6.2.2 第2课时 排列的综合应用（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修3（人教A版2019）

计数原理 6.2.2　排列数 第2课时　排列的综合应用 第六章 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 B 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 C 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 C 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 谢谢观看 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 学习目标 1.能应用排列数公式解决简单的实际问题． 2．掌握几种条件优先的排列问题的解法． 综合应用一　排队问题 [例1] 有3名男生、4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数． (1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置； (2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边； (3)全体排成一行，其中男生必须排在一起； (4)全体排成一行，男、女各不相邻； (5)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变； (6)排成前后两排，前排3人，后排4人． (1)(元素分析法)甲为特殊元素，故先安排甲，最左、最右、中间共三个位置可供甲选择，有A种排法，其余6人全排列，有A种排列方法． 由分步乘法计数原理得AA＝2 160种排列方法． (2)(位置分析法)先排最左边，除去甲外，有A种，余下的6个位置全排列有A种，但应剔除乙在最右边的排法数有AA种排法． 则符合条件的排法共有AA－AA＝3 720种． (3)(捆绑法)将男生看成一个整体，进行全排列有A种排法，把这个整体看成一个元素再与其他4名女生进行全排列有A种排法，共有AA＝720种排列方法． (4)(插空法)先排好男生，然后将女生插入排男生时产生的四个空位中，共有AA＝144种排列方法． (5)(定序排列用除法)第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为N；第二步，对甲、乙、丙进行全排列，则为7个人的全排列， 因此有A＝N×A，所以N＝＝840种排列方法． (6)(直接法)由已知，7人排在7个位置，与无任何限制的排列相同，有A＝5 040种排列方法． 解决排队问题的方法 (1)位置分析法：以位置为主，特殊(受限)的位置优先考虑． (2)元素分析法：以元素为主，先满足特殊(受限)元素的要求，再处理其他元素． (3)捆绑法：相邻问题可以采用捆绑的方法求解，将要求相邻的元素捆绑在一起作为一个整体，和余下的元素按照要求进行排列，最后解绑． (4)插空法：不相邻问题可以采用插空的方法求解，先将不相邻的元素拿出来，余下的元素按要求排列，找出满足要求的空，再将不相邻的元素插入． (5)顺序给定的元素的排列问题，只需考虑其余元素的排列即可. [练1] 甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是(　　) A． B． C． D． 画出树状图： 甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种排法，其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种，所以所求概率为＝，故选B. [练2] (2024·邯郸高二期中)为丰富广大人民群众文化生活，增强群众文化获得感、幸福感，2024年4月9日，由河北省群众文化学会主办的“‘双争’有我”盛世丹青大家绘在河北省群艺馆开展．此次展览中打算安排国画、油画、水彩画、插画、漫画五件艺术作品． (1)五件艺术作品的展出顺序共有多少种不同的安排方案？ (2)若要求第一件展出的艺术作品不能是国画，则五件艺术作品的展出顺序共有多少种不同的安排方案？ (3)若要求油画和插画的展出顺序相邻，则五件艺术作品的展出顺序共有多少种不同的安排方案？ (1)安排国画、油画、水彩画、插画、漫画五件艺术作品的展出顺序， 共有A＝120种不同的安排方案． (2)若要求第一件展出的艺术作品不能是国画，则从其余四件艺术作品中选一件排在第一个展出，则共有AA＝96种不同的安排方案． (3)若要求油画和插画的展出顺序相邻，则将这两件艺术作品捆绑在一起， 看作一件作品与其余三件艺术作品全排列，然后组内还需全排列， 故有AA＝48种不同的安排方案． 综合应用二　数字问题 [例2] 用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？ (1)六位奇数； (2)个位数字不是5的六位数； (3)不大于4 310的四位偶数． (1)第一步，排个位数，有A种排法； 第二步，排十万位，有A种排法； 第三步，排其他位，有A种排法． 故共有AAA＝288个六位奇数． (2)方法一(直接法)　十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此需分两类． 第一类，当个位排0时，有A个； 第二类，当个位不排0时，有AAA个． 故符合题意的六位数共有A＋AAA＝504个． 方法二(排除法)　0在十万位和5在个位的排列都不对应符合题意的六位数，这两类排列中都含有0在十万位和5在个位的情况． 故符合题意的六位数共有A－2A＋A＝504个． (3)分三种情况，具体如下： ①当千位上排1，3时，有AAA个． ②当千位上排2时，有AA个． ③当千位上排4时，形如40××，42××的偶数各有A个； 形如41××的偶数有AA个； 形如43××的偶数只有4 310和4 302这两个数． 所以不大于4 310的四位偶数有AAA＋AA＋2A＋AA＋2＝110个． [变式探究] 用0，1，3，5，7五个数字，可以组成多少个没有重复数字且5不在十位位置上的五位数． 本题可分两类：第一类：0在十位位置上，这时5不在十位位置上，所以五位数的个数为A＝24； 第二类：0不在十位位置上，这时，由于5不能排在十位位置上，所以，十位位置上只能排1，3，7中的一个，有A＝3种方法． 又由于0不能排在万位位置上，所以万位位置上只能排5或1，3，7被选作十位上的数字后余下的两个数字之一，有A＝3种． 十位、万位上的数字选定后，其余三个数字全排列即可，有A＝6种． 根据分步乘法计数原理得，第二类中所求五位数的个数为AAA＝54. 由分类加法计数原理得，符合条件的五位数共有24＋54＝78个． 数字问题常见的解题方法 (1)两优先排法：特殊元素优先排列，特殊位置优先填充. 如“0”不排首位． (2)分类讨论法：按照某一标准将排列分成几类，然后按照分类加法计数原理进行计算. 要注意以下两点：一是分类标准必须恰当；二是分类过程要做到不重不漏． (3)排除法：全排列数减去不符合条件的排列数． (4)位置分析法：按位置来进行讨论，把要求数字的每个数位排好． [练3] (2024·南京高二期中)用0，1，2，3，4，5这6个数字，求： (1)组成没有重复数字的四位偶数的个数； (2)组成无重复数字且大于4 000的自然数的个数． (1)分为两类，第一类，个位数是0时，前三位数共有A＝60种排法； 第二类，个位数是2或4时，千位数有4种选择，百位数和十位数共有A种排法， 由分步乘法计数原理可得，没有重复数字的四位偶数共有2×4×A＝96个， 综上可得，没有重复数字的四位偶数的个数为60＋96＝156. (2)四位数中千位数是4或5时，有AA＝120个， 五位数有AA＝600个，六位数有AA＝600个，120＋600＋600＝1 320， 所以无重复数字且大于4 000的自然数的个数为1 320个． 1．知识清单 (1)排队问题． (2)组数问题． 2．方法归纳：直接法、间接法、捆绑法、插空法、定序问题排除法处理． 3．常见误区：分类讨论时，出现重复或遗漏，各种方法使用不当． ◎随堂演练 1．将6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为(　　) A．36 B．120 C．720 D．240 由于6名学生排成两排，没有什么特殊要求的元素，故排法种数为A＝720. 2．(2024·长沙高二期中)某单位五一放假，安排甲、乙等五人值班五天，每人值班一天．若甲、乙都至少需要三天的连休假期，则不同的值班安排共有(　　) A．60种 B．66种 C．72种 D．78种 由题意可知甲、乙都不能安排第三天值班，故可以分步完成： 第一步，在除了第三天之外的四天中选两天给甲、乙，有A＝12种方法； 第二步，在剩下的三个位置上安排另外三个人，有A＝6种方法． 由分步乘法计数原理，可得不同的值班安排共有12×6＝72种． 3．在数字1，2，3与符号⊗，λ五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是______． 答案：12 符号⊗，λ只能在三个数字之间，这是间隔排列，排法有AA＝12种． 4．用1，2，3，4，5，6，7这7个数字排列组成一个七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有______个. 答案：144　 先排奇数位有A种，再排偶数位有A种，故共有这样的七位数有AA＝144个． $$