6.3.1 平面向量基本定理（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教A版2019）

6.3　平面向量基本定理及坐标表示 6．3.1　平面向量基本定理 学习目标 1.理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义． 2．掌握平面向量基本定理并会用基底表示平面向量． 3．会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题． 知识点　平面向量基本定理 如图，在物理中，我们学习了力的分解，即一个力可以分解为两个不同方向的力，试想平面内的任意一个向量是否可以分解为其他两个向量的和？ 　如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2． 若e1，e2不共线，把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． (1)基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以构成基底向量．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． (2)基底给定时，分解形式唯一．λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数值． (3){e1，e2}是表示同一平面内所有向量的一个基底，则当a与e1共线时，λ2＝0；当a与e2共线时，λ1＝0；当a＝0时，λ1＝λ2＝0. (4)零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量. [例1] (多选)设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，能作为基底的是(　　) A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－4e2和6e1－8e2 C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2 ACD　解析：选项B中，∵6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，∴6e1－8e2与3e1－4e2共线，∴不能作为基底，选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基底． 基底的关注点 两个向量能否构成基底，主要看两个向量是否共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来． [练1] 如图，O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量是(　　) A．， B．， C．， D．， B　解析：由题中图形可知与，与，与共线，不能作为基底，与不共线，可以作为基底．故选B. [练2] 已知向量{a，b}是一个基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y＝________． 答案：3　解析：因为{a，b}是一个基底， 所以a与b不共线． 由平面向量基本定理得解得所以x－y＝3. [例2] 如图，在▱ABCD中，E，F分别为BC，DC的中点，DE与BF交于点G.若＝a，＝b，试用a，b表示向量，，. 解：＝＋＝－＝a－b， ＝＋＝－＋＝b－a. 由E，F为BC，DC边的中点，则G为△BCD的重心，所以BG＝BF，所以＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b. [变式探究] 　若本例中的基向量“，”换为“，”，即若＝a，＝b，试用a，b表示向量，，. 解：＝＋＝2＋＝－2＋＝－2b＋a. ＝＋＝2＋＝－2＋＝－2a＋b. 由例题分析知＝＋＝2＋(＋)＝－－＝－b－a. 用基底表示向量的方法 (1)根据平面向量基本定理可知，同一平面内的任何一个基底都可以表示该平面内的任意向量．用基底表示向量，实质上是利用向量加法的三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算． (2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量． [练3] 如图，在△ABC中，F是边AB上靠近点B的四等分点，试以＝e1，＝e2为基底表示. 解：因为＝－＝e1－e2，所以＝＝(e1－e2)， 所以＝＋＝e2＋(e1－e2)＝e1＋e2. 综合应用：平面向量基本定理的应用问题 [例3] (2024·厦门外国语学校高一期中)如图，已知＝a，＝b，任意点M关于点A的对称点为S，S关于点B的对称点为N. (1)用a，b表示向量； (2)已知3||＝4|b－a|，连接AN，BM交于G点，若∠MGN＝，求∠NMS的余弦值． 解：(1)由题意得A是MS的中点，B是NS的中点， ∴＝，∴＝2＝2(－)＝2b－2a. (2)取{，}作为基底，由题意3||＝4|b－a|＝4||， ∵＝，＝，∴3||＝4||，||＝||. ∵∠MGN＝，∴MB⊥AN，即·＝0. ∵B为NS的中点，∴＝＋. ∵＝－＝－，∴(＋)·(－)＝0， ∴－||2＋||2＋||||·cos ∠NMS＝0， cos ∠NMS＝ ＝＝－. 应用平面向量基本定理的策略 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的． (2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决． [练4] 如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，F，G是AD，BC的三等分点(AF＝AD，BG＝BC)，设＝a，＝b. (1)用a，b表示，； (2)如果|a|＝|b|，用向量的方法证明：EF⊥EG. (1)解：由题意，＝－＝－＝－a＋b，＝＋＝＋＝a＋b. (2)证明：由(1)得·＝(－a＋b)·(a＋b)＝－a2＋b2 ＝－×(|b|)2＋b2＝0，即⊥， 所以EF⊥EG. 1．知识清单 (1)平面向量基本定理． (2)用基底表示向量． (3)平面向量基本定理的应用． 2．方法归纳：数形结合． 3．常见误区：忽视基底中的向量必须是不共线的两个向量． ◎随堂演练 1．设{e1，e2}是平面内的一个基底，若向量a＝－3e1－e2与b＝e1－λe2共线，则λ＝(　　) A． B．－ C．－3 D．3 B　解析：因为a与b共线，所以存在μ∈R，使得a＝μb，即－3e1－e2＝μ(e1－λe2).故μ＝－3，－λμ＝－1，解得λ＝－.故选B. 2.如图，在矩形ABCD中，若＝6e1，＝4e2，则等于(　　) A．3e1＋2e2 B．3e1－2e2 C．2e1＋3e2 D．2e1－3e2 A　解析：＝＝(＋)＝(＋)＝3e1＋2e2. 3. (2024·南宁高一期中)如图，若点D在三角形ABC的边BC上，且＝3＝x＋y，则2x＋y的值为(　　) A．0 B． C． D．1 C　解析：因为＝3＝x＋y， 所以＝＝(－)＝x＋y， 所以x＝，y＝－，所以2x＋y＝－＝. 4．若a，b是同一平面内的两个不共线向量，且c＝2a－b，d＝3a－2b，试判断{c，d}能否作为平面向量的基底． 解：设存在实数λ，使得c＝λd，则2a－b＝λ(3a－2b)，即 (2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0. 由于a，b不共线，从而2－3λ＝2λ－1＝0， λ不存在，从而c，d不共线， 故{c，d}能作为平面向量的基底． [课时梯级训练(7)见P162] 学科网（北京）股份有限公司 $$