6.3.5 平面向量数量积的坐标表示（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教A版2019）

6.3.5　平面向量数量积的坐标表示 学习目标 1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算． 2．能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题． 知识点一　平面向量数量积的坐标表示 在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴和y轴方向相同的两个单位向量，你能计算出i·i，j·j，i·j的值吗？若设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能求出a·b的值吗？ 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2．这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． (1)公式a·b＝|a||b|cos θ(θ为a与b的夹角)与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两个向量的数量积，两者可以相互推导． (2)在求两个向量的数量积时，若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b＝|a|· |b|·cos θ(θ为a与b的夹角)求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b＝x1x2＋y1y2来求解． [例1] (1)设a＝(1，－2)，b＝(－3，4)，c＝(3，2)，则(a＋2b)·c＝(　　) A．12 B．0 C．－3 D．－11 (2)已知a＝(1，1)，b＝(2，5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x＝(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 (1)C　(2)C　解析：(1)∵a＝(1，－2)，b＝(－3，4)，c＝(3，2)，∴a＋2b＝(－5，6)，∴(a＋2b)·c＝(－5)×3＋6×2＝－3. (2)由题意可得，∵8a－b＝(6，3).又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，∴18＋3x＝30，解得x＝4. 平面向量数量积坐标运算的两条途径 进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有以下两条途径： (1)将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算； (2)利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件进行计算．,\s\do4(　,)) [练1] 已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)等于(　　) A．10 B．－10 C．3 D．－3 B　解析：因为a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1，2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10. 知识点二　平面向量的模 模 若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝ 若a＝(x2－x1，y2－y1)，则|a|＝ 向量的模即向量的长度，其大小为平面直角坐标系中两点间的距离．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，所以||＝，即||为A，B两点间的距离． [例2] (1)设平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y).若a∥b，则|3a＋b|等于(　　) A． B． C． D． (2)已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(，0)，则|2a－b|的最大值为________． (1)A　(2)2＋　解析：(1)∵a∥b，∴1×y－2×(－2)＝0，解得y＝－4.∴3a＋b＝(1，2).∴|3a＋b|＝. (2)2a－b＝(2cos θ－，2sin θ)，故|2a－b| ＝ ＝＝. 当cos θ＝－1时，|2a－b|取最大值为2＋. 求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模的平方，即a2＝|a|2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方． (2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． [练2] 已知向量a＝(2，1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|等于(　　) A． B． C．5 D．25 C　解析：∵a＝(2，1)，∴a2＝5.又|a＋b|＝5， ∴(a＋b)2＝50，即a2＋2a·b＋b2＝50，∴5＋2×10＋b2＝50，∴b2＝25，∴|b|＝5. [练3] 已知向量a＝(1，2)，b＝(－3，4)，c＝a＋λb(λ∈R)，则|c|取最小值时，λ的值为________. 答案：－　解析：由a＝(1，2)，b＝(－3，4)，得c＝a＋λb＝(1－3λ，2＋4λ)，故|c|2＝c2＝(1－3λ)2＋(2＋4λ)2＝25λ2＋10λ＋5＝25(λ＋)2＋4.当λ＝－时，|c|min＝2. 知识点三　平面向量的夹角、垂直问题 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 坐标表示 夹角 cos θ＝＝ 垂直 a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0 (1)两向量垂直与两向量平行的坐标表示易混淆；(2)两向量夹角的余弦值大于0的夹角不一定是锐角，同样余弦值小于0的夹角也不一定是钝角． [例3] (1)(2023·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则(　　) A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1 C．λμ＝1 D．λμ＝－1 (2)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋mb，若a，c的夹角与b，c的夹角相等，则m＝(　　) A．－6 B．－5 C．6 D．5 (1)D　(2)D　解析：(1)因为a＝(1，1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)， 由(a＋λb)⊥(a＋μb)可得，(a＋λb)·(a＋μb)＝0， 即(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1.故选D. (2)∵a＝(3，4)，b＝(1，0)，∴c＝a＋mb＝(3＋m，4)， ∵a，c的夹角与b，c的夹角相等， ∴＝，即＝， 化简得＝3＋m，解得m＝5.故选D. 利用数量积的坐标运算求两向量夹角的步骤 (1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积． (2)利用|a|＝计算出这两个向量的模． (3)由公式cos θ＝直接求出cos θ的值． (4)在[0，π]内，由cos θ的值求角θ.,\s\do4(　,)) [练4] 已知向量a＝(2，1)，b＝(m，－3)，若(a－b)⊥a，则实数m＝(　　) A．－6 B．6 C．－4 D．4 D　解析：由题可知，a＝(2，1)，b＝(m，－3)， 则a－b＝(2，1)－(m，－3)＝(2－m，4)，由于(a－b)⊥a，则(a－b)·a＝0， 即2×(2－m)＋4＝0，解得m＝4. [练5] (2024·来宾高一期中)已知向量a＝(4，3)，2a＋b＝(3，18)，则a，b夹角的余弦值为________． 答案：　解析：设向量a与b的夹角为θ，a＝(4，3)，2a＋b＝(3，18)，故b＝(－5，12)，cos θ＝＝＝. 综合应用：平面向量数量积与三角函数的综合 [例4] 已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π].若f(x)＝a·b，求f(x)的最值． 解：f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－)＝3cos x－sin x＝2cos (x＋). 因为x∈[0，π]，所以x＋∈[，]. 从而－1≤cos (x＋)≤，－2≤f(x)≤3. 于是，当x＋＝，即x＝0时，f(x)取得最大值3； 当x＋＝π，即x＝时，f(x)取得最小值－2. 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 (1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式时，先运用向量相关知识，得到三角函数的关系式，然后求解． (2)当给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式时，一般经过向量运算，利用三角函数在定义域内的有界性求解． [练6] 已知向量m＝(sin α－2，－cos α)，n＝(－sin α，cos α)，其中α∈R. (1)若m⊥n，求α； (2)若|m－n|＝，求cos 2α的值． 解：(1)若m⊥n，则m·n＝0， 即－sin α(sin α－2)－cos2α＝0， 解得sinα＝，可得α＝2kπ＋或α＝2kπ＋，k∈Z. (2)若|m－n|＝，则(m－n)2＝2， 即(2sin α－2)2＋(－2cos α)2＝2， 即4sin2α＋4－8sinα＋4cos2α＝2， 即8－8sinα＝2，可得sin α＝， 所以cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝－. 1．知识清单 (1)平面向量数量积的坐标表示． (2)平面向量的模． (3)平面向量的夹角、垂直问题． 2．方法归纳：转化与化归． 3．常见误区：两向量夹角的余弦公式易记错． ◎随堂演练 1．已知向量a＝(－4，3)，b＝(5，12)，则a·b＝(　　) A．52 B．－3 C．－10 D．16 D　解析：由已知得a·b＝－20＋36＝16.故选D. 2．已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为(　　) A． B． C． D． B　解析：a·b＝3×1＋(－1)×(－2)＝5，|a|＝＝，|b|＝＝.设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝. 又0≤θ≤π，∴θ＝. 3．(2024·保山高一期中)已知向量a＝(1，x)，b＝(4，－x)，则“x＝2”是“a⊥b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　解析：由向量a＝(1，x)，b＝(4，－x)， 若a⊥b，可得a·b＝(1，x)·(4，－x)＝1×4－x2＝0，解得x＝±2， 所以“x＝2”是“a⊥b”的充分不必要条件．故选A. 4．(2021·全国甲卷)已知向量a＝(3，1)，b＝(1，0)，c＝a＋kb.若a⊥c，则k＝________． 答案：－　解析：依题意，得c＝a＋kb＝(3＋k，1).又a⊥c，所以a·c＝0，即3(3＋k)＋1×1＝0，解得k＝－. [课时梯级训练(10)见P167] 学科网（北京）股份有限公司 $$