专题03 三角形（考点清单，7考点梳理+14题型解读+提升训练）-2024-2025学年七年级数学下学期期中考点大串讲（沪教版2024）

专题03 三角形（7考点梳理+14题型解读+提升训练） 清单01 三角形有关概念 (1)三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的图形. (2)三角形的基本元素：顶点、边、内角、外角； 三角形两边的公共点叫顶点；组成三角形的三条线段叫三角形的边；在三角形中，每两条相邻边所组成的角，叫三角形的内角；三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫三角形的外角. (3)三角形的高：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段； 三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段； 三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点顶点与交点之间的线段 清单02 三角形基本元素的定理 (1)三角形的任意两边之和大于第三边, 任意两边之差小于第三边. (2)三角形的内角和等于. (3)三角形的外角和等于. (4)三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 清单03 三角形的分类 (1)按边分类可以分为；　(2)按角分类可以分为 清单04 全等三角形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形；两个三角形是全等形,它们就是全等三角形；相互重合的顶点叫做对应顶点；相互重合的边叫做对应边；相互重合的角是对应角； 清单05 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等. 清单06 画三角形 （1）两角及其夹边；（2）两边及夹角；（3）三边；（4）两角及一角对边. 清单07 全等三角形的判定 三角形全等判定方法1： 文字：在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： 符号：在与中， 三角形全等判定方法2： 文字：在两个三角形中，如果有两个角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： 符号：在与中， 三角形全等判定方法3： 文字：在两个三角形中，如果有两个角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： 符号：在与中， 三角形全等判定方法4： 文字：在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等. 图形： 符号：在与中， 【考点题型一】构成三角形的条件（） 【例1】（22-23七年级下·上海黄浦·期末）现有2cm，3cm，5cm，6cm长的四根木棒，任选其中的三根组成三角形，那么可以组成三角形的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】（22-23七年级下·上海奉贤·期中）下列长度的三根木棒首尾相接，不能做成三角形框架的是（    ） A．5cm 7cm 14cm B．7cm 9cm 13cm C．5cm 7cm 10cm D．5cm 11cm 13cm 【变式1-2】（22-23七年级下·上海杨浦·期末）下列三条线段能组成三角形的是（    ） A．2，5，4 B．14，22，7 C．22，9，7 D．1，1， 【变式1-3】（21-22七年级下·上海·单元测试）现有四根木棒，长度分别为4cm、6cm、8cm、10cm，从中任取三根木棒，能组成三角形的个数为 个． 【考点题型二】确定第三边的取值范围（） 【例2】（2023七年级下·上海·专题练习）如果三角形的两边分别为3和5，那么这个三角形的周长可能是（　　） A．15 B．16 C．8 D．7 【变式2-1】（23-24七年级下·上海杨浦·期中）如果不等边三角形的三边长分别是、、，那么整数的取值是 ． 【变式2-2】（22-23七年级下·上海浦东新·阶段练习）三角形的两条边长分别是4cm和9cm，则第三条边长x的范围是 ． 【变式2-3】（20-21七年级下·上海浦东新·期中）不等边三角形的最长边是9，最短边是4，第三边的边长是奇数，则第三边的长度是 ． 【考点题型三】三角形三边关系的应用（） 【例3】（22-23七年级下·上海普陀·期中）如果三角形的两边长分别为2和5，那么这个三角形的周长可能是（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 【变式3-1】（20-21七年级下·上海·期中）用下列长度的三根木棒首尾顺次联结，能做成三角形框架的是（    ） A．1dm、2dm、3dm B．2dm、2dm、4dm C．3dm、2dm、3dm D．2dm、6dm、3dm 【变式3-2】（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）定义：一个三角形的一边长是另一边长的倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为和，则第三条边的长为 ． 【变式3-3】（22-23七年级下·上海虹口·期末）一个不等边三角形的两边分别为和，第三边的长度为奇数，则满足条件的三角形共有 个． 【变式3-4】（21-22七年级下·上海·单元测试）已知a，b，c是一个三角形的三边长，化简|2a+b﹣c|﹣|b﹣2a﹣c|+|﹣a﹣b﹣2c|． 【考点题型四】与三角形的高有关的计算问题（） 【例4】（20-21七年级下·上海浦东新·期中）如图，，，则三角形和三角形的面积比是 ．    【变式4-1】（2024七年级下·上海·专题练习）如图，，如果，，的面积为18，那么的面积为 ． 【变式4-2】（2023七年级下·上海·专题练习）如图，已知在中，，是上任意一点，于点，于点，若的面积为，问：的值是 ． 【变式4-3】（2022七年级下·上海·专题练习）如图，已知AD∥BC． (1)找出图中所有面积相等的三角形，并选择其中一对说明理由． (2)如果BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E、F，＝，求的值．（直接写出答案） 【考点题型五】与平行线有关的三角形内角和问题（） 【例5】（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图，已知，，垂足为点B，那么之间的数量关系是（      ）． A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图，已知，，，，那么 ． 【变式5-2】（23-24七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，，那么吗？说明理由． 【变式5-3】（23-24七年级下·上海·期末）已知：如图，已知直线分别与、相交于点、，的平分线与的平分线相交于点，且．直线与平行吗？证明你的结论 【考点题型六】与角平分线有关的三角形内角和问题（） 【例6】（2022七年级下·上海·专题练习）如图，已知△ABC中，BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，BD与CE交于点O．如果∠BAC＝n°，那么用含n的代数式表示∠BOC（　　） A．（45+n）° B．（180﹣n）° C．（90+n）° D．（90+n）° 【变式6-1】（23-24七年级下·上海浦东新·阶段练习）如图，在中，，如果与的平分线交于点D，那么 度． 【变式6-2】（2023七年级下·上海·专题练习）如图，在中，，的平分线相交于O．求的度数． 【变式6-3】（23-24七年级下·上海杨浦·期中）如图，在中，是的角平分线，是边上的高，于，，，求的度数． 【考点题型七】三角形内角和定理的应用（） 【例7】（2022七年级下·上海·专题练习）在△ABC中，如果∠A﹣∠B＝90°，那么△ABC是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．斜三角形 【变式7-1】（21-22七年级下·上海·单元测试）如图，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠A＝50°，则∠D的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【变式7-2】（2024七年级下·上海·专题练习）如图，在中，点是和的平分线的交点，如果，那么 ． 【变式7-3】（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）如图，已知直线、相交于点，，，， ． 【变式7-4】（23-24七年级下·上海·阶段练习）如图，已知在中，，，，求的度数． 【考点题型八】全等三角形的性质（） 【例8】（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）已知图中两个三角形全等，则的度数是 ． 【变式8-1】（22-23七年级下·上海黄浦·阶段练习）我们规定：在四边形中，O是边上的一点，如果与全等，那么点O叫做该四边形的“等形点”，在四边形中，，，，，如果该四边形的“等形点”在边上，那么的长是 ． 【变式8-2】（23-24七年级下·上海·阶段练习）已知，在平面直角坐标系中，若、、、、． (1)的面积为_______； (2)点的坐标为_______． 【变式8-3】（2022七年级下·上海·专题练习）如图，点，，在同一条直线上，于点，于点，且，，．求： (1)的长； (2)的度数． 【考点题型九】全等的性质和SSS综合（SSS）（） 【例9】（20-21七年级下·上海青浦·期末）如图，点B、C、E三点在同一直线上，且AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，若，则∠3＝ °． 【变式9-1】（2024七年级下·上海·专题练习）如图，在中，点、分别在、上，，过点作交于，平分．说明． 【变式9-2】（20-21七年级下·上海静安·期末）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，BF＝EC，AB＝DE，AC＝DF，说明AB∥DE的理由． 【变式9-3】（21-22七年级下·上海闵行·期末）如图，在△ABD中，点C、E、F分别在边BD、AB、AD上，CE∥AD，∠1=∠2，且AF=FD，请说明CE⊥CF的理由． 解：因为CE∥AD（已知）， 所以∠______=∠______；∠______=∠______（平行线的性质）． 因为∠1=∠2，（已知）， 所以∠______=∠______（等量代换）； 所以______=______（______）； 请继续完成说理： 因为AF=FD（已知），所以 【考点题型十】全等的性质和SAS综合（SAS）（） 【例10】（22-23七年级下·上海徐汇·阶段练习）下列语句中，正确的是（    ） A．面积相等的两个三角形全等 B．全等三角形面积相等 C．有两条边和一个角对应相等的两个三角形一定全等 D．周长相等的两个三角形全等 【变式10-1】（21-22七年级下·上海·期末）如图已知A、B、C在同一条直线上，且、、，那么的角度是 ． 【变式10-2】（2024七年级下·上海·专题练习）如图，在中，已知点、、分别在边、、上，且，，，那么和的大小关系如何？为什么？ 解：因为 ， 即． 又因为（已知）， 所以 ． 在和中， 所以 ． 因此． 【变式10-3】（2023七年级下·上海·专题练习）如图，在中，已知点、、分别在边、、上，且，，，那么和的大小关系如何？为什么？ 解：因为　　， 即． 又因为（已知）， 所以　　　　． 在和中， 所以　　． 因此． 【考点题型十一】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）（） 【例11】（2022七年级下·上海·专题练习）如图，已知点B、D、C、F在同一条直线上，ABEF，AB＝EF，ACDE，如果BF＝6，DC＝3，那么BD的长等于（） A．1 B． C．2 D．3 【变式11-1】（22-23七年级下·上海松江·期末）已知：，平分，平分，说明的理由． 【变式11-2】（2024七年级下·上海·专题练习）如图，，，，，垂足分别为点A、B． 试说明． 解：因为，（已知）， 所以（垂直的意义）． 又因为 ， 得． 因为 （已知）， 得， 所以 （同角的余角相等）． （完成以下说理过程） 【变式11-3】（2024七年级下·上海·专题练习）如图，在和中，，点E是的中点，于点F，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【考点题型十二】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）（） 【例12】（22-23七年级下·上海杨浦·期末）如图，在中，点D、E分别在边上，与相交于点O，，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ）    A． B． C． D． 【变式12-1】（22-23七年级下·上海浦东新·期末）如图，点A、D、B、F在一条直线上，已知，，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是（    ）    A． B． C． D． 【变式12-2】（2024七年级下·上海·专题练习）如图，已知在和中，B，E，F，C在同一直线上，，，请补充一个条件： ，使． 【变式12-3】（22-23七年级下·上海徐汇·期末）如图，已知，如果要说明，那么还需要添加一个条件，这个条件可以是 ．    【考点题型十三】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）（） 【例13】（23-24七年级下·上海·阶段练习）在和中，，，，，，，则，（    ） A．一定全等 B．不一定全等 C．一定不全等 D．以上都不对 【变式13-1】（23-24七年级下·上海浦东新·阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） A．腰相等的两个等腰直角三角形全等 B．底边相等的两个等腰三角形全等 C．顶角相等的两个等腰三角形全等 D．含有的两个直角三角形全等 【变式13-2】（2022七年级下·上海·专题练习）已知在△ABC和△A1B1C1中，AB＝A1B1，BC＝B1C1，要使△ABC≌△A1B1C1，还需添加一个条件，那么这个条件可以是 ． 【变式13-3】（2022七年级下·上海·专题练习）一个小正方形，外面有4个全等的长方形，拼成一个大正方形．问：可以得到什么结论？ 【考点题型十四】全等三角形综合问题（） 【例14】（2022七年级下·上海·专题练习）下列说法中不正确的是（　　） A．各有一个角为130°，且底边相等的两个等腰三角形全等 B．各有一个角为50°，且底边相等的两个等腰三角形全等 C．各有一个角为50°，且其所对的直角边相等的两个直角三角形全等 D．各有一个角为50°，且有斜边相等的两个直角三角形全等 【变式14-1】（2022七年级下·上海·专题练习）如图，已知点D、E分别在AB、AC上，BE与CD相交于点F，AB＝AC，∠C＝∠B，有3个结论：（1）∠AEB＝∠ADC；（2）∠A+∠EFD＝180°；（3）CE＝BD，其中一定正确的（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式14-2】（2022七年级下·上海·专题练习）已知：如图，AC＝DC，∠1＝∠2，请添加一个已知条件： ，使ABCDEC． 【变式14-3】（2022七年级下·上海·专题练习）已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB、DF⊥AC垂足分别为E、F，请说明△ADE≌△ADF的理由． 解：因为DE⊥AB、DF⊥AC （ ） 所以∠AED＝90°，∠AFD＝90°（ ） 所以∠AED＝∠AFD （ ） 因为AD是△ABC的角平分线 （ ） 所以∠DAE＝∠DAF （ ） 在△ADE与△ADF中 ∠AED＝∠AFD、∠DAE＝∠DAF（ ），AD=AD， 所以△ADE≌△ADF （ ）． 【变式14-4】（21-22七年级下·上海·期末）在中，，，是延长线上的一点，于，与交于，求证：及 【提升训练】 一、单选题 1．（21-22七年级下·上海闵行·阶段练习）下列语句正确的是（    ） A．有两边对应相等，且有一个角为30°的两个三角形全等 B．有两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 C．有一个角为40°，且腰长相等的两个等腰三角形全等 D．三个角对应相等的两个三角形全等 2．（22-23七年级下·上海普陀·期末）下列说法：①同旁内角互补；②对顶角相等；③三角形的一个外角大于任何一个内角；④如果三条线段、、满足，那么这三条线段、、一定能组成三角形．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（22-23七年级下·上海浦东新·阶段练习）下列分类正确的是（    ） A．三角形可分为等腰三角形、等边三角形 B．三角形可分为不等边三角形、等腰三角形以及等边三角形 C．三角形可分为不等边三角形和等边三角形 D．三角形可分为不等边三角形和等腰三角形 4．（22-23七年级下·上海浦东新·阶段练习）如图，平分，，连接、，并延长交、于、点，则图中全等的三角形有(    )对．    A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 二、填空题 5．（23-24七年级下·上海·阶段练习）如图，已知，，点在一条直线上，则 度． 6．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）如图，与是两个形状、大小完全相同的直角三角形，B、C、D、F在同一条直线上，点与点重合，其中，，．将沿射线方向平移到的位置，连接，若，则的面积是 ． 7．（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）如图，在中，是边上的高，，平分交于点E，，则的度数为 ． 三、解答题 8．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，已知，点在边上，，请说明的理由． 解：因为是的一个外角 所以　　（ ） 因为 所以（ ） 因为（ ） 所以（ ）    9．（23-24七年级下·上海黄浦·期末）如图，在中，，，点在线段上运动（不与、重合），连接，作，与交于． (1)当时，请说明与全等的理由． (2)在点D的运动过程中，的度数是多少时，的形状是等腰三角形．（请直接写出的度数）． 10．（2024七年级下·上海·专题练习）（1）阅读并填空：如图①，、分别是的内角、的平分线． 试说明的理由． 解：因为平分（已知）， 所以 （角平分线定义）． 同理： ． 因为，， ， 所以 （等式性质）． 即：． （2）探究，请直接写出结果，无需说理过程： 如图②，、分别是的两个外角、的平分线．试探究与之间的等量关系． 答：与之间的等量关系是 ． 如图③，、分别是的一个内角和一个外角的平分线．试探究与之间的等量关系． 答：与之间的等量关系是 ． （3）如图④，中，，、分别平分、，是的外角的平分线．试说明的理由． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 三角形（7考点梳理+14题型解读+提升训练） 清单01 三角形有关概念 (1)三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的图形. (2)三角形的基本元素：顶点、边、内角、外角； 三角形两边的公共点叫顶点；组成三角形的三条线段叫三角形的边；在三角形中，每两条相邻边所组成的角，叫三角形的内角；三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫三角形的外角. (3)三角形的高：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段； 三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段； 三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点顶点与交点之间的线段 清单02 三角形基本元素的定理 (1)三角形的任意两边之和大于第三边, 任意两边之差小于第三边. (2)三角形的内角和等于. (3)三角形的外角和等于. (4)三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 清单03 三角形的分类 (1)按边分类可以分为；　(2)按角分类可以分为 清单04 全等三角形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形；两个三角形是全等形,它们就是全等三角形；相互重合的顶点叫做对应顶点；相互重合的边叫做对应边；相互重合的角是对应角； 清单05 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等. 清单06 画三角形 （1）两角及其夹边；（2）两边及夹角；（3）三边；（4）两角及一角对边. 清单07 全等三角形的判定 三角形全等判定方法1： 文字：在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： 符号：在与中， 三角形全等判定方法2： 文字：在两个三角形中，如果有两个角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： 符号：在与中， 三角形全等判定方法3： 文字：在两个三角形中，如果有两个角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： 符号：在与中， 三角形全等判定方法4： 文字：在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等. 图形： 符号：在与中， 【考点题型一】构成三角形的条件（） 【例1】（22-23七年级下·上海黄浦·期末）现有2cm，3cm，5cm，6cm长的四根木棒，任选其中的三根组成三角形，那么可以组成三角形的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据三角形的三边关系进行判断即可． 【详解】四条木棒的所有组合：2，3，5和2，3，6和3，5，6和2，5，6， 根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的构成条件， 只有3，5，6和2，5，6能组成三角形． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【变式1-1】（22-23七年级下·上海奉贤·期中）下列长度的三根木棒首尾相接，不能做成三角形框架的是（    ） A．5cm 7cm 14cm B．7cm 9cm 13cm C．5cm 7cm 10cm D．5cm 11cm 13cm 【答案】A 【分析】根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行分析判断． 【详解】解：，，不符合； B，，符合； C，，符合； D，，符合． 故选：． 【点睛】一定注意构成三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 【变式1-2】（22-23七年级下·上海杨浦·期末）下列三条线段能组成三角形的是（    ） A．2，5，4 B．14，22，7 C．22，9，7 D．1，1， 【答案】A 【分析】根据三角形的三边关系定理即可得． 【详解】解：A、，满足三角形的三边关系定理，此项符合题意； B、，不满足三角形的三边关系定理，此项不符题意； C、，不满足三角形的三边关系定理，此项符合题意； D、，不满足三角形的三边关系定理，此项不符题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，熟记定理是解题关键． 【变式1-3】（21-22七年级下·上海·单元测试）现有四根木棒，长度分别为4cm、6cm、8cm、10cm，从中任取三根木棒，能组成三角形的个数为 个． 【答案】3 【分析】取四根木棒中的任意三根，共有4中取法，然后依据三角形三边关系定理将不合题意的方案舍去． 【详解】解：共有4种方案： ①取4cm，6cm，8cm；由于8﹣4＜6＜8+4，能构成三角形； ②取4cm，8cm，10cm；由于10﹣4＜8＜10+4，能构成三角形； ③取4cm，6cm，10cm；由于6＝10﹣4，不能构成三角形，此种情况不成立； ④取6cm，8cm，10cm；由于10﹣6＜8＜10+6，能构成三角形． 所以有3种方案符合要求． 故答案为：3． 【点睛】此题考查三角形的边时，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．当题目指代不明时，一定要分情况讨论，把符合条件的保留下来，不符合的舍去． 【考点题型二】确定第三边的取值范围（） 【例2】（2023七年级下·上海·专题练习）如果三角形的两边分别为3和5，那么这个三角形的周长可能是（　　） A．15 B．16 C．8 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此即可作答． 【详解】解：∵三角形的两边分别为3和5， ∴设三角形的第三边为 即 ∴ ∴ 则 ∴这个三角形的周长大于小于， 故选：A． 【变式2-1】（23-24七年级下·上海杨浦·期中）如果不等边三角形的三边长分别是、、，那么整数的取值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查的知识点是三角形的三边关系，解题关键是熟练掌握三角形三边关系． 三角形三边关系：三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，据此即可求解． 【详解】解：根据三角形三边关系可得：， 即， 又∵该三角形是不等边三角形， ∴且，即且 ∴符合条件的整数x的取值为：5或7． 故答案为：或． 【变式2-2】（22-23七年级下·上海浦东新·阶段练习）三角形的两条边长分别是4cm和9cm，则第三条边长x的范围是 ． 【答案】 【分析】根据三角形三边的关系：任两边的和大于第三边，任两边的差小于第三边，即可求得范围． 【详解】解：由三角形三边关系得：， 即； 故答案为：． 【点睛】本题考查了构成三角形的三边应满足的条件，理解此条件是关键． 【变式2-3】（20-21七年级下·上海浦东新·期中）不等边三角形的最长边是9，最短边是4，第三边的边长是奇数，则第三边的长度是 ． 【答案】7 【分析】由题意根据三角形的三边关系即可求得第三边的范围，从而由不等边三角形和奇数的定义确定第三边的长度． 【详解】解：设第三边长是c，则9﹣4＜c＜9+4， 即5＜c＜13， 又∵第三边的长是奇数，不等边三角形的最长边为9，最短边为4， ∴c＝7． 故答案为：7． 【点睛】本题考查三角形的三边关系，注意掌握已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和． 【考点题型三】三角形三边关系的应用（） 【例3】（22-23七年级下·上海普陀·期中）如果三角形的两边长分别为2和5，那么这个三角形的周长可能是（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系定理求出第三边的范围，进而得到三角形的周长的范围，判断即可． 【详解】解：∵三角形的两边长为2和5， ∴第三边x的长度范围是，即， ∴这个三角形的周长a范围是，即，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键． 【变式3-1】（20-21七年级下·上海·期中）用下列长度的三根木棒首尾顺次联结，能做成三角形框架的是（    ） A．1dm、2dm、3dm B．2dm、2dm、4dm C．3dm、2dm、3dm D．2dm、6dm、3dm 【答案】C 【分析】根据三角形的三边关系，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，不符合三角形的三边规则，两边之和大于第三边，不能组成三角形，所以本选项不符合题意，故A错误； B、，不符合三角形的三边规则，两边之和大于第三边，不能组成三角形，所以本选项不符合题意，故B错误； C、，符合三角形的三边规则，两边之和大于第三边，能组成三角形，所以本选项符合题意，故C正确； D、，不符合三角形的三边规则，两边之和大于第三边，不能组成三角形，所以本选项不符合题意，故D错误． 故选：C 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键． 【变式3-2】（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）定义：一个三角形的一边长是另一边长的倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为和，则第三条边的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查三角形三边关系，设第三边的长为，先根据三角形三边关系定理得，再根据是“倍长三角形”，分四种情况讨论并求解即可．正确理解题意并利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：设第三边的长为， 则，即， ∵是“倍长三角形”，则： ①若，则（不符合题意，舍去）； ②若，则； ③若，则； ④若，则（不符合题意，舍去）； 综上所述，第三条边的长为或． 故答案为：或． 【变式3-3】（22-23七年级下·上海虹口·期末）一个不等边三角形的两边分别为和，第三边的长度为奇数，则满足条件的三角形共有 个． 【答案】5/五 【分析】三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据三角形的三边关系进行求解，即可得到答案． 【详解】解：设第三边的长度为， 由三角形的三边关系可知，， 即第三边的取值范围为， 第三边的长度为奇数， 的取值可以有3、5、7、9、11，共5个， 满足条件的三角形共有5个， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题关键是掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 【变式3-4】（21-22七年级下·上海·单元测试）已知a，b，c是一个三角形的三边长，化简|2a+b﹣c|﹣|b﹣2a﹣c|+|﹣a﹣b﹣2c|． 【答案】a+3b 【分析】根据三角形三边关系得到2a+b﹣c＞0，b﹣2a﹣c＜0，﹣a﹣b﹣2c＜0，再去绝对值，合并同类项即可求解． 【详解】解：∵a，b，c 是三角形的三边， ∴由a+b﹣c＞0得2a+b﹣c＞0， 由b﹣（a+c）＜0得b﹣2a﹣c＜0， 由﹣a﹣b﹣c＜0得﹣a﹣b﹣2c＜0， ∴原式＝（2a+b﹣c）+（b﹣2a﹣c）+（a+b+2c） ＝a+3b． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，绝对值的性质，整式的加减，关键是得到2a+b﹣c＞0，b﹣2a﹣c＜0，﹣a﹣b﹣2c＜0． 【考点题型四】与三角形的高有关的计算问题（） 【例4】（20-21七年级下·上海浦东新·期中）如图，，，则三角形和三角形的面积比是 ．    【答案】 【分析】由平行线间的距离处处相等可知两个三角形的高相等，则面积之比等于底边长之比． 【详解】解：∵， ∴点A到的距离和点C到的距离相等， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线间的距离，三角形面积公式，熟练掌握两个三角形的高相等时，面积之比等于底边长之比是解题的关键． 【变式4-1】（2024七年级下·上海·专题练习）如图，，如果，，的面积为18，那么的面积为 ． 【答案】27 【分析】本题考查了三角形的面积，平行线间距离相等，求出的长是解题的关键．过点作，求出的长，再利用面积公式解答即可． 【详解】解：过点作， ，的面积， ， ， ， 点到的距离等于的长度， 的面积． 故答案为：27． 【变式4-2】（2023七年级下·上海·专题练习）如图，已知在中，，是上任意一点，于点，于点，若的面积为，问：的值是 ． 【答案】 【分析】可连接，由图得，，代入数值，解答出即可． 【详解】解：连接， 由图可得，， 于，于，，的面积为， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形高的定义，解答时注意，将一个三角形的面积转化成两个三角形的面积和；体现了转化思想． 【变式4-3】（2022七年级下·上海·专题练习）如图，已知AD∥BC． (1)找出图中所有面积相等的三角形，并选择其中一对说明理由． (2)如果BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E、F，＝，求的值．（直接写出答案） 【答案】(1)理由见解析； (2) 【分析】（1）根据等底等高的三角形的面积相等解答，以及等式的性质进行解答即可． （2）利用△ABC和△BCD的面积列式整理即可得解． 【详解】（1）解：①△ABC与△BCD，②△ADB与△ADC，③△AMB与△DMC； 选择①说明：设AD、BC间的距离为h， 则S△ABC＝，S△BCD＝， ∴△ABC与△DBC的面积相等； 同理：△ADB与△ADC的面积相等． ∵△ABC与△DBC的面积相等， ∴S△ABC﹣S△BCM＝S△DBC﹣S△BCM，即，S△AMB＝S△DMC． （2）解：∵S△ABC＝S△BCD， ∴AC•BE＝BD•CF， ∴， ∵ ∴． 【点睛】本题考查了三角形的面积，平行线间的距离相等，熟记等底等高的三角形的面积相等是解题的关键． 【考点题型五】与平行线有关的三角形内角和问题（） 【例5】（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图，已知，，垂足为点B，那么之间的数量关系是（      ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的性质，三角形内角和定理， 延长交于点G，根据平行线的性质得到，然后表示出，，然后在中利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】如图所示，延长交于点G， ∵ ∴ ∴ ∵ ∵ ∴ ∴整理得，． 故选：D． 【变式5-1】（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图，已知，，，，那么 ． 【答案】/28度 【分析】此题考查了三角形内角和定理，平行线的性质， 首先根据三角形内角和定理得到，然后由平行线的性质得到，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式5-2】（23-24七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，，那么吗？说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定，解题的关键是根据三角形内角和求出，再根据平行线的判定定理即可求解． 【详解】解：，如图， 在中，， 在中，， ，， ， ． 【变式5-3】（23-24七年级下·上海·期末）已知：如图，已知直线分别与、相交于点、，的平分线与的平分线相交于点，且．直线与平行吗？证明你的结论 【答案】平行，证明见解析 【分析】本题考查平行线的性质和判定，解题的关键是掌握平行线的性质定理和判定定理．由，可得，而的平分线与的平分线相交于点，即可得，故． 【详解】解：，证明如下： ， ， 的平分线与的平分线相交于点， ，， ． ． 【考点题型六】与角平分线有关的三角形内角和问题（） 【例6】（2022七年级下·上海·专题练习）如图，已知△ABC中，BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，BD与CE交于点O．如果∠BAC＝n°，那么用含n的代数式表示∠BOC（　　） A．（45+n）° B．（180﹣n）° C．（90+n）° D．（90+n）° 【答案】D 【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB，再根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB，然后根据三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【详解】解：∵∠BAC＝n°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣n°， ∵BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线， ∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×（180°﹣n°）＝90°﹣n°， 在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（90°﹣n°）＝90°+n°． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，是基础题，要注意整体思想的利用． 【变式6-1】（23-24七年级下·上海浦东新·阶段练习）如图，在中，，如果与的平分线交于点D，那么 度． 【答案】 【分析】本题考查了三角形角平分线的定义、三角形内角和定理．根据三角形内角和定理可求得，从而可求，再根据三角形内角和定理可求解． 【详解】解：∵， ， 与的平分线相交于点， ，， ， ， ． 故答案为：． 【变式6-2】（2023七年级下·上海·专题练习）如图，在中，，的平分线相交于O．求的度数． 【答案】 【详解】由角平分线的定义可知，，，由，可得，根据，即，计算求解即可． 【解答】解：∵是的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 【变式6-3】（23-24七年级下·上海杨浦·期中）如图，在中，是的角平分线，是边上的高，于，，，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查了三角形内角和定理，熟记三角形内角和定理是解题的关键．根据三角形内角和定理求出，根据角平分线定义求出，结合垂直的定义根据三角形内角和定理求出，则，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：，，， ， 是的角平分线， ， 是边上的高， ， ， ， 于， ， 【考点题型七】三角形内角和定理的应用（） 【例7】（2022七年级下·上海·专题练习）在△ABC中，如果∠A﹣∠B＝90°，那么△ABC是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．斜三角形 【答案】B 【分析】因为∠A﹣∠B＝90°，即∠A＝90°+∠B，那么∠A一定大于90°，即为钝角三角形． 【详解】解：在△ABC中，∵∠A﹣∠B＝90°， ∴∠A＝90°+∠B＞90°（∠B肯定大于0º），那么△ABC是钝角三角形． 故选：B． 【点睛】此题考查了三角形内角和定理，解题的关键是得到∠A一定大于90°． 【变式7-1】（21-22七年级下·上海·单元测试）如图，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠A＝50°，则∠D的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【答案】B 【分析】利用两个三角形的内角和都为180°，结合相等的角即可求解． 【详解】∵AB⊥BD，AC⊥CD， ∴∠B＝∠C＝90°， 又∵∠BEA＝∠CED，且∠BEA+∠B+∠A＝∠CED+∠C+∠D＝180°， ∴∠D＝∠A＝50°， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的内角和等于180°，熟记三角形的内角和公式是解题的关键． 【变式7-2】．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，在中，点是和的平分线的交点，如果，那么 ． 【答案】125 【分析】本题考查了角平分线的性质和三角形的内角和定理，由三角形内角和定理得，由角平分线得，即可求解；掌握角平分线的性质和三角形的内角和定理是解题的关键． 【详解】解：， ， 与的平分线相交于， ， ． 故答案为：125． 【变式7-3】（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）如图，已知直线、相交于点，，，， ． 【答案】/30度 【分析】本题考查三角形内角和定理的应用，根据三角形内角和定理得，由对顶角相等得，再利用三角形内角和定理即可得出结论．解题的关键是掌握：三角形内角和为． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式7-4】（23-24七年级下·上海·阶段练习）如图，已知在中，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及等腰三角形的性质、三角形内角和定理，根据等腰三角形性质可得，再根据平行线的性质可得，即可得出答案 【详解】解：∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴． 【考点题型八】全等三角形的性质（） 【例8】（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）已知图中两个三角形全等，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查全等三角形的性质及三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．由三角形内角和及全等的性质可得，即可求解． 【详解】解：图中的两个三角形全等， ， 故答案为：． 【变式8-1】（22-23七年级下·上海黄浦·阶段练习）我们规定：在四边形中，O是边上的一点，如果与全等，那么点O叫做该四边形的“等形点”，在四边形中，，，，，如果该四边形的“等形点”在边上，那么的长是 ． 【答案】1或2/2或1 【分析】根据平行线的性质，得到，分两种情况讨论：当时当时，再利用全等三角形的性质可得答案． 【详解】解：，， ， 四边形的“等形点”在边上， 如图1，当时，则， 如图2，当时， ，， ， ， ， 故答案为：1或2． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键． 【变式8-2】（23-24七年级下·上海·阶段练习）已知，在平面直角坐标系中，若、、、、． (1)的面积为_______； (2)点的坐标为_______． 【答案】(1)3 (2)或 【分析】本题考查了三角形的面积以及全等图形的性质，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据图形得出三角形的底边和高的值，结合三角形面积公式解答即可； （2）根据，由此结合图形可知点存在两种情况，分情况讨论即可得出点的坐标． 【详解】（1）解：由图可知，上的高为3， ∴． 故答案为：3； （2）∵，且点的位置不确定， 则结合图形，在坐标系中画出，如下图所示， ∴点的坐标为或． 故答案为：或． 【变式8-3】（2022七年级下·上海·专题练习）如图，点，，在同一条直线上，于点，于点，且，，．求： (1)的长； (2)的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查全等三角形的性质，等角的余角相当的性质， （1）根据全等三角形的性质得到，即可求出的长； （2）由全等三角形的性质得到，根据等角的余角相等得到，求出． 【详解】（1），，， ， ． （2）， ， ． ， ， ∴ 又点，，在同一条直线上， ， ． 【考点题型九】全等的性质和SSS综合（SSS）（） 【例9】（20-21七年级下·上海青浦·期末）如图，点B、C、E三点在同一直线上，且AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，若，则∠3＝ °． 【答案】47 【分析】根据“边边边”证明，再根据全等三角形的性质可得∠ABC＝∠1，∠BAC＝∠2，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和求出∠3＝∠1＋∠2，然后求解即可． 【详解】解：在△ABC和△ADE中，， ∴（SSS）， ∴∠ABC＝∠1，∠BAC＝∠2， ∴∠3＝∠ABC＋∠BAC＝∠1＋∠2， ∵， ∴， ∴． 故答案为：47． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． 【变式9-1】（2024七年级下·上海·专题练习）如图，在中，点、分别在、上，，过点作交于，平分．说明． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识．由平行线的性质得出，由角平分线的性质得出，推出，则，由证得，进而可得结论． 【详解】证明：∵， ， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【变式9-2】（20-21七年级下·上海静安·期末）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，BF＝EC，AB＝DE，AC＝DF，说明AB∥DE的理由． 【答案】见解析 【分析】先求出BC＝EF，再根据“边边边”证明△ABC与△DEF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠B＝∠E，然后根据内错角相等，两直线平行即可得证． 【详解】解：∵BF＝EC， ∴BF+FC＝EC+CF， 即BC＝EF， 在△ABC与△DEF中， ∵， ∴△ABC≌△DEF（SSS）， ∴∠B＝∠E（全等三角形对应角相等）， ∴AB∥DE． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，求出BC＝EF，得到三角形全等是解题的关键． 【变式9-3】（21-22七年级下·上海闵行·期末）如图，在△ABD中，点C、E、F分别在边BD、AB、AD上，CE∥AD，∠1=∠2，且AF=FD，请说明CE⊥CF的理由． 解：因为CE∥AD（已知）， 所以∠______=∠______；∠______=∠______（平行线的性质）． 因为∠1=∠2，（已知）， 所以∠______=∠______（等量代换）； 所以______=______（______）； 请继续完成说理： 因为AF=FD（已知），所以 【答案】见解析 【分析】利用SSS证明△ACF≌△DCF，推出∠AFC =∠DFC=90°，得到∠ECF =∠DFC=90°，即可证明CE⊥CF． 【详解】解：因为CE∥AD（已知）， 所以∠1=∠D；∠2=∠CAD（平行线的性质）． 因为∠1=∠2，（已知）， 所以∠D =∠CAD（等量代换）； 所以CA= CD（等角对等边）； 因为AF=FD（已知）， 所以， 所以△ACF≌△DCF（SSS）， 所以∠AFC =∠DFC（全等三角形对应角相等）， 因为∠AFC+∠DFC=180°（平角的定义）， 所以∠AFC =∠DFC=90°（等式的性质）， 因为CE∥AD（已知）， 所以∠ECF =∠DFC=90°（两直线平行，内错角相等）， 所以CE⊥CF（垂直的定义）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等角对等边，平行线的性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 【考点题型十】全等的性质和SAS综合（SAS）（） 【例10】（22-23七年级下·上海徐汇·阶段练习）下列语句中，正确的是（    ） A．面积相等的两个三角形全等 B．全等三角形面积相等 C．有两条边和一个角对应相等的两个三角形一定全等 D．周长相等的两个三角形全等 【答案】B 【分析】根据全等三角形的性质与判定可进行求解． 【详解】解：A、面积相等的两个三角形不一定全等，故说法错误； B、全等三角形的面积相等，故说法正确； C、有两条边和这两条边的夹角对应相等的两个三角形全等，故原说法错误； D、周长相等的两个三角形不一定全等，故原说法错误； 故选B． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 【变式10-1】（21-22七年级下·上海·期末）如图已知A、B、C在同一条直线上，且、、，那么的角度是 ． 【答案】62 【分析】先根据证明≌，即得出，，，又根据平角定义、三角形内角和、等边对等角等知识点即可解答． 【详解】解：如图， ∵在和中， ≌， ，，， ，，， ， 在中，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，等边对等角．熟练掌握以上性质并利用数形结合的思想是解题关键． 【变式10-2】（2024七年级下·上海·专题练习）如图，在中，已知点、、分别在边、、上，且，，，那么和的大小关系如何？为什么？ 解：因为 ， 即． 又因为（已知）， 所以 ． 在和中， 所以 ． 因此． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握判定定理与性质定理，理清证明思路是写出理由与步骤的关键． 根据三角形外角的性质可得，再根据，证明，然后证明，得到． 【详解】解：因为（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， 即． 又因为（已知）， 所以． ， 在和中， 所以． 因此． 【变式10-3】（2023七年级下·上海·专题练习）如图，在中，已知点、、分别在边、、上，且，，，那么和的大小关系如何？为什么？ 解：因为　　， 即． 又因为（已知）， 所以　　　　． 在和中， 所以　　． 因此． 【答案】三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；；；；；； 【分析】本题考查了全等三角形的判定与全等三角形的性质，熟练掌握判定定理与性质定理，理清证明思路是写出理由与步骤的关键． 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，再根据，证明，然后根据边角边定理证明与全等，根据此思路写出相关的理由与步骤即可． 【详解】解：因为（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， 即． 又因为（已知）， 所以． 在和中， ， 所以． 因此． 故答案为：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；；；；；；． 【考点题型十一】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）（） 【例11】（2022七年级下·上海·专题练习）如图，已知点B、D、C、F在同一条直线上，ABEF，AB＝EF，ACDE，如果BF＝6，DC＝3，那么BD的长等于（） A．1 B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】由ABEF得∠B＝∠F，由ACDE得∠ACB＝∠EDF，从而证明△ABC≌△EFD得BC＝FD，即可求得BD的长． 【详解】解：∵ABEF， ∴∠B＝∠F， ∵ACDE， ∴∠ACB＝∠EDF， 在△ABC和△EFD中，， ∴△ABC≌△EFD（AAS）， ∴BC＝FD， ∴BC﹣DC＝FD﹣DC， ∴BD＝FC， ∴BD＝（BF﹣DC）＝（6﹣3）＝． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、三角形全的判定及性质，熟练掌握三角形全的判定方法是解题的关键． 【变式11-1】（22-23七年级下·上海松江·期末）已知：，平分，平分，说明的理由． 【答案】见解析 【分析】利用角平分线的定义推出，，在利用得到，从而利用证明，从而证明． 【详解】证明：∵平分，平分 ∴，， 又∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴ 【点睛】本题考查角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【变式11-2】（2024七年级下·上海·专题练习）如图，，，，，垂足分别为点A、B． 试说明． 解：因为，（已知）， 所以（垂直的意义）． 又因为 ， 得． 因为 （已知）， 得， 所以 （同角的余角相等）． （完成以下说理过程） 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 利用同角的余角相等得到，再，，利用得到，利用全等三角形对应边相等得到，，由，等量代换即可得证． 【详解】解：因为，（已知）， 所以（垂直的意义）． 又因为（三角形的内角和定理） 得． 因为 （已知）， 得， 所以（同角的余角相等）， 在和中， ， 所以， 所以，， 所以． 【变式11-3】（2024七年级下·上海·专题练习）如图，在和中，，点E是的中点，于点F，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、余角性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． （1）先证明，再根据全等三角形的判定定理可得结论； （2）根据全等三角形的性质得得，，结合线段中点定义可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴， 在和中， , ∴； （2）解：由（1）得：， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【考点题型十二】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）（） 【例12】（22-23七年级下·上海杨浦·期末）如图，在中，点D、E分别在边上，与相交于点O，，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目中的条件和各个选项中的条件，利用全等三角形的判定方法，可以得到哪个选项中的条件，不能判定，从而可以解答本题． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴补充条件时，，故选项A不符合题意； 补充条件，无法判断，故选项B符合题意； 补充条件时，则，故，则，故选项C不符合题意； 补充条件时，则，则，故选项D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定的知识，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法，利用数形结合的思想解答． 【变式12-1】（22-23七年级下·上海浦东新·期末）如图，点A、D、B、F在一条直线上，已知，，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由全等三角形的判定，逐项判断即可． 【详解】解：A、添加，不能判定，故此选项不符合题意； B、由，得到，又，，由判定，故此选项符合题意； C、由，得到，但两角分别是、的对角，不能判定，故此选项不符合题意； D、由，得到，两角分别是，的对角，不能判定，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法． 【变式12-2】（2024七年级下·上海·专题练习）如图，已知在和中，B，E，F，C在同一直线上，，，请补充一个条件： ，使． 【答案】或（只要写出一个即可） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练运用全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理．已知两组边对应相等，可以添加两组对应边夹角对应相等，也可以添加第三边对应相等进行补充条件即可． 【详解】解：， ， 即， 又， 已经具备两个条件，当补充它们的夹角相等，或第三边相等即可分别利用或判定两三角形全等， 即补充或即可， 故答案为：或（只要写出一个即可）． 【变式12-3】（22-23七年级下·上海徐汇·期末）如图，已知，如果要说明，那么还需要添加一个条件，这个条件可以是 ．    【答案】（答案不唯一） 【分析】可以添加条件为，利用等角对等边得到，再利用全等三角形的判定条件，即可证明，本题为开放题，答案不唯一． 【详解】解：可添加条件， 理由如下：， ， 在与中， ， ， 故答案为：．（答案不唯一） 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定条件，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键． 【考点题型十三】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）（） 【例13】（23-24七年级下·上海·阶段练习）在和中，，，，，，，则，（    ） A．一定全等 B．不一定全等 C．一定不全等 D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题考查了三角形全等的判定，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据三角形内角和定理，得到，再根据三角形全等的判定定理进行判定即可． 【详解】在中，， 在和中 故选：A． 【变式13-1】（23-24七年级下·上海浦东新·阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） A．腰相等的两个等腰直角三角形全等 B．底边相等的两个等腰三角形全等 C．顶角相等的两个等腰三角形全等 D．含有的两个直角三角形全等 【答案】A 【分析】本题考查三角形全等的判定．根据三角形全等的判定逐个判断即可得到答案． 【详解】解：A、腰相等的两个等腰直角三角形全等，故本选项符合题意； B、底边相等的两个等腰三角形不一定全等，故本选项不符合题意； C、顶角相等的两个等腰三角形全等一定全等，故本选项不符合题意； D、含有的两个直角三角形全等不一定全等，故本选项不符合题意； 故选：A． 【变式13-2】（2022七年级下·上海·专题练习）已知在△ABC和△A1B1C1中，AB＝A1B1，BC＝B1C1，要使△ABC≌△A1B1C1，还需添加一个条件，那么这个条件可以是 ． 【答案】AC＝A1C1或∠B＝∠B1 【分析】根据全等三角形的判定（有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等SAS）可得当∠B＝∠B1时，可得△ABC≌△A1B1C1．根据全等三角形的判定（三边对应相等的两个三角形全等SSS）可得当AC＝A1C1时，可得△ABC≌△A1B1C1． 【详解】解：添加AC＝A1C1；∠B＝∠B1后可分别根据SSS、SAS判定ABC≌△A1B1C1， 故答案为：AC＝A1C1或∠B＝∠B1． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，熟记全等三角形的判定方法的特点是解答本题的关键. 【变式13-3】（2022七年级下·上海·专题练习）一个小正方形，外面有4个全等的长方形，拼成一个大正方形．问：可以得到什么结论？ 【答案】 【分析】根据正方形的面积公式得到大正方形的面积为（a+b）2，小正方形的面积为（a﹣b）2，利用面积相等推导出（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2． 【详解】解：∵大正方形的面积为（a+b）2，小正方形的面积为（a﹣b）2， 4个全等的长方形面积和为4ab， ∴得到结论：大正方形面积减去四个长方形面积＝小正方形的面积， 即：（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2． 【点睛】本题考查全等图形，正方形的面积，完全平方公式的几何意义；熟练掌握正方形的面积公式是解题的关键． 【考点题型十四】全等三角形综合问题（） 【例14】（2022七年级下·上海·专题练习）下列说法中不正确的是（　　） A．各有一个角为130°，且底边相等的两个等腰三角形全等 B．各有一个角为50°，且底边相等的两个等腰三角形全等 C．各有一个角为50°，且其所对的直角边相等的两个直角三角形全等 D．各有一个角为50°，且有斜边相等的两个直角三角形全等 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定方法进行判断即可． 【详解】A．各有一个角为130°，则两个等腰三角形的底角必为25°，再加上底边相等根据ASA可证得两个等腰三角形一定全等；故本选项正确； B．各有一个角为50°，则这个角既可以是底角也可以是顶角，当一个等腰三角形以50°为顶角，另一个等腰三角形以50°为底角时，这两个三角形的三个内角分别为：65°、65°、50°和50°、50°、80°，显然此时两个三角形不全等；故本选项错误； C．各有一个角为50°，且其所对的直角边相等的两个直角三角形，符合两三角形全等的判定定理“AAS”；故本选项正确； D．各有一个角为50°，且有斜边相等的两个直角三角形，符合“AAS”，可判断两个直角三角形全等；故本选项正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键. 【变式14-1】（2022七年级下·上海·专题练习）如图，已知点D、E分别在AB、AC上，BE与CD相交于点F，AB＝AC，∠C＝∠B，有3个结论：（1）∠AEB＝∠ADC；（2）∠A+∠EFD＝180°；（3）CE＝BD，其中一定正确的（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】（1）通过证得△AEB≌△ADC，即可证得结论； （2）根据题意，只有在CD⊥AB，BE⊥AC时，∠A+∠EFD＝180°才成立； （3）根据全等三角形的性质即可证得AD＝AE，进而即可证得结论． 【详解】解：（1）在△AEB和△ADC中， ， ∴△AEB≌△ADC（ASA）， ∴∠AEB＝∠ADC， 故（1）正确； （2）∵∠EFD＝∠CEF+∠C， ∴∠A+∠EFD＝∠CEF+∠A+∠C＝∠CEF+∠BDF， ∵∠AEB＝∠ADC， ∴∠CEF＝∠BDF， 若∠A+∠EFD＝180°，则∠CEF＝∠BDF＝90°， 故只有在CD⊥AB，BE⊥AC时，∠A+∠EFD＝180°才成立， 故（2）错误； （3）∵△AEB≌△ADC， ∴AD＝AE， ∵AB＝AC， ∴CE＝BD， 故（3）正确； 综上，3个结论中一定正确的是（1）（3）两个， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型． 【变式14-2】（2022七年级下·上海·专题练习）已知：如图，AC＝DC，∠1＝∠2，请添加一个已知条件： ，使ABCDEC． 【答案】 【分析】已知给出了∠1＝∠2，可得三角形中一对应角相等，又有一边对应相等，根据边角边判定定理，补充BC＝AC可得ABCDEC答案可得． 【详解】解：∵∠1＝∠2， ∴∠BCA＝∠ECD， 又AC＝DC，添加BC＝CE， ∴ABCDEC（SAS）． 故答案为：BC＝EC． 【点睛】此题考查了三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．解题的关键是添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件． 【变式14-3】（2022七年级下·上海·专题练习）已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB、DF⊥AC垂足分别为E、F，请说明△ADE≌△ADF的理由． 解：因为DE⊥AB、DF⊥AC （ ） 所以∠AED＝90°，∠AFD＝90°（ ） 所以∠AED＝∠AFD （ ） 因为AD是△ABC的角平分线 （ ） 所以∠DAE＝∠DAF （ ） 在△ADE与△ADF中 ∠AED＝∠AFD、∠DAE＝∠DAF（ ），AD=AD， 所以△ADE≌△ADF （ ）． 【答案】已知，垂直定义，等量代换，已知，角平分线定义，已证，AAS 【难度】0.65 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的有关计算 【分析】求出∠AED＝∠AFD，∠DAE＝∠DAF，根据AAS推出两三角形全等即可． 【详解】解：∵DE⊥AB，DF⊥AC（已知）， ∴∠AED＝90°，∠AFD＝90°（垂直定义）， ∴∠AED＝∠AFD（等量代换）， ∵AD是△ABC的角平分线（已知）， ∴∠DAE＝∠DAF（角平分线定义）， 在△ADE和△ADF中 ∠AED＝∠AFD，∠DAE＝∠DAF（已证），AD＝AD， ∴△ADE≌△ADF（AAS）， 故答案为：已知，垂直定义，等量代换，已知，角平分线定义，已证，AAS． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，角平分线定义，垂直定义的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS． 【变式14-4】（21-22七年级下·上海·期末）在中，，，是延长线上的一点，于，与交于，求证：及 【答案】见解析 【难度】0.65 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】根据题意得列出≌的条件得到，再过点作于，据图形的判断可直接证明． 【详解】证明：， ． ，， ． 在和中， ， ≌， ， 过点作于， 在中，， ， 由图形可知：， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形得判定及性质，解题的关键是找到判断全等三角形的条件即可． 【提升训练】 一、单选题 1．（21-22七年级下·上海闵行·阶段练习）下列语句正确的是（    ） A．有两边对应相等，且有一个角为30°的两个三角形全等 B．有两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 C．有一个角为40°，且腰长相等的两个等腰三角形全等 D．三个角对应相等的两个三角形全等 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定定理逐一分析即可． 【详解】解：A.有两边对应相等，且有一个角为30°的两个三角形不符合三角形全等的判定方法，故本选项错误； B.有两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形，利用AAS即可证明三角形全等，故本选项正确； C.有一个角为40°，且腰长相等的两个等腰三角形不一定全等，故本选项错误； D.三个角对应相等不能判定两个三角形全等，故本选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，难度不大，属于基础题．注意：，不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 2．（22-23七年级下·上海普陀·期末）下列说法：①同旁内角互补；②对顶角相等；③三角形的一个外角大于任何一个内角；④如果三条线段、、满足，那么这三条线段、、一定能组成三角形．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据平行线的性质可判定①，根据对顶角的性质可判定②，利用三角形外角的性质可判定③，由三角形的三边关系可判定④． 【详解】解：①两直线平行，同旁内角互补，故原说法错误； ②对顶角相等，故原说法正确； ③三角形的外角大于它的任何一个不相邻的内角，故原说法错误； ④比如，满足条件，但不能组成三角形，故原说法错误， 故正确的个数有1个． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，对顶角的性质，三角形外角的性质，三角形的三边关系．掌握相关性质定理是解题的关键． 3．（22-23七年级下·上海浦东新·阶段练习）下列分类正确的是（    ） A．三角形可分为等腰三角形、等边三角形 B．三角形可分为不等边三角形、等腰三角形以及等边三角形 C．三角形可分为不等边三角形和等边三角形 D．三角形可分为不等边三角形和等腰三角形 【答案】D 【分析】根据三角形的分类即可求解． 【详解】解：三角形可分为不等边三角形和等腰三角形 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的分类，熟练掌握三角形的分类是解题的关键．把三条边互不相等的三角形称为不等边三角形；把有两条边相等的三角形称为等腰三角形，相等的两边叫做等腰三角形的腰；把三条边都相等的三角形称为等边三角形（或正三角形）. 4．（22-23七年级下·上海浦东新·阶段练习）如图，平分，，连接、，并延长交、于、点，则图中全等的三角形有(    )对．    A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】B 【分析】认真观察图形，确定已知条件在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法，仔细寻找． 【详解】解：平分， ， 在与中， ， ， ，，， 又， ， ，，． ，，，，共对． 故选：B． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 二、填空题 5．（23-24七年级下·上海·阶段练习）如图，已知，，点在一条直线上，则 度． 【答案】60 【分析】本题主要考查了三角形外角的定义和性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题关键．三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．据此即可获得答案． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：60． 6．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）如图，与是两个形状、大小完全相同的直角三角形，B、C、D、F在同一条直线上，点与点重合，其中，，．将沿射线方向平移到的位置，连接，若，则的面积是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了平移和三角形的面积， 过点作,先求出边的高，再分当在线段上和在线段延长线上时两种情况求三角形面积即可. 【详解】解：如图，过点作, 与是两个形状、大小完全相同的直角三角形，，，． ∴，，，， ∵ ∴， ∴， 当在线段上时，， 的面积， 当在线段延长线上时，， 的面积， 答案为或 . 7．（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）如图，在中，是边上的高，，平分交于点E，，则的度数为 ． 【答案】/58度 【分析】本题考查了三角形角平分线、中线和高，三角形内角和定理与三角形外角的性质，由三角形外角的性质，得到，进而得到，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题 8．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，已知，点在边上，，请说明的理由． 解：因为是的一个外角 所以　　（ ） 因为 所以（ ） 因为（ ） 所以（ ）    【答案】，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，等量代换，已知，等式的性质 【分析】本题考查三角形外角的性质，关键是由三角形外角的性质得到． 由三角形外角的性质推出，而，而（已知），推出． 【详解】解：因为是的一个外角， 所以（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）， 因为， 所以（等量代换）， 因为（已知）， 所以（等式的性质）． 故答案为：，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，等量代换，已知，等式的性质. 9．（23-24七年级下·上海黄浦·期末）如图，在中，，，点在线段上运动（不与、重合），连接，作，与交于． (1)当时，请说明与全等的理由． (2)在点D的运动过程中，的度数是多少时，的形状是等腰三角形．（请直接写出的度数）． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定，三角形外角的性质，三角形的内角和； （1）根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可知，再根据全等三角形的判定即可解答； （2）根据等腰三角形的性质分①当时②当时两种情况再等腰三角形性质及三角形的内角和定理即可解答． 【详解】（1）解：当时，，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在和中， ∴， ∴ （2）解：如图，当时， ∵， ∴在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，， ∵， ∴；    当时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， 当时， 此时不符合题意，此种情况不存在， 综上，的度数为或；    10．（2024七年级下·上海·专题练习）（1）阅读并填空：如图①，、分别是的内角、的平分线． 试说明的理由． 解：因为平分（已知）， 所以 （角平分线定义）． 同理： ． 因为，， ， 所以 （等式性质）． 即：． （2）探究，请直接写出结果，无需说理过程： 如图②，、分别是的两个外角、的平分线．试探究与之间的等量关系． 答：与之间的等量关系是 ． 如图③，、分别是的一个内角和一个外角的平分线．试探究与之间的等量关系． 答：与之间的等量关系是 ． （3）如图④，中，，、分别平分、，是的外角的平分线．试说明的理由． 【答案】（1）见解析；（2）；；（3）见解析 【分析】本题考查了三角形的外角性质的应用，能熟记三角形外角性质定理是解此题的关键，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．关键“三角形的一个内角等于和它不相邻的两个外角的和”、“三角形的内角和等于”及等式的性质分析求解． （1）根据平分线定义得，，再根据三角形的内角和定理即可得证； （2）根据角平分线定义、三角形的内角和定理即可得证； （3）根据角平分线定义、三角形的内角和定理及外角性质即可得证； 【详解】（1）解：因为平分（已知）， 所以（角平分线定义）． 同理：． 因为，（三角形的内角和等于180， 所以 （等式性质）． 即：． （2）解：与之间的等量关系是：．理由： 、分别是的两个外角、的平分线， ，， ， ， 而， ， ， ， ， ， 与之间的等量关系是：． 理由：、分别是的一个内角和一个外角的平分线， ， 即： （3）解：因为平分（已知）， 所以（角平分线定义）． 同理：，． ，（三角形的一个外角等于两个不相邻的内角和）， ． 又（已知）， （等式性质）． （平角的定义）， ． （三角形的内角和等于， （等式性质）． （等量代换）． ．（等角对等边）． 3 / 3 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