6.4.3 第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教A版2019）

第3课时　余弦定理、正弦定理应用举例 学习目标 会用余弦定理、正弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量等问题． 综合应用一：测量距离问题 [例1] 如图，A，B两点都在河的对岸(不可到达).若在河岸选取相距20米的C，D两点，测得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA＝60°，那么此时A，B两点间的距离是多少？ 解：由正弦定理得 AC＝ ＝＝＝10(1＋)(米)， BC＝DC＝20米． 在△ABC中，由余弦定理得 AB＝＝10(米). ∴A，B两点间的距离为10米． 测量不能到达的两点间的距离的方法 测量不能到达的两点间的距离，利用正余弦定理解斜三角形是一个重要的方法．解决这类问题的关键是构造一个或几个三角形，测量出有关边长和角，用正弦定理、余弦定理进行计算． [练1] 如图，从气球A上测得正前方的河流两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，≈1.73) 答案：60　解析：如图，过点A作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，则在Rt△ABD中，∠ABD＝67°，AD＝46，所以AB＝.在△ABC中，根据正弦定理得BC＝＝46×≈60. 综合应用二：测量高度问题 [例2] 金山寺位于江苏省镇江市润州区，始建于东晋时期，是中国佛教禅宗名寺，民间传说《白蛇传》中的金山寺即指此寺，与普陀寺、文殊寺、大明寺并列为中国的四大名寺，其中慈寿塔为金山标志，砖木结构，七级八面，矗立于数重楼台殿宇之上，如图，记慈寿塔塔高OT，某测量小组选取与塔底O在同一水平面内的两个测量点A，B.现测得∠OAB＝45°，∠OBA＝105°，AB＝18 m，在B点处测得塔顶T的仰角为30°，则塔高OT为(　　) A．36 m B．6 m C．45 m D．15 m A　解析：在△OAB中，因为∠OAB＝45°.∠OBA＝105°， 所以∠AOB＝180°－45°－105°＝30°， 由正弦定理可知＝，即＝，解得OB＝36， 在Rt△OTB中，tan ∠TBO＝，即＝，解得OT＝36(m).故选A. 测量高度问题的解题策略 (1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题． (2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路． [练2] 如图，A，B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是C点在水平面的垂足，求山高CD. 解：因为CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°， 所以CD＝AD. 在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°， 由＝，得AD＝＝＝800(＋1)(m). 即山的高度为800(＋1)m. 综合应用三：测量角度问题 [例3] 一艘客船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°方向，之后它以每小时32海里的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得船与灯塔S相距8海里，则灯塔S在B处的(　　) A．北偏东75° B．北偏东75°或南偏东15° C．南偏东15° D．以上方位都不对 B　解析：如图所示，由题意可知AB＝32×＝16(海里)，BS＝8海里，A＝30°， 在△ABS中，由＝，得sin S＝＝＝， 所以S＝45°或135°，故B＝105°或B＝15°，即灯塔S在B处的北偏东75°或南偏东15°. 测量角度问题的基本思路 解答测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解． [练3] 甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a n mile，乙船向正北方向行驶．若甲船的速度是乙船速度的倍，问甲船应沿什么方向前进才能最快追上乙船？相遇时乙船行驶了多少海里？ 解：如图，设两船在C处相遇，并设∠CAB＝θ，乙船行驶距离BC为x n mile，则AC＝x n mile. 由正弦定理得sin θ＝＝.而θ<60°， ∴θ＝30°，∴∠ACB＝30°，BC＝AB＝a. ∴甲船应沿北偏东30°方向前进才能最快追上乙船，两船相遇时乙船行驶了a n mile. 1．知识清单：不可到达的距离、高度、角度等实际问题的测量方案． 2．方法归纳：数形结合． 3．常见误区：易混淆测量中的一些术语． ◎随堂演练 1．若点A在点C的北偏东30°方向上，点B在点C的南偏东60°方向上，且AC＝BC，则点A在点B的(　　) A．北偏东15°方向上 B．北偏西15°方向上 C．北偏东10°方向上 D．北偏西10°方向上 B　解析：如图，∠ACB＝90°.又因为AC＝BC，所以∠CBA＝45°.因为β＝30°，所以α＝90°－45°－30°＝15°.所以点A在点B的北偏西15°方向上． 2．如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A点在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C，测出A，C间的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为(　　) A．50 m B．50 m C．25 m D． m A　解析：∠ABC＝180°－45°－105°＝30°，在△ABC中，由＝，得AB＝100×＝50(m). 3．设甲、乙两幢楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两幢楼的高分别是(　　) A．20 m， m B．10 m，20 m C.10(－)m，20 m D． m， m A　解析：由题意知，h甲＝20tan 60°＝20(m)， ＝，h乙＝(m). 4．如图，飞机飞行的航线AB和地面目标C在同一铅直平面内，在A处测得目标C的俯角为30°，飞行10千米到达B处，测得目标C的俯角为75°，这时B处与地面目标C的距离为________千米． 答案：5　解析：根据题意可知AB＝10，∠C＝75°－30°＝45°. 在△ABC中，由正弦定理得＝，即BC＝＝5(千米). [课时梯级训练(14)见P175] 学科网（北京）股份有限公司 $$