6.4.3 第2课时 正弦定理（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教A版2019）

第2课时　正弦定理 学习目标 1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系． 2．掌握正弦定理，并能利用正弦定理解三角形、判断三角形解的个数． 知识点　正弦定理的推导 1．如图，在Rt△ABC中，，，各自等于什么？ 2．在一般的△ABC中，＝＝还成立吗？教材是如何说明的？ 1．对正弦定理的理解 (1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立． (2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦． (3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系． (4)主要功能：实现三角形中边角关系的转化． 2．正弦定理的各种变形 (1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C，其中R为△ABC外接圆的半径． (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝，其中R为△ABC外接圆的半径． (3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C. (4)＝＝＝. (5)a sin B＝b sin A，a sin C＝c sin A，b sin C＝c sin B. [练1] 在△ABC中，若B＝30°，b＝2，则＝________. 答案：4　解析：由正弦定理可得＝＝＝4. 综合应用一：已知两角和一边解三角形 [例1] 在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B. 解：根据正弦定理，得a＝＝＝10. 又B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°， 所以b＝＝＝20sin 75°＝20×＝5(＋). 已知任意两角和一边，解三角形的步骤 (1)求角：根据三角形内角和定理求出第三个角． (2)求边：根据正弦定理，求另外的两边． 提醒：已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以上步骤求解． [练2] 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b＝5，cos A＝，sin B＝，则a＝(　　) A．8 B．6 C．5 D．3 B　解析：在△ABC中，0<A<π，由cos A＝，得sin A＝＝＝， 由正弦定理得a＝＝＝6，故选B. 综合应用二：已知两边及一边的对角解三角形 [例2] 在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，解三角形. 解：∵＝， ∴sin C＝＝＝. ∵0°<C<180°，∴C＝60°或C＝120°. 当C＝60°时，B＝75°，b＝＝＝＋1； 当C＝120°时，B＝15°，b＝＝＝－1. 综上可得，b＝＋1，B＝75°，C＝60°或b＝－1，B＝15°，C＝120°. [变式探究] 　若把本例中的条件“A＝45°”改为“C＝45°”，试判断角A有几个值？ 解：∵＝，∴sin A＝＝＝. ∵c＝>2＝a，∴C>A. ∴A为小于45°的锐角，且正弦值为，这样的角A只有一个． 1．已知两边及其中一边的对角，利用正弦定理解三角形的步骤 (1)用正弦定理求出另一边所对角的正弦值，进而求出这个角． (2)用三角形内角和定理求出第三个角． (3)根据正弦定理求出第三条边． 其中进行(1)时要注意讨论该角是否可能有两个值. 2．在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角 或直角 图形 关系式 a＝ b sin A b sin A＜ a＜b a≥b a＞b a≤b 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 [练3] 在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cos C等于(　　) A． B． C． D． B　解析：由正弦定理，得＝，即＝，解得sin C＝.∵AB<AC，∴C<B，C为锐角，∴cos C＝＝. 综合应用三：利用正弦定理判断三角形形状 [例3](2024·济南高一检测)若(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sin A＝2sin B cos C，那么△ABC是(　　) A．直角三角形 B．等边三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．等腰直角三角形 B　解析：由(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，得(b＋c)2－a2＝3bc，化简得b2＋c2－a2＝bc， 所以由余弦定理得cos A＝＝＝. 因为A∈(0，π)，所以A＝，因为sin A＝2sin B cos C， 所以由正余弦定理得a＝2b·，化简得b2＝c2， 所以b＝c，所以△ABC为等边三角形，故选B. 通过边角转化判断三角形形状的方法 (1)化边为角．利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状． (2)化角为边．利用正弦定理化角为边，再根据代数恒等变换得到边的关系(如a＝b，a2＋b2＝c2)，进而确定三角形的形状． [练4] 在△ABC中，若a cos B＝c，则△ABC的形状是(　　) A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 B　解析：因为a cos B＝c，所以sin A cos B＝sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B，所以cos A sin B＝0. 因为sin B>0，所以cos A＝0.又因为0°<A<180°，所以A＝90°，△ABC为直角三角形．故选B. 1．知识清单 (1)正弦定理． (2)正弦定理的变形推论． (3)利用正弦定理解三角形． 2．方法归纳：化归转化、数形结合． 3．常见误区：已知两边及一边所对的角解三角形时易忽略分类讨论． ◎随堂演练 1．在△ABC中，a＝5，b＝3，则sin A∶sin B的值是(　　) A． B． C． D． A　解析：根据正弦定理得＝＝.故选A. 2．在△ABC中，若－＝0，则△ABC的形状一定是(　　) A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 A　解析：因为－＝0，由正弦定理得－＝0，则a2＝b2，即a＝b，所以△ABC的形状一定是等腰三角形． 3．在△ABC中，a＝5，b＝5，A＝30°，则B＝________. 答案：60°或120°　解析：由正弦定理，得＝，得sin B＝＝.∵b>a，∴B>A，且0°<B<180°，∴B＝60°或B＝120°. 4．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶3，则cos C的值为________． 答案：　解析：∵sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶3，∴由正弦定理，得a∶b∶c＝3∶2∶3.设a＝3k，b＝2k，c＝3k(k＞0)，则cos C＝＝＝. [课时梯级训练(13)见P173] 学科网（北京）股份有限公司 $$