第6章 平面向量及其应用 阶段复习提升课（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教A版2019）

[对应学生用书P39] 专题一　平面向量的线性运算及其应用 向量线性运算的基本原则和求解策略 　(1)向量是一个有“形”的几何量，因此在进行向量线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧． (2)字符表示线性运算的常用技巧——首尾相接用加法的三角形法则，如＋＝；共起点两个向量作差用减法的几何意义，如－＝. (3)理解向量的有关概念，如平行向量(共线向量)、相等向量与相反向量、单位向量等，并进行恰当地应用． (4)注意常见结论的应用，如在△ABC中，点D是BC的中点，则＋＝2；＝λ＋(1－λ)⇔P，A，B三点共线． [练1] 已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y).若a－2b＋3c＝0，则c＝(　　) A．(1，) B．(，) C．(，) D．(－，－) D　解析：因为a－2b＋3c＝(5，－2)－2(－4，－3)＋3(x，y)＝(13＋3x，4＋3y)＝(0，0)， 所以解得 [练2] 在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝________，y＝________. 答案：　－　解析：∵＝2，∴＝.∵＝.∴＝(＋)，∴＝－＝(＋)－＝－.又＝x＋y， ∴x＝，y＝－. 专题二　平面向量数量积的运算 平面向量数量积运算的两种方法 　(1)利用向量数量积的定义，即a·b＝|a|·|b|·cos θ； (2)利用坐标运算，即a·b＝x1x2＋y1y2. 同时还要掌握利用数量积求向量的夹角、求向量的长度和判断两个向量垂直的方法． [练3] 在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2，1)，则·＝(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 A　解析：由四边形ABCD为平行四边形，知＝＋＝(3，－1).故·＝(2，1)·(3，－1)＝5. [练4] 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，AD＝3，CD＝2，＝2.若·＝－3，则·＝________． 答案：　解析：因为·＝(＋)·(－＋)＝－2－·＝－3，所以·＝. [练5] 已知平面内有向量＝(1，7)，＝(5，1)，＝(2，1)，X为直线OP上的一个动点． (1)当·取最小值时，求的坐标； (2)当点X满足(1)的条件和结论时，求cos ∠AXB的值． 解：(1)设＝(x，y)，因为点X在直线OP上， 所以向量与共线．又＝(2，1)， 所以x×1－y×2＝0，即x＝2y， 所以＝(2y，y).又＝－＝(1－2y，7－y)， ＝－＝(5－2y，1－y)， 于是·＝(1－2y)(5－2y)＋(7－y)(1－y)＝5y2－20y＋12＝5(y－2)2－8. 所以，当y＝2时，·取最小值－8，此时＝(4，2). (2)当＝(4，2)，即y＝2时， 有＝(－3，5)，＝(1，－1)，·＝－8， 所以cos ∠AXB＝＝＝－. 专题三　平面向量的平行与垂直问题 1．证明向量共线的常用方法 (1)向量a，b(a≠0)共线⇔存在唯一实数λ，使b＝λa. (2)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线⇔x1y2－x2y1＝0. (3)向量a与b共线⇔|a·b|＝|a||b|. (4)向量a与b共线⇔存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0. 2．证明向量垂直的常用方法 a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2). [练6] 若a＝(1，2)，b＝(－3，0)，(2a＋b)∥(a－mb)，则m＝(　　) A．－ B． C．2 D．－2 A　解析：因为a＝(1，2)，b＝(－3，0)，所以2a＋b＝(－1，4)，a－mb＝(1＋3m，2).由2a＋b与a－mb平行，得－1×2－4(1＋3m)＝0，解得m＝－. [练7] 设e1，e2是平面内的一组基底，＝3e1＋2e2，＝4e1－e2，＝5e1－4e2，则(　　) A．A，B，C三点共线 B．A，C，D三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，B，D三点共线 C　解析：A选项，设＝a，则，无解，故A，B，C三点不共线，A错误； B选项，设＝b，则，无解，故A，C，D三点不共线，B错误； C选项，＝－＝4e1－e2－(3e1＋2e2)＝e1－3e2， ＝－＝5e1－4e2－4e1＋e2＝e1－3e2， 故＝，故B，C，D三点共线，C正确； D选项，＝－＝5e1－4e2－3e1－2e2＝2e1－6e2， 设＝c，则，无解，故A，B，D三点不共线，D错误． [练8] 已知|a|＝4，|b|＝2，a，b的夹角为. (1)求|3a＋b|的值； (2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)? 解：(1)因为|a|＝4，|b|＝2，a，b的夹角为， 所以a·b＝|a||b|cos ＝4×2×(－)＝－4. 所以|3a＋b|＝＝＝2. (2)由(1)知，a·b＝－4，|a|＝4，|b|＝2. 因为(a＋2b)⊥(ka－b)， 所以(a＋2b)·(ka－b)＝0，即k|a|2－a·b＋2ka·b－2|b|2＝0， 所以16k＋4－8k－8＝0，解得k＝. 所以当k＝时，(a＋2b)⊥(ka－b). 专题四　向量的夹角与模的问题 1．解决向量模的问题的常用策略 (1)应用公式：|a|＝(其中a＝(x，y)). (2)应用三角形法则或平行四边形法则． (3)应用向量三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. (4)研究模的平方|a±b|2＝(a±b)2. 2．求向量的夹角 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，两向量夹角θ(0≤θ≤π)的余弦cos θ＝＝. [练9] 已知a＝(－1，3)，b＝(1，t)，若(a－2b)⊥a，则|b|＝________． 答案：　解析：因为a＝(－1，3)，b＝(1，t)，所以a－2b＝(－3，3－2t). 因为(a－2b)⊥a，所以(a－2b)·a＝0，即(－3)×(－1)＋3(3－2t)＝0，解得t＝2，所以b＝(1，2)，所以|b|＝＝. [练10] 设|a|＝|b|＝1，|3a－2b|＝3，求|3a＋b|的值． 解：方法一　∵|3a－2b|＝3，∴9a2－12a·b＋4b2＝9.又|a|＝|b|＝1，∴a·b＝. ∴|3a＋b|2＝(3a＋b)2＝9a2＋6a·b＋b2 ＝9＋6×＋1＝12.∴|3a＋b|＝2. 方法二　设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2). ∵|a|＝|b|＝1，∴x＋y＝x＋y＝1. ∵3a－2b＝(3x1－2x2，3y1－2y2)， ∴|3a－2b|＝＝3. ∴x1x2＋y1y2＝. ∴|3a＋b|＝ ＝＝2. 专题五　余弦定理、正弦定理及其应用 　这类问题一般要先审查题设条件，进行归类，根据题目类型确定应用哪个定理入手解决． 解斜三角形有下表所示的四种情况： 已知 条件 应用 定理 一般解法 一边和 两角(如 a，B，C) 正弦 定理 由A＋B＋C＝180°求出角A；由正弦定理求出b与c；在有解时只有一解 两边和 夹角(如 a，b，C) 余弦 定理 由余弦定理求出第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再由A＋B＋C＝180°求出另一角；在有解时只有一解 三边 (a，b，c) 余弦 定理 由余弦定理求出角A，B，再利用A＋B＋C＝180°求出角C；在有解时只有一解 两边和其 中一边的 对角(如 a，b，A) 正弦 定理 由正弦定理求出角B，由A＋B＋C＝180°求出角C，再利用正弦定理求出c；可有两解、一解或无解 [练11] 若b2＋c2－a2＝bc，且(a－c cos B)sin B＝(b－c cos A)sin A，那么△ABC是(　　) A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 B　解析：由余弦定理可得cos A＝＝＝， 因为0<A<π，所以A＝， 因为(a－c cos B)sin B＝(b－c cos A)sin A， 由正弦定理可得(sin A－sin C cos B)sin B＝(sin B－sin C cos A)sin A， 整理可得sin B cos B＝sin A cos A，所以sin 2B＝sin 2A， 所以2A＋2B＝π或2A＝2B， 因为A＝，所以B＝，所以C＝π－A－B＝π－－＝， 所以△ABC是等腰直角三角形．故选B. [练12] 在△ABC中，B＝45°，AC＝，cos C＝. (1)求BC边的长； (2)求AB边上的中线CD的长． 解：(1)由cos C＝，得sin C＝. 所以sin A＝sin (180°－45°－C)＝sin (45°＋C)＝(cos C＋sin C)＝. 由正弦定理，得BC＝＝×＝3. (2)由正弦定理，得AB＝＝×＝2. 所以BD＝AB＝1. 在△BCD中，由余弦定理，得 CD＝ ＝＝. [练13] 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＝5，c＝6，cos A＝. (1)求a的值； (2)求sin B的值及△ABC的面积． 解：(1)因为b＝5，c＝6，cos A＝，由余弦定理知： a2＝b2＋c2－2bc cos A＝25＋36－2×5×6×＝13，则a＝. (2)由cos A＝且A为三角形内角，则sin A＝＝， 又＝，所以sin B＝＝＝. S△ABC＝bc sin A＝×5×6×＝9. [练14] 如图，某广场有一块不规则的绿地，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC，△ABD.经测量AD＝BD＝7 m，BC＝5 m，AC＝8 m，C＝D. (1)求AB的长度； (2)若环境标志的底座每平方米造价为5 000元，不考虑其他因素，谁的设计使得建造费用较低，较低造价为多少？ 解：(1)在△ABC中，由余弦定理，得 cos C＝＝＝. 在△ABD中，由余弦定理得 cos D＝＝＝. 由C＝D，得cos C＝cos D，所以＝， 解得AB＝7，所以AB的长度为7 m. (2)小李的设计使建造费用较低．理由如下： 因为S△ABD＝·AD·BD·sin D＝sin D， S△ABC＝·AC·BC·sin C＝20sin C， 又sin D＝sin C，所以S△ABD>S△ABC.故小李的设计的建造费用较低． 因为AD＝BD＝AB＝7，所以△ABD是等边三角形，所以D＝C＝60°， 所以S△ABC＝×AC×BC×sin C＝10， 较低造价为5 000×10＝50 000(元). [阶段质量检测(一)见P179] 学科网（北京）股份有限公司 $$