7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教A版2019）

7.2　复数的四则运算 7．2.1　复数的加、减运算及其几何意义 学习目标 1.结合实数的加、减运算法则，熟练掌握复数代数表示式的加、减运算法则． 2．了解复数加法、减法运算的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题． 知识点一　复数的加、减运算 1．复数加法、减法的运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则： (1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i； (2)z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i． 2．复数加法的运算律 对任意z1，z2，z3∈C，有 (1)z1＋z2＝z2＋z1； (2)(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． [例1] (1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝________. (2)已知z1＝(3x－4y)＋(y－2x)i，z2＝(－2x＋y)＋(x－3y)i，x，y为实数．若z1－z2＝5－3i，则|z1＋z2|＝________． 答案：(1)－2－i　(2)　解析：(1)(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i＝－2－i. (2)z1－z2＝[(3x－4y)＋(y－2x)i]－[(－2x＋y)＋(x－3y)i]＝[(3x－4y)－(－2x＋y)]＋[(y－2x)－(x－3y)]i＝(5x－5y)＋(－3x＋4y)i＝5－3i， 所以解得x＝1，y＝0， 所以z1＝3－2i，z2＝－2＋i，则z1＋z2＝1－i， 所以|z1＋z2|＝. 复数加、减运算的思路 两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减).复数的减法是加法的逆运算．当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减). [练1] －i－(－1＋5i)＋(－2－3i)－(i－1)＝________. 答案：－10i　解析：－i－(－1＋5i)＋(－2－3i)－(i－1)＝1－2＋1－i－5i－3i－i＝－10i. [练2] 设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，求z1－z2. 解：因为z1＝x＋2i，z2＝3－yi，z1＋z2＝5－6i， 所以(3＋x)＋(2－y)i＝5－6i， 所以所以 所以z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝(2－3)＋[2－(－8)]i＝－1＋10i. 知识点二　复数加、减运算的几何意义 我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应，平面向量的坐标运算法则是什么？向量加法的几何意义是什么？ 复数加、减运算的几何意义 复数加法的几何意义 复数z1＋z2是以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数 复数减法的几何意义 复数z1－z2是从向量OZ2的终点指向向量OZ1的终点的向量Z2Z1所对应的复数 复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则． [例2] 已知四边形ABCD是复平面上的平行四边形，顶点A，B，C分别对应复数－5－2i，－4＋5i，2，求点D对应的复数及对角线AC，BD的长． 解：如图，因为AC与BD的交点M是各自的中点，所以有zM＝＝， 所以zD＝zA＋zC－zB＝1－7i. 因为对应复数zC－zA＝2－(－5－2i)＝7＋2i， 所以||＝|7＋2i|＝＝. 因为对应复数zD－zB＝(1－7i)－(－4＋5i)＝5－12i， 所以||＝|5－12i|＝＝13. 故点D对应的复数是1－7i，AC与BD的长分别是和13. 用复数加、减运算的几何意义解题的技巧 (1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理． (2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中． [练3] 设OZ1及OZ2分别与复数z1＝5＋3i及复数z2＝4＋i对应，计算z1－z2，并在复平面内作出OZ1－OZ2． 解：z1－z2＝(5＋3i)－(4＋i)＝(5－4)＋(3－1)i＝1＋2i.OZ1－OZ2＝Z2Z1，如图所示． [练4] 设OZ1及OZ2分别与复数z1＝1＋3i及复数z2＝2＋i对应，计算z1＋z2，并在复平面内作出OZ1＋OZ2． 解：z1＋z2＝(1＋3i)＋(2＋i)＝(1＋2)＋(3＋1)i＝3＋4i. OZ1＋OZ2即为以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形OZ1ZZ2的对角线OZ所对应的向量(如图). 综合应用：复数模的综合问题 [例3] 如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是(　　) A．1 B． C．2 D． A　解析：设复数z，－i，i，－1－i在复平面内对应的点分别为Z，Z1，Z2，Z3. 因为|z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，所以点Z的集合为线段Z1Z2. 所以点Z在线段Z1Z2上移动，|ZZ3|min＝1，所以|z＋i＋1|min＝1. 两个复数差的模的几何意义 (1)|z－z0|表示复数z，z0对应的点之间的距离，在应用时，要把绝对值内变为两复数差的形式． (2)|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆． (3)涉及复数模的最值问题以及点的集合所表示的图形问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解． [练5] 已知△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的(　　) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 A　解析：设复数z与复平面内的点Z相对应，由△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3及|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，可知点Z到△ABC的三个顶点的距离相等，由三角形外心的定义可知，点Z为△ABC的外心． 1．知识清单 (1)复数代数形式的加、减运算． (2)复数加、减法的几何意义． (3)复数模的综合问题． 2．方法归纳：类比、数形结合． 3．常见误区：忽略模的几何意义． ◎随堂演练 1．已知复数z满足z－(1＋i)＝2＋3i，则z＝(　　) A．3＋4i B．3－4i C．－3＋4i D．－3－4i A　解析：因为z－(1＋i)＝2＋3i，所以z＝2＋3i＋(1＋i)＝3＋4i. 2．已知z1＝2＋i，z2＝1＋2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 B　解析：z＝z2－z1＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i，实部小于零，虚部大于零，故位于第二象限． 3．已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________． 答案：－1　解析：∵z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数，∴解得a＝－1. 4．已知复数z1＝－2＋i，z2＝－1＋2i. (1)求z1－z2； (2)在复平面内作出复数z1－z2所对应的向量． 解：(1)由复数减法的运算法则，得 z1－z2＝(－2＋i)－(－1＋2i)＝－1－i. (2)在复平面内作复数z1－z2所对应的向量(－1，－1)，如图中. [课时梯级训练(18)见P186] 学科网（北京）股份有限公司 $$