7.1.2 复数的几何意义（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教A版2019）

7.1.2　复数的几何意义 [对应学生用书P44] 学习目标 1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系． 2．掌握实轴、虚轴、模等概念． 3．掌握用向量的模来表示复数的模的方法． 知识点一　复数与复平面内点的对应关系 有序实数对是和坐标平面上的点一一对应的，复数能和坐标平面上的点一一对应吗？ 1．复平面 2．复数与复平面内点的对应关系(复数的几何意义) 复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内点Z(a，b). 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数． [例1] 已知复数z＝(a2－1)＋(2a－1)i，其中a∈R.当复数z在复平面内对应的点Z满足下列条件时，求a的值(或取值范围). (1)在实轴上；(2)在第三象限． 解：(1)若复数z对应的点在实轴上，则有 2a－1＝0，解得a＝. (2)若z对应的点在第三象限，则有 解得－1<a<.故a的取值范围是(－1，). 对复数与其对应点关系的理解 复数的实部、虚部分别对应复平面内相应点的横坐标和纵坐标，在复平面内复数所表示的点所处的位置，决定了复数实部、虚部的取值特征． [练1] 在复平面内，复数3－4i，－1＋2i对应的点分别是A，B，则线段AB的中点C对应的复数为(　　) A．－2＋2i B．2－2i C．－1＋i D．1－i D　解析：因为复数3－4i，－1＋2i对应的点分别为A(3，－4)，B(－1，2)，所以线段AB的中点C的坐标为(1，－1)，则线段AB的中点C对应的复数为1－i. 知识点二　复数与复平面内向量的关系 1．复数与复平面内向量的关系 (1)过程：如图，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi(a，b∈R)，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z也可以由向量唯一确定． (2)结论：复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量. 2．复数的模(绝对值) (1)定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值． (2)记法：记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝，其中a，b∈R. 如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模就等于|a|(a的绝对值). [例2] (1)(2024·新课标Ⅱ卷)已知z＝－1－i，则|z|＝(　　) A．0 B．1 C． D．2 (2)设复数z1＝3＋4i在复平面内对应的点为Z1，对应的向量为OZ1；复数z2在复平面内对应的点为Z2，对应的向量为OZ2．已知Z1与Z2关于虚轴对称，求z2并判断|OZ1|与|OZ2|的大小关系． (1)C　解析：若z＝－1－i，则|z|＝＝.故选C. (2)解：由题意可知Z1(3，4)， 又因为Z1与Z2关于虚轴对称，所以Z2(－3，4)， 从而有z2＝－3＋4i， 因此|OZ2|＝|z2|＝＝5. 又因为|OZ1|＝|z1|＝＝5， 所以|OZ1|＝|OZ2|. 1．复数与向量的对应和转化 (1)对应：复数z与向量是一一对应关系． (2)转化：复数的有关问题转化为向量问题求解． 2．复数模的计算 计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算． 提醒：利用模的定义可将复数问题转化为实数问题求解． [练2] 在复平面内指出与复数z1＝－1＋i，z2＝2－i，z3＝－i，z4＝＋3i对应的点Z1，Z2，Z3，Z4，然后在复平面内画出这4个复数对应的向量． 解：由题意知Z1(－1，)，Z2(2，－1)，Z3(0，－1)，Z4(，3)， 在复平面内，复数z1，z2，z3，z4对应的向量分别为OZ1，OZ2，OZ3，OZ4．如图所示． [练3] 已知复数z对应的向量为(O为坐标原点)，与实轴正方向的夹角为120°，且复数z的模为2，求复数z. 解：由题意设点Z的坐标为(a，b)(a<0). 因为||＝|z|＝2，∠xOZ＝120°， 所以解得a＝－1，b＝±， 即点Z的坐标为(－1，)或(－1，－)， 所以z＝－1＋i或z＝－1－i. 知识点三　共轭复数 共轭复数 　(1)一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数． (2)记法：复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi，那么＝a－bi． (3)图示： (1)||＝|z|. (2)实数的共轭复数是它本身，即＝z⇔z∈R. [例3] 已知复数z在第二象限，它的模是3，实部是－，求这个复数的共轭复数． 解：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则x＝－. 由|z|＝3，得(－)2＋y2＝9， 即y2＝4，解得y＝±2. ∵复数z对应的点在第二象限， ∴y＝2. ∴z＝－＋2i，＝－－2i. 互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称．特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上． [练4] 若复数z＝a－i(a∈R，且a＞0)的模为，则a＝________，复数z的共轭复数＝________. 答案：1　1＋i　解析：∵|z|＝＝，且a＞0， ∴a＝1，则z＝1－i，∴＝1＋i. 综合应用：复数模的几何意义 [例4] 已知复数z1＝＋i，z2＝－＋i. (1)求|z1|及|z2|并比较大小； (2)设z∈C，且|z|＝|z1|，则复数z在复平面内对应的点Z的集合是什么图形？ 解：(1)因为|z1|＝＝2，|z2|＝＝1，所以|z1|>|z2|. (2)由|z|＝|z1|＝2知||＝2(O为坐标原点)，所以点Z到原点的距离为2，所以点Z的集合是以原点为圆心，2为半径的圆． 解决复数模的几何意义时，应根据复数模的定义|z|＝||，并依据|z|满足的条件，判断点Z的集合表示的图形，把复数模的问题转化为几何问题解决．比较常见的几何图形有直线、圆、圆环等． [练5] 设z∈C，且1≤|z|≤2，在复平面内，z对应点Z，则Z点的轨迹图形的面积为(　　) A．π B．2π C．3π D．4π C　解析：由z∈C，且1≤|z|≤2知，在复平面内，z对应的点Z的轨迹图形为圆环，大圆半径为2，小圆半径为1，其轨迹面积为π×22－π×12＝3π. 1．知识清单 (1)复数与复平面内的点、向量之间的对应关系． (2)复数的模及其几何意义． (3)共轭复数． 2．方法归纳：待定系数法、数形结合． 3．常见误区：虚数不能比较大小，虚数的模可以比较大小． ◎随堂演练 1．复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 C　解析：z＝－1－2i在复平面内对应的点为Z(－1，－2)，位于第三象限． 2．已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值为(　　) A．1或3 B．1 C．3 D．2 A　解析：依题意可得＝2，解得m＝1或m＝3.故选A. 3．复数z满足|z|＝1，且在复平面内z对应的点为Z，则复平面内点Z的轨迹是(　　) A．点 B．单位圆 C．线段 D．圆环 B　解析：由于|z|＝1，故z对应点Z到原点的距离为1，所以复平面内点Z的轨迹是单位圆． 4．当实数m为何值时，复数(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i(i为虚数单位)在复平面中的对应点． (1)位于第四象限？ (2)位于x轴的负半轴上？ 解：(1)由得 所以－7<m<3. (2)由得 所以m＝4. [课时梯级训练(17)见P184] 学科网（北京）股份有限公司 $$