6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教A版2019）

6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示 学习目标 1.掌握数乘向量的坐标运算法则，并会用坐标表示平面向量的数乘运算． 2.能用坐标表示平面向量共线的条件，并会应用向量的共线条件解决问题． 知识点一　平面向量数乘运算的坐标表示 已知a＝(x，y)，你能得出λa的坐标吗？ 平面向量数乘运算的坐标表示 　已知a＝(x，y)，那么λa＝(λx，λy)，即实数与向量的积的坐标等于实数乘原来向量的相应坐标． [例1] 已知向量a，b的坐标分别是(－1，2)，(3，－5)，求a＋b，a－b，3a，2a＋3b的坐标． 解：a＋b＝(－1，2)＋(3，－5)＝(2，－3)， a－b＝(－1，2)－(3，－5)＝(－4，7)， 3a＝3(－1，2)＝(－3，6)， 2a＋3b＝2(－1，2)＋3(3，－5)＝(－2，4)＋(9，－15)＝(7，－11). 平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的坐标运算进行运算． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． (3)向量的线性运算可完全类比数的运算． [练1] 已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，若c满足3a－2b＋c＝0，则c＝(　　) A．(－23，－12) B．(23，12) C．(7，0) D．(－7，0) A　解析：∵a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，且c满足3a－2b＋c＝0，∴c＝2b－3a＝2(－4，－3)－3(5，2)＝(－8－15，－6－6)＝(－23，－12). [练2] 已知a＝(－1，2)，b＝(1，－1)，c＝(3，－2)，试用向量a，b表示向量c. 解：设c＝pa＋qb(p，q∈R)， ∵a＝(－1，2)，b＝(1，－1)， ∴c＝pa＋qb＝p(－1，2)＋q(1，－1)＝(－p＋q，2p－q). 又∵c＝(3，－2)，∴解得 故c＝a＋4b. 知识点二　平面向量共线的坐标表示 平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0． (1)a∥b(b≠0)⇔a＝λb.这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系． (2)a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).这是代数运算，由于不需要引进参数λ，从而简化了运算过程． (3)a∥b⇔＝，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且y1≠0，y2≠0.即两向量的对应坐标成比例．通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误． [例2] (1)(2024·渭南高一月考)下列各组的两个向量，共线的是(　　) A．a1＝(－2，3)，b1＝(4，6) B．a2＝(2，3)，b2＝(3，2) C．a3＝(1，－2)，b3＝(7，－14) D．a4＝(－3，2)，b4＝(6，－5) (2)(2024·南宁高一期中)已知向量＝(－1，2)，＝(2，3)，＝(m，－3)，若B，C，D三点共线，则m＝(　　) A．－16 B．16 C． D．－ (1)C　(2)A　解析：(1)对于A中，由a1＝(－2，3)，b1＝(4，6)，可得－2×6－3×4≠0，所以两向量不共线，A项错误； 对于B中，由a2＝(2，3)，b2＝(3，2)，可得2×2－3×3≠0，所以两向量不共线，B项错误； 对于C中，由a3＝(1，－2)，b3＝(7，－14)，可得－14×1－(－2)×7＝0，所以两向量共线，C项正确； 对于D中，由a4＝(－3，2)，b4＝(6，－5)，可得(－3)×(－5)－2×6≠0，所以两向量不共线，D项错误． 故选C. (2)由题意得＝－＝(3，1)，＝－＝(m＋1，－5)， 因为B，C，D三点共线，所以∥，则m＋1＝－15，得m＝－16. 1．向量共线的判定方法 (1)利用向量共线定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b. (2)利用向量共线的坐标表示，由x1y2－x2y1＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))直接判断a与b平行． 2．根据向量共线条件求参数思路 一是利用向量共线定理a＝λb(b≠0)，列方程组求解； 二是利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0求解．,\s\do4(　,)) [练3] 已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，若(ka＋b)∥(a－3b)，则k的值是(　　) A．1 B． C．－ D．－1 C　解析：由a＝(1，2)，b＝(－3，2)，则ka＋b＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(10，－4)， 由(ka＋b)∥(a－3b)，则＝，整理可得－4k＋12＝20k＋20，解得k＝－. [练4] 已知A(0，1)，B(m，3)，C(4，7)三点共线，则m＝(　　) A．－ B． C． D．2 C　解析：因为A(0，1)，B(m，3)，C(4，7)，则＝(m，2)，＝(4，6). 因为A，B，C三点共线，则∥，所以8＝6m，即m＝. 知识点三　有向线段的定比分点坐标公式及应用 若线段P1P2的端点P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，点P是直线P1P2上的一点，则当P1P＝λPP2时，点P的坐标为(，)(λ≠－1). 当λ＝1时，P(，)，即P为线段P1P2的中点． (1)λ的值可正、可负． (2)若λ＝－1，则点P1，P2重合，无意义． [例3] 如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D是AB的中点，G是CD上的一点，且＝2，求点G的坐标． 解：∵D是AB的中点， ∴点D的坐标为(，). ∵＝2，∴＝2， 设G点坐标为(x，y)，由定比分点坐标公式可得 x＝＝， y＝＝， 即点G的坐标为(，). 定比分点坐标公式的应用 用有向线段的定比分点坐标公式(λ≠－1)可以求解有向线段的定比分点坐标及定点分有向线段所成的比．,\s\do4(　,)) [练5] 已知点A(2，3)，B(4，－3)，点P在线段AB的延长线上，且|AP|＝2|BP|，则点P的坐标为________． 答案：(6，－9)　解析：设点P的坐标为(x，y)，由条件可知＝－2. 由定比分点坐标公式可知 即点P的坐标为(6，－9). 1．知识清单 (1)平面向量数乘运算的坐标表示． (2)两个向量共线的坐标表示． (3)有向线段定比分点坐标公式及应用． 2．方法归纳：化归与转化． 3．常见误区：两个向量共线的坐标表示的公式易记错. ◎随堂演练 1．若a＝(2，1)，b＝(1，0)，则3a＋2b的坐标是(　　) A．(5，3) B．(4，3) C．(8，3) D．(0，－1) C　解析：3a＋2b＝(6，3)＋(2，0)＝(8，3). 2．已知＝a，且A(，4)，B(，2)，则a等于(　　) A．(－，－1) B．(，3) C．(，1) D．(－，－3) A　解析：∵a＝＝(，2)－(，4)＝(－，－2)， ∴a＝(－，－1). 3．已知a＝(－3，2)，b＝(6，y)，且a∥b，则y＝________． 答案：－4　解析：∵a∥b，∴－3y－12＝0，解得y＝－4. 4．已知A(1，2)，B(3，1)，点C在x轴上，且A，B，C三点共线，则点C的坐标为________． 答案：(5，0)　解析：设C(x，0)，则＝(2，－1)，＝(x－1，－2). 由∥，得＝， 解得x＝5，即C(5，0). [课时梯级训练(9)见P166] 学科网（北京）股份有限公司 $$