课时梯级训练(1) 两个计数原理及其简单应用（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修3（人教A版2019）

课时梯级训练(1)　两个计数原理及其简单应用 1．某体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练习跑步，则他进、出门的方案有(　　) A．7种 B．14种 C．21种 D．49种 D　解析：学生进门有3＋4＝7种选择，同样出门也有7种选择，由分步乘法计数原理知，他进、出门的方案有7×7＝49种．故选D. 2．有5个不同的棱柱、3个不同的棱锥、4个不同的圆台、2个不同的球，若从中取出2个几何体，使多面体和旋转体各一个，则不同的取法种数为(　　) A．14 B．23 C．48 D．120 C　解析：分两步：第1步，取多面体，由分类加法计数原理知有5＋3＝8种不同的取法；第2步，取旋转体，由分类加法计数原理知有4＋2＝6种不同的取法. 所以由分步乘法计数原理知不同的取法种数为8×6＝48. 3．已知直线方程Ax＋By＝0，若从0，1，2，3，5，7这6个数字中每次取两个不同的数作为A，B的值，则可表示出的不同直线的条数为(　　) A．19 B．20 C．21 D．22 D　解析：当A或B中有一个为零时，则可表示出2条不同的直线；当AB≠0时，A有5种选法，B有4种选法，则可表示出5×4＝20条不同的直线. 由分类加法计数原理知，共可表示出20＋2＝22条不同的直线． 4．(2024·长沙高二期末)一个口袋内装有4个小球，另一个口袋内装有3个小球，所有这些小球的颜色互不相同，从两个口袋内分别取一个小球，则不同的取法种数为(　　) A．7 B．16 C．9 D．12 D　解析：由题意，从两个袋子中分别取1个球， 分两步进行： 第一个口袋内取一个球有4种取法，另一个口袋内取一个球有3种取法， 根据分步乘法计数原理得到，从两个口袋内分别取1个小球， 共有4×3＝12种取法． 5．(2024·滨州高二期中)由0，1，2，3，4，5这六个数字组成没有重复数字的三位偶数共有(　　) A．20个 B．32个 C．40个 D．52个 D　解析：按偶数字在个位分类：个位是2或者4时，0不能在百位，故百位有4个数字选择，十位在余下4个数字中选择，所以有2×4×4＝32个无重复数字的三位偶数；个位是0时，百位、十位没有限制，可在余下5个数字中各选择1个，所以有5×4＝20个无重复数字的三位偶数，由分类加法计数原理知，共有32＋20＝52个没有重复数字的三位偶数． 6．一种号码拨号锁有4个拨号盘，每个拨号盘上都有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成________个四位数的号码． 答案：10 000　解析：按从左到右的顺序拨号可以分四步完成： 第1步，有10种拨号方式，第2步，有10种拨号方式，第3步，有10种拨号方式，第4步，有10种拨号方式. 根据分步乘法计数原理，共可以组成10×10×10×10＝10 000个四位数的号码． 7．(2024·广州高二期末)我省某农业经济部门派4位专家各自在周一、周二两天中任选一天对某县进行调研活动的种数为______，周一、周二都有专家参加调研活动的种数为______． 答案：16　14　解析：1位专家选择调研活动的时间有2种方法，因此4位专家任选一天进行调研活动的种数为24＝16； 周一或周二没有专家进行调研活动有2种，所以周一、周二都有专家参加调研活动的种数为16－2＝14. 8. (多选)现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画，则下列说法正确的有(　　) A．从中任选一幅画布置房间，有14种不同的选法 B．从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有70种不同的选法 C．从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有59种不同的选法 D．要从5幅不同的国画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有9种不同的挂法 ABC　解析：对于A项，从国画中选一幅有5种不同的选法，从油画中选一幅有2种不同的选法，从水彩画中选一幅有7种不同的选法，由分类加法计数原理知，共有5＋2＋7＝14种不同的选法，所以A项正确；对于B项，从这些国画、油画、水彩画中各选一幅分别有5种、2种、7种不同的选法，根据分步乘法计数原理知，共有5×2×7＝70种不同的选法，所以B项正确；对于C项，若一幅选自国画，一幅选自油画，则有5×2＝10种不同的选法；若一幅选自国画，一幅选自水彩画，则有5×7＝35种不同的选法；若一幅选自油画，一幅选自水彩画，则有2×7＝14种不同的选法，由分类加法计数原理，可得共有10＋35＋14＝59种不同的选法，所以C项正确；对于D项，从5幅国画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第一步，从5幅画中选1幅挂在左边墙上，有5种选法；第二步，从剩下的4幅画中选1幅挂在右边墙上，有4种选法，根据分步乘法计数原理知，不同挂法的种数是5×4＝20，所以D项错误．故选ABC. 9．(多选)(2024·营口高二期末)现有不同颜色的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是(　　) A．从中任选1个球，有15种不同的选法 B．每种颜色选出1个球，有120种不同的选法 C．选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法 D．不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法 ABD　解析：若从中任选1个球，有4＋5＋6＝15种不同的选法，则A选项正确； 若每种颜色选出1个球，有4×5×6＝120种不同的选法，则B选项正确； 若要选出不同颜色的2个球，有4×5＋5×6＋4×6＝74种不同的选法，则C选项错误； 若要不放回地依次选出2个球，有15×14＝210种不同的选法，则D选项正确． 10．某班同学准备了甲、乙、丙等5个节目参加班级音乐会活动．节目顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，则在这次活动中节目顺序的编排方案共有________种． 答案：10　解析：由题意知甲的位置影响乙的排列，所以要分两类： ①甲排在第一位，丙排在最后一位，则其余3个节目共有3×2×1＝6种编排方案； ②甲排在第二位，丙排在最后一位，从第三、四位中排乙，其余2个节目排在剩下的2个位置，共有2×2×1＝4种编排方案． 根据分类加法计数原理知，编排方案共有6＋4＝10种． 11．现准备将6台型号相同的电脑分配给5所小学，其中A，B两所小学每个学校至少分配2台，其他小学允许1台也没有，求不同的分配方案共有多少种． 解：①先给A，B两所小学分配电脑，若每个学校2台，由于电脑型号相同，故只有1种情况，其次将剩余的2台电脑分给其他3所小学，若一所小学2台，其他的没有，有3种情况；若2所小学各1台，另一所小学没有，有3种情况，共有6种分配方案；②若A，B两所小学其中一所得3台，另一所2台，有2种情况，再将剩余的1台电脑分给其他3所小学，有3种情况，共3×2＝6种分配方案；③若给A，B两所小学各分配3台电脑，有1种分配方案；④若A，B两所小学其中一所得4台，另一所2台，有2种分配方案. 综上，共6＋6＋1＋2＝15种分配方案． 12．如图所示，在A，B间有四个焊接点①②③④，若焊接点脱落导致断路，则电路不通. 今发现A，B之间电路不通，求焊接点脱落的不同情况有多少种． 解：按照可能脱落的个数分类讨论．若脱落1个，则可能脱落的有①，④，共2种情况；若脱落2个，则可能脱落的有①④，②③，①②，①③，④②，④③，共6种情况；若脱落3个，则可能脱落的有①②③，①②④，②③④，①③④，共4种情况；若脱落4个，则只有①②③④全脱落这1种情况．综上，共有2＋6＋4＋1＝13种情况． 学科网（北京）股份有限公司 $$