6.1 第1课时 两个计数原理及其简单应用（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修3（人教A版2019）

计数原理 6．1　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第1课时　两个计数原理及其简单应用 第六章 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 学习目标 1.通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义． 2．会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题． 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 m＋n 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 m×n 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　   分类加法计数原理 分步乘法计数原理 关键词 分类 分步 区别 每类方法都能独立完成这件事 各步都完成，才能完成这件事 各类方法之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复 联系 都是用来解决关于完成一件事的不同方法种数的问题 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 D 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 B 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 B 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 D 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 谢谢观看 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 知识点一　分类加法计数原理 1．用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？ 2．在1，2，3，4这四个数字中任取两个或三个或四个数(不重复取)求和，则取出的数的不同的和有多少种？ 3．你能说出解决上述两个问题的步骤吗？ 分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝_____种不同的方法． (1)核心：原理的核心是“分类”，将完成一件事的方法分为若干类． (2)特点：相互独立．各类方案相互独立，各类方案中的各种方法也相互独立，并且用任何一类方案中的任何一种方法都可以单独完成这件事． (3)应用：①根据问题的特点确定一个分类的标准； ②在确定的标准下进行分类； ③分类不能重复，不能遗漏． (4)目的：原理的目的是求解完成一件事的不同方法数，在应用原理解题时要有这种意识，明确并努力思考要求我们完成一件什么事，这件事要如何完成． [例1] 若x，y∈N*，且x＋y≤6，试求有序自然数对(x，y)的个数． 按x的取值进行分类： 当x＝1时，y＝1，2，3，4，5，共构成5个有序自然数对； 当x＝2时，y＝1，2，3，4，共构成4个有序自然数对； … 当x＝5时，y＝1，共构成1个有序自然数对． 根据分类加法计数原理，共有N＝5＋4＋3＋2＋1＝15个有序自然数对． 利用分类加法计数原理计数时的解题流程 [练1] 如图，从A到O有________种不同的走法(不重复过一点). 答案：5　 分3类：第一类，直接由A到O，有1种走法； 第二类，中间过一个点，有A→B→O和A→C→O 2种不同的走法； 第三类，中间过两个点，有A→B→C→O和A→C→B→O 2种不同的走法． 由分类加法计数原理可得共有1＋2＋2＝5种不同的走法． 知识点二　分步乘法计数原理 如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再和小红一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动． 1．小明从E处到F处的最短路径有多少条？ 2．小明到老年公寓可以选择的最短路径有多少条？ 分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝______种不同的方法． 1．用分步乘法计数原理解决的问题的特点 (1)完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可； (2)完成每一步都有若干种方法； (3)把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数． 2．利用分步乘法计数原理的注意点 (1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的； (2) “步”与“步”之间是连续的、不间断的、缺一不可的，但也不能重复、交叉； (3)若完成某件事需n步，则必须且只需依次完成这n个步骤后，这件事才算完成． [例2] 若从－2，－1，0，1，2，3这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c，则可以组成多少条不同的抛物线？ 解答本题需分三步完成， 第一步，选系数a(a不能为0)，有5种选法． 第二步，选系数b，有5种选法． 第三步，选系数c，有4种选法． 根据分步乘法计数原理得组成抛物线的条数为5×5×4＝100. [变式探究] 若本例中的二次函数的顶点在第一象限且经过原点，则可以得到多少条不同的抛物线？ 分三步： 第一步，确定c，c＝0，只有1种方法； 第二步，确定a，a＜0，则a从－2，－1中选一个，有2种不同方法； 第三步，确定b，b＞0，则b从1，2，3中选一个，有3种不同方法． 根据分步乘法计数原理得1×2×3＝6种不同方法，所以可以得到6条不同的抛物线． 利用分步乘法计数原理计数时的解题流程 [练2] (2024·大庆高二期中)哈尔滨的冰雪旅游在冬季吸引了大量游客，在2023年度，哈尔滨市共接待总游客量达到1.35亿人次，同比增长145.78%，比2019年增长41.4%.甲、乙、丙三人从冰雪大世界、太阳岛和中央大街三个旅游景点中任选一个前去游玩，因为甲去过冰雪大世界，所以甲不选冰雪大世界，则不同的选法有(　　) A．12种 B．16种 C．18种 D．24种 C 依题意，甲有2种选法，乙有3种选法，丙有3种选法， 按照分步乘法计数原理可得一共有2×3×3＝18种选法． 知识点三　两个计数原理的综合问题 两个原理的区别与联系 [例3] 一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本． (1)从中取出1本书，有多少种不同的取法？ (2)从中取出语文、数学、英语书各1本，有多少种不同的取法？ (3)从中取出2本书，且语文、数学、英语每种只能选1本，有多少种不同的取法？ (1)从中取出1本书，可分三类方案，根据分类加法计数原理，有N＝12＋14＋11＝37种不同的取法． (2)从中取出语文、数学、英语书各1本可分三步，根据分步乘法计数原理，有N＝12×14×11＝1 848种不同的取法． (3)由题意得，此取法可分三类方案，每类方案分两步． 从语文、数学书中各取1本，有12×14种不同的取法；从语文、英语书中各取1本，有12×11种不同的取法；从数学、英语书中各取1本，有14×11种不同的取法． 所以有N＝12×14＋12×11＋14×11＝454种不同的取法． 利用两个计数原理解决应用问题的一般思路 (1)弄清完成一件事是做什么． (2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类． (3)弄清分步、分类的标准是什么． (4)利用两个计数原理求解． [练3] 某地政府召集5家企业的负责人开会，已知甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况为多少种？ 分两类：第一类是甲企业有1人发言，有2种情况，另2个发言人来自其余4家企业，有6种情况，根据分步乘法计数原理可得共有2×6＝12种情况；另一类是3人全来自其余4家企业，共有4种情况．根据分类加法计数原理可得共有12＋4＝16种情况． 1．知识清单 (1)分类加法计数原理． (2)分步乘法计数原理． 2．方法归纳：分类讨论． 3．常见误区：“分类”与“分步”搞不清，导致计数错误． ◎随堂演练 1．若x∈{1，2，3}，y∈{6，7，8，9}，用(x, y)表示点的坐标，则不同的点的个数为(　　) A．7 B．4 C．3 D．12 因为x的取法有3种，y的取法有4种，所以不同的点的个数为3×4＝12. 2．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为(　　) A．7 B．12 C．64 D．81 先从4件上衣中任取一件，共4种选法，再从3条长裤中任选一条，共3种选法，由分步乘法计数原理，得一件上衣与一条长裤配成一套共4×3＝12种不同配法．故选B. 3．(2024·哈密高二期中)从6名同学中选出正、副班长各1名，不同的选法种数为(　　) A．11 B．30 C．6 D．36 先选出正班长，有6种不同的选法，再选出副班长，有5种不同的选法，根据分步乘法计数原理得不同的选法种数为6×5＝30.故选B. 4．(2024·渝北高二期中)如图所示的电路共有4个开关，每个开关均有断开和闭合两种情况，则该电路从A到B接通时，开关的开闭情况共有(　　) A．1种 B．4种 C．7种 D．15种 4个开关为并联关系，每个开关有2种状态，故共有24＝16种，只有4个开关均为开时，电路从A到B未接通，所以电路从A到B接通时，开关的开闭情况共有16－1＝15种． $$