ◎随堂演练 1．(2024·盐城高二期中)求C＋C的值为(　　) A．9 B．18 C．24 D．30 C＋C＝＋＝9，故选A. 2．(2024·徐州高二期中)若C＝C，则n的值可以是(　　) A．10 B．12 C．13 D．15 根据组合数的性质，若C＝C，满足且n∈N*，解得8.5≤n≤17，n∈N*，且3＝17－n，或者3＋17－n＝n，解得n＝14或n＝10，只有A符合题意． 3．(2024·张家口高二期中)若2名教师教4个班，每人教2个班的分配方案有(　　) A．3种 B．4种 C．6种 D．8种 根据题意任选两个班给任意一位教师即可，故分配方案有C＝6种． 4．(2024·青岛高二期末)从4名男生和2名女生中选2人参加会议，要求至少有一名男生，则不同的安排方法有(　　) A．13种 B．14种 C．15种 D．16种 根据题意，从4名男生和2名女生中选2人参加会议，有C＝15种安排方法， 其中没有男生，即全部为女生的安排方法有C＝1种，则至少有一名男生的安排方法有15－1＝14种． $$