6.2.3 组合（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修3（人教A版2019）

计数原理 6.2.3　组　合 第六章 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 不同元素 元素相同 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 B 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 谢谢观看 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 学习目标 1.通过实例，理解组合的概念，正确认识组合与排列的区别与联系． 2．会用组合知识解决一些简单的组合问题． 知识点　组合的概念 某同学五一到石城旅游，要从4处景点A，B，C，D中选择2处，上午选一处，下午选一处，有多少种不同的旅游方案？如果仅从4处景点A，B，C，D中选择2处，又有多少种不同的旅游方案呢？ 组合的相关概念 (1)定义：一般地，从n个________中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． (2)两个组合相同的条件：两个组合只要________，不论元素的顺序如何，都是相同的． (1)组合的特点：组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是不同的，即从n个不同元素中进行m次不放回地取出． (2)组合的特性：元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，亦即元素没有位置的要求． [例1] 判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，共进行多少场次？ (2)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？ (3)从10个人中选出3个代表去开会，有多少种选法？ (4)从10个人中选出3个不同学科的科代表，有多少种选法？ (1)因为每两个队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别，所以是组合问题． (2)因为甲队获得冠军、乙队获得亚军，与乙队获得冠军、甲队获得亚军是不一样的，与顺序有关，所以是一个排列问题． (3)因为三个代表之间没有顺序的区别，所以这是一个组合问题． (4)因为三个人中，担任哪一科的科代表是有顺序区别的，所以这是一个排列问题． 区分排列与组合的方法 (1)区分排列与组合的方法是首先弄清楚事件是什么，然后看有无顺序； (2)区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个对象的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题． [练1] 判断下列问题是排列问题，还是组合问题． (1)从1，2，3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？ (2)从1，2，3，…，9这九个数字中任取3个，然后把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有多少个？ (3)从a，b，c，d四名学生中选两名去完成同一份工作，有多少种不同的选法？ (1)当取出3个数字后，如果改变3个数字的顺序，会得到不同的三位数，此问题不但与取出元素有关，而且与元素的安排顺序有关，是排列问题． (2)取出3个数字之后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其和均不变，此问题只与取出元素有关，而与元素的安排顺序无关，是组合问题． (3)选出的两名学生完成的是同一份工作，没有顺序，是组合问题． 综合应用一　列举简单问题中的组合 [例2] 已知A，B，C，D，E五个元素，写出每次取出3个元素的所有组合． 方法一　可按AB→AC→AD→BC→BD→CD顺序写出，即 所以所有组合为ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE. 方法二　画出树状图，如图所示． 由此可以写出所有的组合为ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE. (1)写出从n个不同元素中选出m(m≤n)个元素的所有组合的两种方法：从n个不同元素中选出m(m≤n)个元素的组合，可借助本例所示的“顺序后移法”(如方法一)或“树状图法”(如方法二)，直观地写出组合，做到不重复、不遗漏． (2)两个注意点：一是注意利用“顺序后移法”时箭头向后逐步推进，且写出的一个组合不可交换位置．如写出ab后，不必再交换位置为ba，因为它们是同一组合． 二是画“树状图”时，应注意顶层及下枝的排列思路，防止重复或遗漏． [练2] 在A，B，C，D四位候选人中． (1)如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果； (2)如果选举两人负责班级工作，共有几种选法？写出所有可能的选举结果． (1)从四位候选人中选举正、副班长各一人是排列问题，有A＝12种选法，所有可能的选举结果为AB，AC，AD，BC，BD，CD，BA，CA，DA，CB，DB，DC. (2)从四位候选人中选举两人负责班级工作是组合问题，所有可能的选举结果为AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种选法． 综合应用二　简单的组合问题 [例3] 某城市纵向有6条道路，横向有5条道路，构成如图所示的矩形道路网(图中黑线表示道路)，试设计选取从西南角的A地到东北角的B地的最短路线的一个方案． 要使路线最短，只能向右或向上走，途中不能向左或向下走．因此，从A地到B地归结为走完5条横线段和4条纵线段．设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段，分两步完成： 第1步，从9个行走时段中任取4个时段走纵线段，即从9个不同元素中，选出4个元素的一个组合； 第2步，从剩余5个时段走横线段，即从剩余的5个元素中选取5个元素的一个组合． 最后将两步得到的结果合在一起． 组合问题有关设计方案的解题策略 (1)先确定是分类完成还是分步完成； (2)完成各步或各类的选取方法； (3)如果分类，其中一种方法就是一个方案；如果分步，将每步合在一起就是一个方案． [练3] 某校开设9门课程供学生选修，其中A，B，C这3门由于上课时间相同，至多选1门．学校规定，每位同学选修4门，请你为一名同学设计一个选课方案，并回答这是一个排列问题还是一个组合问题． 可分类完成选课这件事： 第1类是不选A，B，C这3门课，即从其他6门课中任意选出4门课即可，这是一个组合问题； 第2类是分两步选课，第1步是在A，B，C这3门课中选1门，第2步是在其他6门课中选3门，这也是一个组合问题． 1．知识清单 (1)组合的概念． (2)列举简单问题中的所有或部分组合． (3)与组合有关的简单问题． 2．方法归纳：“顺序后移法”“树状图法”． 3．常见误区：分不清“排列”还是“组合”． ◎随堂演练 1．从5名同学中推选4人参加比赛，则不同的推选方法种数是(　　) A．10 B．5 C．4 D．1 组合问题，可从对立面考虑，选出一人不参加比赛即可，故有5种方法． 2．为参加学校运动会，某班要从甲，乙，丙，丁四位女同学中随机选出两位同学担任护旗手，列举出所有的选法，并求甲同学被选中的方法种数． 从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2位担任护旗手，所有的选法为甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁．其中甲同学被选中的方法种数为3. 3．现有3本不同的数学书，2本不同的语文书，从中任意取出2本，列举出所有的选法，并求取出的书恰好都是数学书的方法种数． 记3本不同的数学书为A1，A2，A3，2本不同的语文书为B1，B2， 所有的选法为A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2. 其中恰好都是数学书的方法种数为3. $$