课时梯级训练(2) 两个计数原理的综合应用（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修3（人教A版2019）

课时梯级训练(2)　两个计数原理的综合应用 1．某城市的电话号码由七位升为八位(首位数字均不为零)，则该城市可增加的电话部数是(　　) A．9×8×7×6×5×4×3×2 B．8×97 C．9×107 D．8.1×107 D　解析：电话号码是七位数字时，该城市可安装电话9×106部，同理升为八位时为9×107部，所以可增加的电话部数是9×107－9×106＝8.1×107. 故选D. 2．(2024·重庆渝中高二期中)用5种不同颜色给如图所示的五个圆环涂色，要求相交的两个圆环不能涂相同的颜色，不同的涂色方案种数为(　　) A．1 140 B．1 520 C．1 400 D．1 280 D　解析：从左到右依次涂色(也可以任选一个环作为开始)，第一个圆环有5种选择， 第二个圆环以及后面每个圆环均有4种选择，所以种数为5×4×4×4×4＝1 280，故选D. 3．(多选)从集合{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}中任取两个互不相等的数 a，b 组成复数 a＋bi，下列说法错误的有(　　) A．其中虚数有30 个 B．其中虚数有42个 C．其中虚数有36个 D．其中虚数有35个 ABD　解析：要完成这件事可分两步，第一步确定b(b≠0)有 6 种方法，第二步确定a有6种方法，由分步乘法计数原理知共有6×6＝36 个虚数. 故选ABD. 4．(多选)已知函数y＝ax2＋bx＋c，其中a，b，c∈{0，1，2，3，4}，则不同的二次函数的个数可以用式子表示为(　　) A．4×5×5 B．5×5×5 C．4×4＋4×4＋4×4×4＋4 D．5×4×3 AC　解析：方法一　由分步乘法计数原理得，a有4种选择，b有5种选择，c也有5种选择，共有4×5×5个不同的二次函数． 方法二　由题意可得a≠0，可分以下几类， 第1类，b＝0，c≠0，此时a有4种选择，c也有4种选择，共有4×4＝16个不同的二次函数； 第2类，c＝0，b≠0，此时a有4种选择，b也有4种选择，共有4×4＝16个不同的二次函数； 第3类，b≠0，c≠0，此时a，b，c都各有4种选择，共有4×4×4＝64个不同的二次函数； 第4类，b＝0，c＝0，此时a有4种选择，共有4个不同的二次函数. 由分类加法计数原理，可确定不同的二次函数共有16＋16＋64＋4个． 5．如图，一只蚂蚁从点A出发沿着水平面的线条爬行到点C，再由点C沿着置于水平面的长方体的棱爬行至顶点B，则它可以爬行的不同的最短路径有________条． 答案：60　解析：蚂蚁从A到C需要走五段路，其中三纵二横，共有10条路径，从C到B共有3×2＝6条路径，根据分步乘法计数原理可知，蚂蚁从A到B可以爬行的不同的最短路径有10×6＝60条． 6．(2024·清远高二期中)用1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位数，其中比2 000大的偶数共有________个． 答案：8　解析：比2 000大，故千位为2，3，4， 若千位为2，则个位为4，有2×1＝2个符合题意的四位数； 若千位为3，则个位为2或4，有2×2×1＝4个符合题意的四位数； 若千位为4，则个位为2，有2×1＝2个符合题意的四位数． 根据分类加法计数原理得，一共有2＋4＋2＝8个符合题意的四位数． 7．由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字可组成个位数字大于十位数字的两位偶数为__________个． 答案：16　解析：由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字可组成的个位数字大于十位数字的两位偶数分以下四类： (1)个位数字是2的有1个：12； (2)个位数字是4的有3个：14，24，34； (3)个位数字是6的有5个：16，26，36，46，56； (4)个位数字是8的有7个：18，28，38，48，58，68，78. 所以由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字可组成的个位数字大于十位数字的两位偶数共有1＋3＋5＋7＝16个． 8．四色定理又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一．它是于1852年由毕业于伦敦大学的格斯里提出来的，其内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色”．某校数学兴趣小组在研究给四棱锥P­ABCD的各个面涂颜色时，提出如下的“四色问题”：要求相邻面(含公共棱的面)不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的涂法有(　　) A．36种 B．72种 C．48种 D．24种 B　解析：依次涂色，底面ABCD的涂色有4种选择，侧面PAB的涂色有3种选择，侧面PBC的涂色有2种选择．①若侧面PCD与侧面PAB所涂颜色相同，则侧面PAD的涂色有2种选择；②若侧面PCD与侧面PAB所涂颜色不同，则侧面PCD的涂色有1种选择，侧面PAD的涂色有1种选择．综上，不同的涂法种数为4×3×2×(1×2＋1×1)＝72. 故选B. 9．某班元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法的种数为________． 答案：42　解析：将第一个新节目插入5个节目排成的节目单中有6种插入方法，再将第二个新节目插入到刚排好的6个节目排成的节目单中有7种插入方法，利用分步乘法计数原理，共有6×7＝42种插入方法． 10．(2024·唐山高二期中)在如图所示的5个区域内种植花卉，每个区域种植1种花卉，且相邻区域种植的花卉不同，若有6种不同的花卉可供选择，则不同的种植方法种数为________． 答案：1 920　解析：如图， 设5个区域分别是A，B，C，D，E. 第一步：选择1种花卉种植在A区域，有6种方法可以选择； 第二步：从剩下的5种不同的花卉中选择1种种植在B区域，有5种方法可以选择； 第三步：从剩下的4种花卉中选择1种种植在C区域，有4种方法可以选择； 第四步：若区域D与区域A种植同1种花卉，则区域E可选择的花卉有4种； 若区域D与区域A种植不同种花卉，则有3种方法可以选择，则区域E可选择的花卉有4种，故不同的种植方法种数为6×5×4×(1×4＋3×4)＝1 920. 11．用n种不同颜色为下面两块广告牌着色(如图所示)，要求在A，B，C，D四个区域中相邻(有公共边的)区域不用同一种颜色． (1)若n＝6，为图①着色时共有多少种不同的方法？ (2)若为图②着色时共有120种不同的方法，求n. 解：(1)分四步：第1步涂A有6种不同的方法，第2步涂B有5种不同的方法，第3步涂C有4种不同的方法，第4步涂D有4种不同的方法．根据分步乘法计数原理，共有6×5×4×4＝480种不同的方法． (2)由题意，得n(n－1)(n－2)(n－3)＝120，注意到n∈N*，可得n＝5. 学科网（北京）股份有限公司 $$