6.4.3 第4课时 余弦定理、正弦定理的综合应用（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教A版2019）

第4课时　余弦定理、正弦定理的综合应用 学习目标 1.掌握三角形的面积公式． 2．了解正弦定理、余弦定理在平面几何中的应用． 3．掌握正弦定理、余弦定理与其他知识的交汇问题． 知识点　三角形面积公式 已知△ABC的两边a，b和角C，如何求△ABC的面积？ 1．三角形的面积公式 S△ABC＝bc sin A＝ac sin B＝ab sin C，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半． 2．△ABC中的常用结论 (1)A＋B＋C＝180°，sin (A＋B)＝sin C，cos (B＋C)＝－cos A； (2)大边对大角，即a>b⇔A>B⇔sin A>sin B． 三角形的面积公式S＝ab sin C与面积公式S＝a·h(h为a边上的高)的关系为h＝b sin C，实质上b sin C就是△ABC中a边上的高． [例1] (2023·全国乙卷)在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1. (1)求sin ∠ABC； (2)若D为BC上一点，且∠BAD＝90°，求△ACD的面积． 解：(1)由余弦定理可得BC2＝a2＝b2＋c2－2bc cos A＝4＋1－2×2×1×cos 120°＝7， 则BC＝，cos ∠ABC＝＝＝，sin ∠ABC＝＝＝. (2)由三角形面积公式可得 ＝＝4， 则S△ACD＝S△ABC＝×(×2×1×sin 120°)＝. 三角形面积计算的依据和解题策略 (1)依据：一般用公式S＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B进行求解； (2)解题策略：①若所求面积为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积；②若所给条件为边角关系，则需要运用正、余弦定理求出两边及其夹角，再利用三角形面积公式进行求解．,\s\do4(　,)) [练1] 在△ABC中，若a＝3，cos C＝，S△ABC＝2，则b＝________． 答案：　解析：∵cos C＝，∴C∈(0，)， ∴sin C＝＝.又S△ABC＝ab sin C＝×3b×＝2，∴b＝. [练2] 在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积等于________． 答案：或　解析：由正弦定理得sin C＝＝＝， ∵AB>AC，∴C>B，∴C＝60°或120°.当C＝60°时，A＝90°，S△ABC＝×1××1＝；当C＝120°时，A＝30°，S△ABC＝AB·AC·sin A＝×1××＝. 综合应用一：余弦定理、正弦定理在平面几何中的应用 [例2] (2024·滨州高一检测)如图，在圆内接四边形ABCD中，B＝120°，AB＝2，AD＝2，△ABC的面积为. (1)求AC； (2)求∠ACD. 解：(1)因为△ABC的面积为，所以AB·BC sin B＝. 又因为角B＝120°，AB＝2，所以BC＝2. 由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos B， AC2＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12，所以AC＝2. (2)因为四边形ABCD为圆内接四边形，且B＝120°，所以D＝60°.又AD＝2，由正弦定理可得，＝，故sin ∠ACD＝＝＝.因为AC>AD，所以0°<∠ACD<60°，所以∠ACD＝45°. 在平面几何中求边、求角，通常思路是先找所求的边、角所在的三角形，再在三角形中通过余弦定理、正弦定理求边和角． [练3] 四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2. (1)求C和BD； (2)求四边形ABCD的面积． 解：(1)由题设及余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos C＝13－12cos C．① BD2＝AB2＋DA2－2AB·DA cos A＝5＋4cos C．② 由①②得cos C＝，故C＝60°，BD＝. (2)四边形ABCD的面积S＝AB·DA sin A＋BC·CD sin C＝(×1×2＋×3×2)sin 60°＝2. 综合应用二：余弦定理、正弦定理与其他知识的交汇 [例3] 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2＝ac，且cos B＝. (1)求＋的值； (2)设·＝，求a＋c的值． 解：(1)由cos B＝，B∈(0，π)，得sin B＝＝. 由b2＝ac及正弦定理，得sin2B＝sinA sin C. 于是＋＝＋＝＝＝＝＝. (2)由·＝，得ca·cos B＝. 由cos B＝，可得ca＝2，即b2＝2. 由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B， 得a2＋c2＝b2＋2ac cos B＝5， 即(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac＝5＋4＝9. 又∵a>0，c＞0，∴a＋c＝3. 用正(余)弦定理解综合问题的思路 解三角形常与向量、三角函数及三角恒等变换知识综合考查，解答此类题目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条件，然后根据题目条件和要求选择正弦定理或余弦定理求解． [练4] 在△ABC中，已知·＝3·. (1)求证：tan B＝3tan A； (2)若cos C＝，求A的值． (1)证明：因为·＝3·，所以||·||·cos A＝3||·||cos B， 所以||cos A＝3||cos B. 由正弦定理得sin B cos A＝3sin A cos B. 因为∠A，∠B皆不为90°， 所以cos A·cos B≠0， 所以tan B＝3tan A. (2)解：因为cos C＝，0<C<π， 所以sin C＝＝，tanC＝2， 则tan [π－(A＋B)]＝2，即tan (A＋B)＝－2， 所以＝－2. 由(1)得＝－2，解得tanA＝1或tan A＝－. 因为cos A>0，所以tan A＝1，所以A＝. 1．知识清单 (1)三角形的面积公式． (2)余弦定理、正弦定理在平面几何中的应用． (3)余弦定理、正弦定理与其他知识的交汇问题． 2．方法归纳：化归转化、数形结合． 3．常见误区：利用余弦定理、正弦定理求值时会出现增根，易忽略检验．,\s\do4(　,)) ◎随堂演练 1．在△ABC中，已知a＝2，b＝3，C＝120°，则S△ABC＝(　　) A． B． C． D．3 B　解析：S△ABC＝ab sin C＝×2×3×＝. 2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C等于(　　) A． B． C． D． C　解析：由余弦定理，得S△ABC＝＝＝ab cos C.又S△ABC＝ab sin C，所以tan C＝1.又C∈(0，π)，所以C＝. 3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bc＝20，S△ABC＝5，△ABC的外接圆半径为，则a＝________． 答案：3　解析：∵S△ABC＝bc sin A＝5，bc＝20，∴sin A＝. ∵△ABC的外接圆半径为，∴由正弦定理知＝2， ∴a＝2sin A＝2×＝3. 4.如图，在△ABC中，B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB＝________． 答案：　解析：在△ACD中，由余弦定理可得cos C＝＝， 由0<C<π，则sin C＝. 在△ABC中，由正弦定理可得＝，则AB＝＝＝. [课时梯级训练(15)见P177] 学科网（北京）股份有限公司 $$